等价无穷小量替换法在极限运算中的巧用
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
于荣娟;陈红红;梁显丽
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2012(000)028
【摘要】在高等数学中，极限的计算是一个很重要的问题。
本文主要针对一种求
极限的方法——应用等价无穷小及无穷小替换定理求极限。
在无穷小及等价无穷
小替换定理的基础上，研究了和它有关的几个性质、结论，并以某些类型题为例，对其性质进行了举例和应用；同时本文对等价无穷小替换求极限问题进行了总结归纳，扩大了等价无穷小替换在极限计算中的范围，使一些复杂的求极限问题简单化。
【总页数】1页(P198-198)
【作者】于荣娟;陈红红;梁显丽
【作者单位】内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学
职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.浅谈用等价无穷小替换法求极限 [J], 赵文菊;张秀全
2.泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用 [J], 郑瑞根
3.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广 [J], 马艳丽;聂东明
4.浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用 [J], 杨录胜
5.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
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等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
ｘ→０
ｕ→０
收稿日期：２０１７－１１－２２ 基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目（ ２０１６ＺＤＸ１５２，２０１７ＺＤＸ２７０） 作者简介：杨子兰（１９８５—） ，女，彝族，讲师，硕士，研究方向：组合最优化与算法设计、微积分教学研究．
·１６·
杨子兰，等：等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
定理 ４［６］（ 无穷小量等价替换定理） 如果 α１
本文旨在讨论等价无穷小量替换法在一些复合函数极限中的应用理论．
２ 理论基础准备
定义 １［６］ 已知函数 ｙ ＝ ｆ（ ｕ） ， ｕ ∈ Ｄ（ ｆ） ， ｙ ∈ ｚ（ ｆ） ， ｕ ＝ ｇ（ ｘ） ， ｘ ∈ Ｄ（ ｇ） ， ｕ ∈ ｚ（ ｇ） ，如果 Ｄ（ ｆ） ∩ Ｚ（ ｇ）
≠ Φ ，则称函数 ｙ ＝ ｆ［ｇ（ｘ）］ ， ｛ｘ ｇ（ｘ）∈ Ｄ（ｆ）｝ 为由函数 ｙ ＝ ｆ（ｕ） 和 ｕ ＝ ｇ（ｘ） 复合而成的复合函数．其中 ｙ
ｘ→０
ｕ→０
当定理 １ 中的 ｕ０ ＝ ０， ｘ０ ＝ ０， ａ ＝ ０ 时，得到定理 ３：，如下：
定理 ３ 设 ｙ ＝ ｆ（ｕ） 与 ｕ ＝ φ（ｘ） 构成复合函数 ｙ ＝ ｆ［ｇ（ｘ）］ ．若 ｌｉｍｆ（ｕ） ＝ ０， ｌｉｍφ（ｘ） ＝ ０（ｘ ≠ ０） ，则有
ｕ→０
ｘ→０
ｌｉｍｆ［φ（ｘ）］ ＝ ｌｉｍｆ（ｕ） ＝ ０．
１ 引言
等价无穷小量替换法是计算函数极限的基本方法，但是它只能用在乘除运算中． 近年来，大多数学者主要 讨论利用等价无穷小量代换法求函数极限的问题［１－３］ ，很少有学者讨论等价无穷小量替换法在复合函数极限 中的应用，甚至很少有理论的支撑［４－５］ ．然而一些看似复杂的复合函数求极限，适当地利用等价无穷小量替换 法求极限，可起到事半功倍的效果．
巧用等价无穷小代换计算极限的方法推广
例１ 求极限ｌｉｍ ÷ ．
ｎ（¨去卜 １．
三 、“Ｉｉｍ ”型 极 限 中 的等 价 无 穷 小 的 代 换
