高中解题方法-数学归纳法
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题数学归纳法是一种常用的数学推理方法，特别适用于解决涉及自然数的问题。
它的基本思想是通过证明某个命题在第一个自然数上成立，并假设该命题在第k个自然数上成立，再利用这一假设证明该命题在第k+1个自然数上也成立。
本文将着重讨论高中数学中一些典型问题，介绍如何使用数学归纳法解决这些问题。
一、等差数列的性质证明等差数列是高中数学中一个重要的概念，其性质证明常常可以使用数学归纳法。
我们以等差数列的前n项和公式为例进行说明。
首先，我们需要证明等差数列前n项和公式在第一个自然数上成立。
当n=1时，等差数列的前n项和显然等于它的第一个项，命题成立。
其次，我们假设等差数列前k项和公式在第k个自然数上成立，即Sn = (2a1 + (k-1)d)k/2 （式1）我们需要证明等差数列前(k+1)项和公式在第(k+1)个自然数上也成立。
通过对等差数列前k+1项求和可以得到：S(k+1) = a1 + a2 + ... + ak + a(k+1)S(k+1) = [(k+1)(a1 + a(k+1))/2] + kd （式2）将式1代入式2中，整理后可得：S(k+1) = [(k+1)(2a1 + (k+1-1)d)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd) + 2kd]/2S(k+1) = (2a1 + (k+1)d)(k+1)/2由此可见，假设在第k个自然数上等差数列前k项和公式成立，可以推出在第(k+1)个自然数上该公式也成立。
因此，根据数学归纳法的推理步骤，我们可以得出等差数列前n项和公式对于任意正整数n都成立的结论。
二、数学归纳法解决不等式问题数学归纳法不仅可以用于证明等式的性质，还可以用于解决不等式问题。
我们以证明平方不等式n^2 ≥ n（n ≥ 1）为例。
首先，我们需要证明当n=1时平方不等式成立，即1^2 ≥ 1，命题成立。
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题数学归纳法在证明中的应用数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它在高中数学中有着广泛的应用。
通过数学归纳法，我们可以有效地解决各种数学问题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理和在高中数学问题中的应用。
一、数学归纳法简介数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它基于两个基本假设：基础情况成立和归纳步骤成立。
具体而言，数学归纳法可以分为三个步骤：1. 基础情况的证明：首先需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
通常这个值为1或者0，取决于具体问题。
2. 归纳步骤的假设：假设当n=k时，命题成立。
这一步是假设我们已经证明了n=k时命题成立的情况。
3. 归纳步骤的证明：通过基于归纳步骤的假设，证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步一般需要通过将n=k的情况推广到n=k+1的情况来完成。
二、数学归纳法在高中数学问题中的应用1. 证明数列的性质：数学归纳法常常用于证明数列的性质，比如等差数列和等比数列。
以等差数列为例，我们可以通过数学归纳法证明其通项公式。
2. 证明不等式的成立：数学归纳法可以用于证明不等式在某个范围内的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明恒等式：数学归纳法也可以用于证明恒等式的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明Fibonacci数列的递推公式。
4. 证明图形的性质：数学归纳法可以用于证明图形的性质，比如几何图形中的等式或者不等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明平面上n个点可以构成n(n-1)/2条直线。
5. 证明数学问题的结论：数学归纳法可以用于证明一些数学问题的结论。
例如，我们可以通过数学归纳法证明所有的偶数都可以被2整除。
通过以上几个例子，我们可以看到数学归纳法在高中数学问题中的广泛应用。
通过合理运用数学归纳法，我们可以简化证明过程，提高解题效率，使得数学问题的解决更加清晰明了。
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
高中数学中的数学归纳法解题技巧
高中数学中的数学归纳法解题技巧数学归纳法是一种常用的解题思路，特别适用于高中数学中的证明、递推问题以及数列等内容。
通过观察题目的特点，我们可以灵活运用数学归纳法的解题技巧，快速解决问题。
