材料力学卡式定理

P i
U i
卡氏第一定理
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某
一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。 适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，
Pi
——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
例4 抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根 据自由端已知转角 确定施加于自由端的力偶m。梁的材
3

RC L 3
3
) 0
能量法求解超静定结构，适
用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
RC
5P 16
2.求
wB
① 求内力
M
AB
(x)
(x)
5P 16
5P 16
( L x ) P ( 0 .5 L x )
(L x)
M
BC
② 将内力对P求偏导
料在线弹性范围内工作。 解： 梁内任一点的线应变为
y/
(1)
梁纯弯曲，挠曲线为圆弧
l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
梁内任一点处的比能
u 1 2 E
2

1 E 2 l
2
2
y
2
(4)
梁的应变能
U
l
udV
V

( udA ) dx
0 A
l


(
1 E 2 l
2
2
0

y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l

2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
(6)
二、卡氏第二定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 , 2 , , n 。则梁内余能
U
c
Wc
M
AB
(x)
P

11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P

5( L x ) 16
③ 变形
wB U P


0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx

0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
x
M
M
AB
( x 1 ) P ( L x 1 ) Px ( x x 1 )
( x1 ) P ( L x1 )
BC
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M
AB
(x)
Px 0
Px
x1 x
M
BC
(x)
Px 0
Px
0
③变形（ 注意：Px=0）
w( x ) U Px
③变形
ຫໍສະໝຸດ BaiduwA
L
U PA

2

M ( x ) M ( x ) EI PA
3
dx
L


0
Px EI
dx
PL
（向下）
3 EI
求转角A。 没有与A向相对应的力（广义力），加之。 P A L
M
①求内力
M ( x ) xP M
A
②将内力对MA求偏导后，令M A=0
M ( x ) M
x


M ( x ) M ( x ) EI Px
dx
L

1 EI

0
P ( L x 1 )( x 1 x ) d x 1

P EI
[
x
3

(L x)x 2
2
Lx ]
2
3
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。 解：1.依 0.5 L A L P B C
卡氏定理解 超静定结构
§9-2 卡氏定理
一、卡氏第一定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 , 2 , , n 。则梁内应变能
U W
U i

i 1
n
i
0
Pi d i
而 由
dU
d i ,
dW Pi d i
dU dW
P i U i
卡氏第一定理
2 2

7 PL
3
768 EI
（向下）

i 1
n
Pi
0
i dP i
(1)
而
dW c i dP i ,
U
c
(2)
dU
c
Pi
dP i ,
(3)
由
dU
c
dW c
(4)
将(2)、(3)代入(4),
i
U
c
Pi
余能定理
对线弹性杆件， 故有
U Uc
i
U Pi
卡氏第二定理
卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L

M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn

dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
A
x
O
1
M
A
0
③求变形（ 注意：M A=0）


A

M ( x) M ( x) EI
2
L
L
M
dx


0
Px EI
dx

PL
2
A
2 EI
A
PL
2 EI
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 x
A
L x1 O w
Px B
P C
解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) 没有与w(x)相对应的力，加之。 ①求内力
1
2
n
④ 当无与 i对应的 Pi 时，先加一沿 i
Pn 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。
三、线弹性变形杆的卡氏定理
N (x) 2 EA
2
U
L
dx
M
2 n
(x)
P
L
2 GI
dx
M
2
(x) dx
L
2 EI
n

U Pn


N ( x ) N ( x ) EA Pn dx
④ 变形
wC U RC

M ( x ) M ( x ) EI RC
变形协调条件
dx
L
L
0 .5 L 1 P ( 0 . 5 L x ) ( L x )d x EI 0

0
RC ( L x ) dx
2

1 EI
(
5 PL 48
wC 0
求多余反力，
① 取静定基如图
② 求内力
M
AB
( x ) R C ( L x ) P ( 0 .5 L x )
( x ) RC ( L x )
0.5 L
A L
P B
M
BC
C
RC
③ 将内力对RC求偏导
M
AB
(x)
RC
L x
O
w
x
M
BC
(x)
RC
L x