应 用等价无穷小 代 换 的原则 是 ：乘 除可 用 ，加 减慎 用． 而 学 生 在 利 用 等 价 无 穷 小 代 换 计 算 极 限 时 往 往 容 易 出错 。 究其原 因 ，是弄 不清楚代换 的原理 及对象 ，另外 就是对 无穷 小 的等价概念不清楚 Ｈ］．当出现两个无 穷小 的和或差 时 ，应 怎样计 算呢？为 了解决 学生 的 困惑 ，下 面结 合实 例对 极 限 式 中含有和或差项 的等价代换做简单推广．
有 ：当 —｝０时 ，ｓｉｎｘ～ｔａｎｘ～ａｒｃｓｉｎｘ～ａｒｃｔａｎｘ～（ｅ 一１）～
Ｉｎ（１＋ ）一戈；１一ＣＯＳ．￣一÷ ；（１＋ ）。一１一Ｏｘ（ａ≠０）；Ｄ 一
１～ ｌｎ口（ａ＞０）．［ ］
二、“ｌｉｍ詈”型极限中的等价无穷小的代换
定理 １ 在 同一变化过 程 中 ，若 ｌｉｍａ＝０，ｌｉ，ｒ￣＝０．ａ～
不满足定理 ２的条 件 ，故错 误．由定理 １可知 ，等 价无 穷 小 的代换 ，必须是分子或分母进 行整体代 换 ，一般情况 下不 能 代换分子或分母 中的一项。事 实上 ，ｔａｎｘ—ｓｉｎｘ～ （ｘ－－，ｏ），
即 ｔａｎｘ—ｓｉｎｘ与 ０不是等价无穷小 ，即使将分 子代换 成 一
ｓｉｎｘ也不对，因为 —ｓｉｎｘ～詈，即ｔａｎｘ—ｓｉｎｘ与 —ｓｉｎｘ也ｉｎ３ｘ～３ｘ，ｔａｎ２ｘ一２ｘ，
一１～ ，
（下 转 １１页 ）
数学 学 习与 研 究 ２０１８．１８
● ●
蔓· 教 学 方 法 ● ·
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。
微积分课间27利用等价无穷小量代换求极限
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小，
即 x2 o(3x) ( x 0)；
lim sin x 1，
sin x ~ x ( x 0).
x0 x
例２ 求 lim e x 1 . x0 x
解
lim e x 1 x0 x
ue x 1 lim u u0 ln(1 u)
5/13
例3 证明:当x 0时，tan x sin x为x的三阶无穷小.
证
lim
x0
tan
x x3
sin
x
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
lim sin x x0 x
lim
x0
1
cos x2
1cos x ~
1 2
x2
lim
x0
x x2
1
lim(1 cos x)
x0
10/13
例7 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
lim
x0
x (2x
x )3
0.
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小. 证毕
6/13
二、等价无穷小代换
定理(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim .
证 lim lim( ) lim lim lim
05 第5讲利用等价无穷小量的代换求极限
解
1 2 1 lim x sin lim x x x x x
2
lim x
x
例4
ln 1 x 2 sin x 求 lim x 0 tan x
ln 1 x 2 sin x lim x 0 tan x 1 ln(1 x) 2 sin x 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x
3
x 1 cos x ~ 2
2
x 1 x 1 ~ m
其中 , m , n N , a > 0 .
二. 计算例子
tan 3 x 求 lim x 0 sin 5 x
例1
解
tan 3 x 3x 3 lim lim x 0 sin 5 x x0 5 x 5
例2
tan x sin x 求 lim 3 x sin x
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsin x ~ x
tan x ~ x
arctan x ~ x
ln(1 x) ~ x
x 1 x 1 ~ 2
m
e 1 ~ x
x
(1 x) 1 ~ nx
n
a x 1 ~ x ln a
x tan x sin x ~ 2
1 设 lim z , 则 lim 0， z 1 0 , 故 lim z = . 由定理 1, 得 lim z
综上所述, lim z lim z .
3. 定理
定理
设在某极限过程中, ~ , ~ , 则 ~ .