本文将从数学归纳法的基本概念、应用场景以及解题策略三个方面，介绍高中数学中的数学归纳法解题技巧。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种数学推理方法，常用于证明命题对于所有自然数都成立。
其基本思想是：先证明当n为某个自然数时命题成立，然后证明如果n为某个自然数时，命题对于n+1也成立。
根据这个思路，如果命题对于n=1成立，并且对于n=k成立时，可以推出对于n=k+1也成立，那么我们可以断定命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用场景数学归纳法的应用场景广泛，特别适用于证明与递推问题。
在高中数学中，常见的应用场景包括：1. 证明等式和不等式成立。
2. 证明数列的通项公式。
3. 证明递推关系式成立。
4. 证明集合中的元素具有某种性质。
三、数学归纳法解题策略在应用数学归纳法解题时，我们可以按照以下策略进行操作：1. 确定基本情况：首先证明当n为某个具体的数时命题成立。
通常选择n=1或n=0作为基本情况。
2. 假设归纳成立：假设命题对于n=k成立，即假设命题在n=k时是成立的。
3. 证明归纳成立：利用假设的前提，证明对于n=k+1时命题也成立。
可以通过计算、推导、代入等方法进行证明。
4. 总结归纳：由于基本情况成立并且归纳步骤推导成立，我们可以得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
通过上述解题策略，我们可以快速有效地运用数学归纳法解决涉及证明、递推、数列等问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们要保证每一步的推导都是准确无误的，以确保最终结论的可靠性。
总结数学归纳法是高中数学中常用的解题思路，它能够帮助我们理清问题的思路，快速解决证明、递推、数列等类型的问题。
在运用数学归纳法时，我们要注意确定基本情况，假设归纳成立，证明归纳成立以及总结归纳的步骤。
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧数学归纳法是一种证明数学定理的技巧，它被广泛应用于高中数学中的数列、递归和整数论等分支中。
掌握数学归纳法不仅是学生迈向高中数学成功的重要一步，也对于日后从事理科相关工作的人士非常有用。
但是，许多学生在学习数学归纳法时，可能会感到困难和挫败。
接下来，本文将提供一些有用的技巧，以帮助学生掌握高中数学归纳法。
1. 理解归纳法归纳法的基本思想是，如果证明了一个定理对于其中某一个数值成立，那么就可以证明该定理对于如此数值以上所有的数值均成立。
也就是说，这种技巧要通过逐步证明某些特定的问题，以确保它们与已知的问题保持一致性。
2. 寻找基准情况在使用数学归纳法证明定理时，我们首先需要找到一个基准情况，即某个特定情况下，定理是否成立。
如果只是单纯的陈述一个问题，是无法进行任何操作的。
例如，如果证明一个数列的特点适用于数列的第一项或第二项，那么我们就可以说明在这些元素上定理是完全成立的。
这就是所谓的“基准情况”。
3. 假设成立条件在数学归纳法中，需要假设某些情况下定理是成立的。
这些情况不一定要包括所有的情况，也可以是一部分情况。
你需要考虑哪种形式的假设能够完成证明。
4. 做归纳假设的情况下证明定理公式成立在这一步中，我们通常会针对基准情况进行证明，并假设此时证明是成立的。
接下来，我们使用归纳假设对定理的公式进行证明，以证明基准情况之后所有的情况都是成立的。
需要注意的是，当证明过程中会出现一些细节问题，需要认真考虑如何解决。
5. 以基准情况为前提，证明更广泛的情况当基于归纳假设证明某定理的公式成立时，我们还需要证明它适用于更广泛的情况。
这一步的关键问题是，我们已经知道基准情况以及在某些情况下成立，所以我们也就需要证明除此之外的其他情况均成立。
在运用数学归纳法时，我们需要确保对这些所谓的“其他情况”进行明确的定义，并给出符合这些条件的例子以加强证明的可行性和可靠性。
6. 思考如何使用归纳法学会如何正确运用数学归纳法并不容易，需要经过实践和思考。
高一数学中如何应用归纳法和反证法
高一数学中如何应用归纳法和反证法在高一数学的学习中，归纳法和反证法是两种非常重要的解题方法和思维工具。
掌握并熟练运用这两种方法，对于我们理解数学概念、解决数学问题、培养逻辑思维能力都有着极大的帮助。
首先，我们来了解一下归纳法。
归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。
在数学中，归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。
不完全归纳法是根据事物的部分对象具有某种属性，从而得出该类事物全体都具有这种属性的结论。
这种方法虽然简单快捷，但结论不一定可靠。
比如，我们通过观察前几个奇数的和，得出“奇数的前 n 项和等于 n 的平方”这个结论，这就是不完全归纳法得出的猜想。