传递性
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广蔡晓娟（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）指导教师：巩增泰摘要：求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一。
在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化，本文通过具体实例详细说明了等价无穷小替换在求解函数极限中的重要性。
关键词：等价无穷小；函数极限；替换Equivalent infinitesimal in solving functionlimit of popularization and applicationCai xiaojuan（College of Mathematics and Statistics , Northwest Normal University,Lanzhou,Gansu,730070）Supervisor: Gong ZengtaiAbstract：To solve the function limit is one of the most important parts in higher mathematics. It is simple and easy rather than to use equivalent infinitesimal substitution in solving function limit. The paper discusses the importance of equivalent infinitesimal substitution in seeking functional limit with specific example. Key words：Equivalent infinitesimal；Functional limit;Substitution在高等数学的学习过程中，函数极限是最基本的概念。
我们学习的目的就是能够掌握快速准确的求解函数极限的基本方法和技能。
等价无穷小代换在求极限过程中的应用
等价无穷小代换在求极限过程中的应用极限计算是数学研究和计算中的重要方法，用于研究函数的变化趋势以及解决科学问题，可以在很多方面得到广泛的应用，包括物理学，化学，生物学，工程学，航空航天学等。
极限的求取是一个关键实践，等价无穷小是求取极限的一种重要方法。
等价无穷小是指在一定条件下，用更小而等价的量来取代原有无穷量，以不断增大拐点位置范围中的拐点个数，用极限函数表示终极趋势。
可以理解为，等价无穷小就是在一定条件下使用更小而相当于无穷大的量来求解极限。
极限的应用广泛，等价无穷小在求极限中常常用到。
比如，计算函数f(x)在某一点处的极限值，把x的值改变的量记作dx，可以利用等价无穷小来求解，即，假定dx是一种等价无穷小，把f(x)的值变成f(x+dx)，那么对x的极限为：lim f(x)=f(x)+f`(x)dx，其中f`(x)是函数f(x)的导函数。
等价无穷小可以明确极限在某点存在的条件，以上例子即表明函数f(x)趋于f(x)在x处的极限值需要满足：f(x+dx)=f(x)+f`(x)dx，即f成线性函数关系，而且系数f`(x)当dx趋于0时不断减少到0，从而极限趋近某值。
从上面的例子可以看出，等价无穷小是一个相对有用的概念，它可以用来近似表达无穷大，在求解极限过程中，等价无穷小可以提供重要线索，让求极限更加容易，比如可以来分析函数的变化趋势，比如函数正常变化，函数趋于某一常数，函数趋于正无穷大或负无穷大等。
由此可见，等价无穷小在求取极限中是非常有用的。
总之，等价无穷小是一种实用的方法，可以用来求取极限。
它能够模仿无穷大，有助于我们更好的理解函数的变化趋势，更容易求取极限，从而让数学计算更加方便。
等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
f（x）
f（x）
推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量 ，若f
（x），g （x） 为 同 阶 无 穷 小 ， 且 f （x） ~f′ （x），g （x） ~g′ （x）， 当 lim =
g（x） ≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。 f（x）
推 论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，… ，n）是 在 同 一 极 限 过 程 中
1
ln g（x） +lnf（x）
limlng（x）=0。 因为lim lnf（x） =lim lng（x） =lim f（x）
1
lnf（x）
lnf（x）
lng（x）
=0+1=1，所以 1 ~ 1 。 lnf（x） lng（x）
推论：设f（x），g（x）是同一极限过程中的无穷小量 ，且f（x）
~g（x）， 则 在 同 一 极 限 过 程 中 有 ln（1+f（x））~ln（1+g（x））。
基 金 项 目 ：河 池 学 院 应 用 数 学 重 点 学 科 （院 科 研 ［2007］2 号 ）；河 池 学 院 2007年 度 教 改 课 题 （编 号 ：2007E002）。
（1）若limf（x）h（x）=A，则limg（x）h（x）=A；（2）若lim h（x） =
x→x0
x→x0
x→x0 f（x）
7.高层次思考能力 的 发 展 需 要 学 生 在 数 学 教 学 过 程 中 的 全面参与