然而，要证明这个结论的正确性，就需要用到完全归纳法，也就是数学归纳法。
数学归纳法的基本步骤通常有两步。
第一步是验证当 n 取第一个值n₀（通常 n₀＝ 1）时命题成立。
第二步是假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k为自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过这两步，就可以证明对于从 n₀开始的所有自然数 n，命题都成立。
举个例子，我们来证明“1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝n²”这个命题。
首先，当 n ＝ 1 时，左边是 1，右边是 1²＝ 1，命题成立。
假设当 n ＝k 时命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋1 时，左边是 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1) ＝ k²＋（2k ＋ 1) ＝（k ＋ 1)²，右边是（k ＋ 1)²，命题也成立。
所以对于所有自然数 n，这个命题都成立。
在运用归纳法时，要注意观察和总结规律，通过对特殊情况的分析，提出合理的猜想，然后再用数学归纳法进行严格的证明。
归纳法能够帮助我们发现新的数学结论，探索数学的奥秘。
接下来，我们再看看反证法。
反证法是一种间接证法，它先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是一种常用的数学解题方法，在高数解题中经常被应用。
通过总结归纳法，我们可以从具体的实例中总结出一般的规律，进而解决更加复杂的问题。
总结归纳法一般分为两个步骤：总结和归纳。
我们需要通过具体的实例或者特殊情况来总结出一种规律。
这个步骤通常需要我们熟悉并理解题目的条件和要求，从而找到一种特殊情况来进行总结。
我们要证明一个数列的通项公式是An = n(n+1)/2。
我们可以先计算出前几项数列的值，比如A1 = 1, A2 = 3, A3 = 6，然后观察这些值之间有没有什么规律。
有时候我们可能需要更多的特殊情况来总结出规律。
这时我们可以通过多次计算不同的特殊情况，然后找到它们之间的共同点。
在总结出规律之后，我们需要进一步进行归纳，即证明我们总结的规律对于所有情况都成立。
归纳的方法有很多种，其中数学归纳法是一种常用的方法。
数学归纳法的基本思想是：首先证明规律在某个特殊情况下成立，然后假设规律在某一项成立，再通过这个假设证明规律在下一项也成立，最终可以得出规律对于所有情况都成立。
以前面那个数列的例子来说，我们可以首先证明An = n(n+1)/2在特殊情况下成立，比如当n=1时，n(n+1)/2 = 1(1+1)/2 = 1。
接下来，假设规律在某一项n=k下成立，即Ak = k(k+1)/2。
然后我们通过这个假设证明规律在下一项n=k+1也成立，即Ak+1 =(k+1)(k+2)/2。
利用等式Ak = k(k+1)/2，可以得到Ak+1 = (k+1)(k+2)/2 = (k^2+3k+2)/2 = (k(k+1)/2) + (k+1) = Ak + (k+1)。
对于数列An = n(n+1)/2，通过数学归纳法可以证明其通项公式对于所有的n都成立。
总结归纳法的应用不仅限于数列，还可以用于解决其他数学问题，比如等式的推导、不等式的证明等。
通过总结归纳法，我们可以从具体的实例中发现规律，从而解决更加复杂的问题。
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧数学归纳法是高中数学中常见的一种解题方法，它通常用于证明数学结论或者计算数列等。
但是，并不是所有的数学归纳法都适用于所有的数学问题，在实际解题中，我们需要根据具体问题具体分析，选择合适的数学归纳法作为解题方法。
本文将详细介绍在高中数学中，如何应用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明方法，它基于如下原理：如果能够证明一个命题对于某一个正整数成立，同时能够证明它对于任何一个大于该正整数的正整数也成立，那么可以证明这个命题对所有正整数都成立。
数学归纳法的证明分为两步：第一步是证明当$n=1$时命题成立；第二步是假设$n=k$时命题成立，证明$n=k+1$时命题也成立。
这样证明完了这两步之后，便可以得出结论：这个命题对于所有正整数都成立。
二、数学归纳法的应用技巧1. 注意命题的表述方式在应用数学归纳法解题时，需要注意命题的表述方式。
一般来说，命题的表述应该是对于所有正整数$n$，某一个性质成立，而不是只对于某一个正整数成立。
比如说，我们要证明所有的正整数的平方都大于该正整数本身，那么命题的表述应该是对于所有正整数$n$，$n^2>n$ 成立，而不是只对于某一个正整数成立。
2. 确定归纳假设在利用数学归纳法证明某一结论时，需要先确定归纳假设。
归纳假设是指我们假设当$n=k$时命题成立，然后尝试证明当$n=k+1$时命题也成立。
归纳假设的选择很关键，一般来说，需要根据命题的特点和数学归纳法的思想，选择合适的归纳假设。
3. 找到证明方法在确定归纳假设之后，需要找到一个证明方法，证明当$n=k+1$时命题也成立。
这个证明方法可以直接由归纳假设推导得到，或者是通过某些算术变形、代数运算等得到。
需要注意的是，证明方法必须是正确的，不能有逻辑漏洞或者不严谨的地方。
三、数学归纳法的实例下面通过两个实例来说明如何应用数学归纳法解题。
实例1：证明$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$解：首先进行基本步骤的证明，当$n=1$时，显然，$1=1^2$，公式成立。
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是数学中一种非常重要的思想方法，其应用广泛，可以解决各种问题。
在高等数学学习中，总结归纳法也是必不可少的一种方法，能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念和理论，解决各种数学问题。
下面就是对高数解题中总结归纳法的应用的一些总结。
一、数列问题数列问题是总结归纳法最常用的应用之一。
在数列问题中，我们可以使用归纳法的方法，递推求出数列的通项公式，从而得到数列的一些性质和定理。
例如：1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果已知a1和d，则可以通过递推求出数列的通项公式an=a1+(n-1)d，然后通过归纳法证明。
3. 证明斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其通项公式为an=F(n)=[(1+sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)-[(1-sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)，可以通过递推求出，然后通过归纳法证明。
二、数学归纳法证明数学归纳法是总结归纳法中最常见的一种方法，可以用来证明各种数学定理和命题。
归纳法的基本思想是：对于某个命题或定理，如果已知它对某个整数成立，同时又知道它对某个整数k+1成立，那么可以推导它对所有大于等于该整数的整数也成立。
例如：1. 证明等差数列的前n项和公式：首先假设k=1时该公式成立，那么对于k+1时，有Sn+1=S(n+1)+a(n+1)，代入等差数列通项公式可以得到Sn+1=1/2(n+1)(a1+an)，证毕。
2. 证明数学归纳法原理：假设P(1)成立，即当n=1时命题成立；再假设当n=k时命题成立，则要证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
证毕。
三、不等式证明不等式证明也是总结归纳法的一种应用方式。
在不等式证明中，我们可以通过找到一些基准式，从而验证不等式的成立。
例如：1. 证明柯西不等式：对于数列a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn，柯西不等式表示(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
如何利用高一数学中的数学归纳法解题
如何利用高一数学中的数学归纳法解题在高一数学的学习中，数学归纳法是一种非常重要的解题方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，对于培养我们的逻辑思维和推理能力也具有重要意义。
那么，究竟如何利用数学归纳法来解题呢？下面就让我们一起来探讨一下。
首先，我们来了解一下数学归纳法的基本概念。
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
它的基本步骤分为两步：第一步是基础步骤，也就是证明当 n 取第一个值（通常是 1）时命题成立；第二步是归纳步骤，假设当 n ＝ k（k 是自然数，且k ≥ 第一个值）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
接下来，我们通过一些具体的例子来看看如何运用这两步来解题。
例 1：证明 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²第一步（基础步骤）：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边等于右边，命题成立。
第二步（归纳步骤）：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过以上两步，就证明了这个命题对于所有的自然数 n 都成立。