数学教学改革的目标之一是要培养学生的创新精神和发 展学生的高层次思考能力。 研究表明，学生在教学过程中全面 参与，是高层次思考能力发展的基本条件。 ［1］以学生参与为基 础的数学教学， 需要正确理解和发挥学生在教学过程中的作 用。 其中很重要的一个方面就是让学生积极参与到教学中去。 如果忽视学生的主体参与， 不可能真正培养学生的创新精神 和高层次数学思考能力。
无穷小量的等价代换在代数和的极限运算中的应用
无穷小量的等价代换在代数和的极限运算中的应用摘要：本文得到了等价无穷小量代换的一些结论，并着重讨论了等价无穷小量的代换在代数和的极限运算中的应用。
关键词：等价无穷小量；极限；代数和；0 引言极限运算是高等数学中的一种重要的运算，计算方法多种多样，但方法的选择是否恰当，直接关系到计算过程是否简洁和计算结果是否正确。
无穷小量的等价代换是指在运算过程中，可将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的[1，2]。
例1 求30sin tan lim x x x x -→ 正确解法：当0→x 时，x tan ~x ,x cos 1-~221x ∴原式==-→30)cos 1(tan lim x x x x 2121lim 330=→x x x 错误解法：当0→x 时，x tan ~x ,x sin ~x∴原式=0lim 30=-→x x x x 分析：错误在于认为：当0→x 时，x t a n ~x ,x sin ~x ，则有x x s i n t a n -~0=-x x ，即错误地认为无穷小量的代换可以用在极限的代数和的运算，并忽视了“0作为无穷小量是比任何无穷小量都高阶的无穷小量”这个结论。
故知在一般情况下，无穷小量的等价代换并不适合于极限的加减运算。
那么，能否找到一些特殊且容易满足的条件，使得在满足其条件时无穷小量的等价代换可以适合极限的加减运算呢？1主要结果定理1 βα、为同一变化过程中的无穷小量，且)(0αβ=，则βα+~α 证明：因为)(0αβ=，所以0lim =αβ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+αβαβα1lim lim1lim 1=+=αβ，即βα+~α 定理1表明：在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃，从而达到简化计算创目的。
例2求xx x x x x 3tan 1cos )1ln(arcsin 2lim 430+-+-+→ 解：当0→x 时，x 3arcsin ~3x ,)1ln(4x +~4x ，，x 3tan ~x ,11cos 11cos --+=-x x ~)1(cos 21-x ~241x 显然x 3ar csin与)1ln(4x +均为比x 2高阶的天穷小量，而1cos -x 为比x 3tan 高阶的无穷小量，由定理易知：)1ln(arcsin 243x x x +-+~x 2，x x 3tan 1cos +-~x 3tan ~x 3则 原式=3232lim 0=→x x x 定理2 βα,，'',βα为同一变化过程中的无穷小量，且α与β为同阶无穷小，又α~'α，β~'β，（1）当1lim-≠αβ时，则βα+~''βα+ （2）当1lim ≠αβ时，则βα-~''βα- 证明：因为α与β为同阶无穷小，所以c =αβlim ，又因β~'β，所以1lim '=ββ，则当1-≠c 时，有1111lim 1lim 11lim lim ''''=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++c c αβαβββαβαββαβα 即当1lim -≠αβ时，则βα+~''βα+ 同理可证（2）。
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。
考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题
2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。
下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。
例1：求极限30tan sin limx x x x →- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x x x x →→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim αβααβαβββαββαα''''-⋅-''-==，当lim 1α≠时,这个命题是真命题；当lim 1α=时,命题是假命000x x x →→→错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0， 所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时， 22211sin(sin sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sin x x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sin limx x xπ→ 解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==.注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点①无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量.,记为()()x x αβ~. )x k 的阶无穷小量。
泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用
泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用泰勒公式是一个非常重要的数学工具，在求解极限问题时有着广泛的应用。
泰勒公式是由数学家泰勒在18世纪提出的，它可以将任意光滑函数表示为一个无穷级数的形式，从而可以用来近似计算函数的值或者求函数的极限。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ(x)其中，f(x)是函数f在点x处的函数值，f'(x)是f的导数，a是近似点，n是展开的阶数，Rₙ(x)是多项式展开的余项。
当n足够大时，余项的大小可以忽略不计。
因此，我们可以通过泰勒公式，将原函数近似地表示为多项式的形式，从而方便地计算函数的极限值。
在极限值的计算中，我们常常会遇到无穷小量。
无穷小量是一种极其接近于零的量，但不等于零的数。
用无穷小量替换函数中的一些变量，可以简化极限的计算过程。
通过泰勒公式，我们可以将函数展开成一个多项式，然后用无穷小量来代替原来的变量，从而得到函数的极限值。
例如，考虑计算函数f(x) = sin(x)在x趋近于0时的极限值。
我们可以通过泰勒公式将sin(x)展开成一个无穷级数：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...可以看出，当x趋近于0时，xⁿ/n!的值可以看作是一个无穷小量，因为分子xⁿ在x趋向于0时趋于0，分母n!在任意情况下都大于0。
因此，我们可以将sin(x)近似为x，而x又是一个无穷小量，所以sin(x)也是一个无穷小量。
因此，当x趋近于0时，我们有lim(x→0)sin(x) = lim(x→0)x = 0。
这就是通过泰勒公式和无穷小量替换求极限的一种应用。
除了用无穷小量替换变量来求极限，泰勒公式还可以用来计算函数的近似值。
等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
文写作类别：法律
等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用
等价无穷小量替换法是一种在函数极限分析中常用的数学技巧，它有效地解决了无限小量和复合函数极限的问题。
换言之，当研究函数的性质时，使用该数学技巧可以把相应的函数替换成具有统一关系的函数，而恰当地考虑这些关系，又可以得出函数极限的源本定义，深刻地反映了等价无穷小量替换法在复合函数极限中的实际应用。
以求得函数极限的定义为前提，等价无穷小量替换法的应用框架只能是，先从函数本身出发，分析该函数的定义，并决定等价无穷小量替换法在此函数问题中的适用范围，然后再建立新的原函数与替换函数间的一一对应关系，以利于替换后函数一次甚至多次求取函数极限，最后得出所要求函数极限的结果。
在复合函数极限分析中，等价无穷小量替换法的应用也有惊人的成就。
其实，等价无穷小量替换法在复合函数下的应用有若干需要注意的地方，首先，在复合函数中拆解复杂性，把它等价为简单的函数；其次，在建立等价替换函数时，必须要清楚它们之间的关系；最后，替换函数必须考虑函数层数求取函数极限。
上述全是等价无穷小量替换法在复合函数极限中的应用，它极大地丰富和发展了数学函数极限的内涵、外延，彻底改变了函数极限分析的要求，在法律研究中被广泛认可，也被应用在社会经济、科技水平等领域。
总之，等价无穷小量替换法在复合函数极限分析中的应用，不仅拓宽了法律研究的视野，更突显出了数学上的辩证性和复杂性，为深入解读法律提供了可靠的理论依据。
无穷小量的等价代换在代数和的极限运算中的应用
无穷小量的等价代换在代数和的极限运算中的应用应用一《巧算分式极限》咱先来说说这个无穷小量的等价代换在求分式极限里的应用哈。
就好比咱日常生活中买菜算钱，有时候得用点巧法子才能快速算出个大概来，这无穷小量的等价代换啊，就是数学世界里算极限的那个“巧法子”。
举个实际例子吧。
前段时间我帮家里搞装修，要计算一下某种瓷砖铺满一个区域需要多少块，这里面涉及到一些材料切割后的尺寸比例什么的，这就跟数学计算挂上钩啦。
比如说有个极限式子，分子是$x - \sin x$，分母是$x^3$，当$x$趋近于0的时候求极限。
这要是直接算啊，那可老麻烦了，各种复杂的公式都得往上套。
但是咱用无穷小量的等价代换就轻松多啦。
当$x$趋近于0的时候，$\sin x$就相当于等价于$x$，不过得稍微细微修正一下，$\sin x$其实是和$x - \frac{x^3}{6}+o(x^3)$等价，当只考虑到$x^3$的阶数的时候，那我们就把$\sin x$用$x - \frac{x^3}{6}$代换，这样分子就变成$x - (x - \frac{x^3}{6})=\frac{x^3}{6}$，分母是$x^3$，那极限值一下子就看出来是$\frac{1}{6}$啦。
这就好比装修的时候我本来要费老大劲去一块一块仔细测量、计算瓷砖怎么摆，用了这个等价代换的“妙招”，就像有了个神奇的工具，快速就得到答案啦，省得我在那跟一堆数字和公式死磕，节省了不少时间和精力。
反正啊，在这种分式极限计算里面，无穷小量的等价代换就是咱的“得力小助手”，关键时刻能帮咱轻松解决大问题。
应用二《简化求和极限运算》咱们继续聊聊这无穷小量的等价代换在求和式极限中的应用。
这就好比咱们整理收纳东西，要是有个好方法，那就能把一堆杂乱的东西快速整理得井井有条。
比如说我有一次算我每个月各种生活开销的平均数。
假设是要算一个和式极限，$\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{n(n + i)}$ 。