再来看一个例子：例 2：证明 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ n²＝ n(n ＋ 1)（2n ＋ 1)／6基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1²＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1)×（2×1 ＋ 1)／6 ＝ 1，左边等于右边，命题成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＋（k ＋ 1)²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)²＝（k ＋ 1)k(2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)＝（k ＋ 1)（2k²＋ k ＋ 6k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（2k²＋ 7k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
高中数学中的数学归纳法
高中数学中的数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法，在高中数学中也是一个重要的概念。
它是一种通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立的方法，常用于证明自然数性质。
本文将介绍数学归纳法的基本原理、应用以及一些相关的数学问题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理是：如果能够证明以下两个条件成立，那么对于任意自然数n，命题P(n)都成立。
1. 基础情况：证明P(1)成立。
2. 推理过程：假设P(k)成立，证明P(k+1)也成立。
数学归纳法的基本思想是通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立，从而得出结论。
它的证明过程类似于搭积木，每一块积木都依赖于前一块的存在，最终搭建出一个完整的结构。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，特别是在数列和不等式的证明中常常用到。
1. 数列的证明：数学归纳法可以用来证明数列的递推公式成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时递推公式成立；然后假设当n=k时递推公式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时递推公式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：递推公式对于任意自然数n都成立。
2. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时不等式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：不等式对于任意自然数n都成立。
三、数学归纳法的相关问题除了基本原理和应用，数学归纳法还与一些相关的数学问题密切相关。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的数列，在数学归纳法中有着重要的应用。
斐波那契数列的递推公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
通过数学归纳法可以证明斐波那契数列的递推公式成立。
2. 整数的奇偶性：数学归纳法还可以用来证明整数的奇偶性。
首先证明基础情况，即证明1是奇数；然后假设k是奇数，证明k+1也是奇数。
如何解决高中数学中的数学归纳法难题
如何解决高中数学中的数学归纳法难题数学归纳法是数学中一种重要且常用的证明方法，也是高中数学课程中的重点内容之一。
然而，对于很多学生来说，数学归纳法问题常常令人困惑。
本文将探讨如何解决高中数学中的数学归纳法难题，并提供一些实用的解题方法。
一、了解数学归纳法的基本概念在解决数学归纳法难题之前，首先需要明确数学归纳法的基本概念。
数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明一系列命题的正确性。
它由三个步骤组成：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立，归纳步骤是假设命题在某个情况下成立，然后证明在此情况下命题成立时，命题在下一个情况也成立。
通过这样的迭代过程，最终证明了命题对于所有情况都成立。
二、培养数学归纳法的思维方式数学归纳法要求学生具备一种递推的思维方式。
为此，学生应该通过大量的练习来培养这种思维方式。
首先，学生可以选择一些简单的数学归纳法问题进行练习，如证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
通过这些简单的问题，学生可以逐步熟悉和掌握数学归纳法的思维方式。
当学生掌握了基本的思维方式后，可以逐渐挑战更复杂的数学归纳法问题。
三、分析问题，寻找规律在解决数学归纳法难题时，学生应该先分析问题，寻找规律。
要想顺利地应用数学归纳法，必须先观察到规律，以便在归纳步骤中正确地应用归纳假设。
可以通过列举特殊情况的方法来观察规律，也可以通过找到数列或数列之间的关系来进行推导。
例如，对于证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2的问题，可以通过列举几个特殊情况，观察到和式的规律，并通过数学归纳法证明。
四、学会用递推关系式表示问题在解决数学归纳法难题时，学生需要学会用递推关系式表示问题，即将问题的解与问题的较小规模的解之间建立关系。
这一步骤在归纳假设的应用中非常关键。
通过建立递推关系式，可以将大问题化简为小问题，并通过已知的小问题的解来推导出大问题的解。
例如，对于证明1+3+5+...+(2n-1)=n^2的问题，可以将其分解为1+3=2, 1+3+5=4,1+3+5+7=9等小问题，并通过这些小问题的解递推得出大问题的解。
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
高中数学归纳法的步骤
高中数学归纳法的步骤嘿，咱今儿就来聊聊高中数学归纳法的那些事儿哈！你说数学归纳法，它就像一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多难题的大门呢！那它到底有啥步骤呢？听我慢慢给你道来。
首先呢，咱得先验证当 n 等于最小的那个值时，命题是不是成立。
这就好比你要盖房子，得先把第一块砖稳稳地放好，这是基础呀！要是这第一步都过不去，那后面不就没戏啦？然后呢，咱就得假设当 n 等于 k 的时候命题成立。
这就好像是你先假设了一条路能走得通，虽然你还没真的走过去，但你心里有了个底呀。
接下来，重点来啦！你得证明当 n 等于 k+1 的时候命题也成立。
这可不容易呢，就好像你顺着你假设的那条路往前走，得真的能走得通才行！你得把 k 和 k+1 联系起来，找出它们之间的关系，这可需要点小机灵劲儿呢！你想想啊，要是咱能证明这一步，那是不是就意味着只要前面一个成立了，后面一个也就跟着成立啦？这就跟多米诺骨牌似的，只要第一张倒了，后面的就会哗啦啦全倒啦！比如说，咱要证明一个关于自然数的等式，那咱先验证 1 的时候对不对，然后假设 k 的时候对，再努力去证明 k+1 的时候也对。
这不就一步步搞定啦？数学归纳法这玩意儿，真的很奇妙呀！它能让咱从特殊到一般，把一个一个的具体情况归纳成普遍的规律。
就好像咱从一颗颗星星里，找到了整个星空的奥秘！你可别小瞧了这几步哦，每一步都得认真对待，稍有差错可就前功尽弃啦！就像走钢丝一样，得小心翼翼地走好每一步。
咱在学习数学归纳法的时候，可得多做几道题练练手，把这几步都走熟了。
到时候遇到难题，咱就可以胸有成竹地说：“嘿，看我的数学归纳法，分分钟搞定你！”反正啊，高中数学归纳法的这几步，那可是相当重要啊！咱得把它掌握好，让它成为咱解题的得力助手。
加油吧，小伙伴们！相信你们一定能把数学归纳法用得炉火纯青的！就这么着啦！。
高中数学解题基本方法之数学归纳法
五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k ＋1 B. 2(2k ＋1) C. 211k k ++ D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1 3. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用
总结归纳法是高等数学中常用的一种解题方法，它通过分析问题中的特点和规律，归纳出一般情况，从而推导出特殊情况的结论。
下面将从三个方面介绍总结归纳法在高等数学解题中的应用。
一、函数求导
在函数求导中，总结归纳法可以帮助我们找到函数求导的一般规律。
以幂函数为例，对于幂函数 y=x^n ，我们可以通过总结归纳法推导出它的导数的一般形式。
首先我们有y=x 的导数为 1 ，进一步假设 n=k 时 y=x^k 的导数为 kx^{k-1} ，那么我们可以推导出 n=k+1 时 y=x^{k+1} 的导数为 (k+1)x^k ，这样我们就得到了幂函数的导数的一般规律。
同样的方法可以应用于指数函数、对数函数等其他函数的求导。
二、数列递推
在数列递推问题中，总结归纳法可以帮助我们找到数列递推的一般规律。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的前两项是 1 ，从第三项开始，每一项都是前两项之和，即
a_n=a_{n-1}+a_{n-2} 。
通过观察前几项的关系，我们可以推测出斐波那契数列的一般规律。
同样的方法可以应用于其他数列的递推问题。
三、数学归纳法
数学归纳法是高等数学中最为常见的总结归纳法应用之一。
在数学证明中，常常需要证明一个结论对于所有正整数都成立，这时就可以使用数学归纳法来证明。
数学归纳法的基本思想是：首先证明结论对于n=1时成立，然后假设结论对于n=k成立，再证明结论对于n=k+1时也成立。
通过这样的推理过程，我们可以总结出结论对于所有正整数都成立的一般规律。
高中数学研究数学中的数学归纳与递推
高中数学研究数学中的数学归纳与递推数学归纳法和递推法是高中数学中常用的方法之一，它们在解决数学问题时具有重要的作用。
本文将探讨数学归纳法和递推法在数学研究中的应用。
一、数学归纳法的基本原理及应用数学归纳法是一种证明方法，它通过证明当n取某个特定值时命题成立，再证明当n取k+1时，命题也成立。
这样一来，我们就可以由n=k时的命题成立，推导出n=k+1时的命题也成立。
数学归纳法的基本步骤如下：1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 归纳假设：假设当n取k时命题成立。
3. 归纳步骤：证明当n取k+1时命题也成立。
数学归纳法在解决问题时常用于证明数列的性质、不等式的成立性以及恒等式等。
例如，我们可以通过数学归纳法证明斐波那契数列中的每一项都是整数，或者证明一个数学恒等式对所有正整数成立。
二、数学递推法的基本原理及应用数学递推法是一种递推关系的建立和利用方法，它通过确定每一项之间的递推关系来求解数列中的其他项。
数学递推法的基本步骤如下：1. 确定初始条件：确定数列中的前几项。
2. 建立递推关系：找出数列中各项之间的递推关系式。
3. 计算其他项：利用递推关系式计算数列中的其他项。
数学递推法在解决问题时常用于求解数列、求解递推关系式以及求解递推问题等。
例如，我们可以通过递推法求解斐波那契数列的第n 项，或者求解一个递推关系式满足的数列。
三、数学归纳法与递推法的联系与区别数学归纳法和递推法在解决问题时有一定的联系，它们都是基于逐步推导的思想。
然而，数学归纳法更注重于证明命题的成立性，而递推法更注重于求解数列中的其他项。
数学归纳法和递推法的区别主要表现在以下几个方面：1. 目的不同：数学归纳法的目的是证明命题的成立性，递推法的目的是求解数列的其他项。
2. 步骤不同：数学归纳法包含基础步骤、归纳假设和归纳步骤，递推法包含初始条件、递推关系和计算其他项。
3. 应用范围不同：数学归纳法主要用于证明命题的成立性，递推法主要用于求解数列中的其他项。
高考数学中的数学归纳法
高考数学中的数学归纳法高考数学是中学阶段的最后一次考试，也是学生们备受关注的考试之一。
其中，数学科目通常是考生们最为关注的科目之一，因为数学知识点繁杂，要求掌握的方法、技巧也相对繁琐。
其中，数学归纳法是高考数学中的一个非常重要的知识点之一，在此，我们将深入探讨高考数学中的数学归纳法。
一、数学归纳法基础数学归纳法是数学证明的一种基本方法，用来证明一个命题对整数“自然数集合”中的所有自然数都成立。
即把命题对自然数进行递归论证。
这种方法常常被用于数学证明中，能够使一道问题的证明变得比较简单和优雅。
在数学归纳法中，需要证明以下两个条件成立：1.基本步骤：证明命题对于n=1成立。
2.归纳步骤：对于所有的k，如果命题对于n=k成立，则命题对于n=k+1也必然成立。
通过这两个步骤，能够得到整个数列的正确性，也就证明了该命题在自然数集上成立。
二、数学归纳法的应用范围数学归纳法可以被应用在多个数学领域中，与各种数学理论和概念有关。
例如，它可以被用来证明等差数列和等比数列等的公式，同时也可以被用来证明与斐波那契数列和多项式恒等式相关的问题。
在高考数学中，数学归纳法同样被广泛应用。
例如，在数列部分的求和问题中，我们可以借助数学归纳法来解决相关问题。
具体而言，可以用归纳法来证明等差数列的求和公式, 同时也可以用归纳法来证明等比数列的求和公式。
三、数学归纳法的实际应用数学归纳法不仅仅在数学领域中有广泛的应用，同时也被广泛应用在各种其他领域中。
例如，在计算机科学领域中，数学归纳法可以被用来证明递归算法的正确性。
在生物科学领域中，数学归纳法也被用来描述和证明种群数量问题和几何规律等问题。
在经济学领域中，数学归纳法也被用来证明消费者决策和竞争行为偏好等问题。
总的来说，数学归纳法在许多不同领域中都有着广泛的应用，使得研究问题变得更加简单和易于了解。
结语数学归纳法作为数学证明中的一种基本方法，被广泛应用于各种数学领域以及其他更广泛的领域中。
61. 高中数学如何有效运用归纳法？
61. 高中数学如何有效运用归纳法？一、协议关键信息1、归纳法的定义与特点定义：＿___________________________特点：＿___________________________2、归纳法在高中数学中的适用范围数列问题：＿___________________________不等式证明：＿___________________________函数性质推导：＿___________________________3、有效运用归纳法的步骤观察与分析：＿___________________________提出猜想：＿___________________________验证猜想：＿___________________________4、常见错误与避免方法以偏概全：＿___________________________逻辑不严密：＿___________________________5、归纳法与其他数学方法的结合与演绎法的结合：＿___________________________与反证法的结合：＿___________________________二、协议正文11 引言在高中数学的学习中，归纳法是一种重要的数学思维方法。
它能够帮助学生从特殊的事例中发现一般性的规律，从而解决各种数学问题。
本协议旨在探讨高中数学中如何有效运用归纳法，以提高学生的数学思维能力和解题能力。
111 归纳法的定义与特点归纳法是从个别事实中概括出一般结论的推理方法。
其特点包括：基于观察和经验，从具体到抽象，具有或然性（即结论不一定绝对正确，需要进一步验证）。
112 归纳法在高中数学中的适用范围1121 数列问题在数列中，通过观察前几项的数值特点，可以尝试运用归纳法推测出数列的通项公式。
例如，等差数列和等比数列的通项公式就可以通过对前几项的分析归纳得出。
1122 不等式证明对于一些与自然数有关的不等式证明，归纳法往往能发挥重要作用。
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高中数学解题基本方法五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n ≥n 0且n ∈N ）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k ＋1B. 2(2k ＋1)C. 211k k ++D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k ＋13. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。
现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得______。
(94年上海高考)A.当n ＝6时该命题不成立B.当n ＝6时该命题成立C.当n ＝4时该命题不成立D.当n ＝4时该命题成立4. 数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n -1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是_____。
A. 3n －2B. n 2C. 3n -1D. 4n －35. 用数学归纳法证明342n +＋521n + (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子3412()k ++＋5211()k ++应变形为_______________________。
6. 设k 棱柱有f(k)个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
【简解】1小题：n ＝k 时，左端的代数式是(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k),n ＝k ＋1时，左端的代数式是(k ＋2)(k ＋3)…(2k ＋1)(2k ＋2)，所以应乘的代数式为()()21221k k k +++，选B ；2小题：（2k +1－1）－（2k －1）＝2k ，选C ；3小题：原命题与逆否命题等价，若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 命题不成立，选C 。
4小题：计算出a 1＝1、a 2＝4、a 3＝9、a 4＝16再猜想a n ，选B ；5小题：答案（342k +＋521k +）3k ＋521k +（52－34）； 6小题：答案k －1。
Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列811322··，得，…，8212122··n n n ()()-+，…。
S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。
（93年全国理）【解】 计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081 ，猜测S n ＝()()2112122n n +-+ (n ∈N)。
当n ＝1时，等式显然成立；假设当n ＝k 时等式成立，即：S k ＝()()2112122k k +-+，当n ＝k ＋1时，S k +1＝S k ＋81212322··()()()k k k +++ ＝()()2112122k k +-+＋81212322··()()()k k k +++ ＝()()()()()()21232381212322222k k k k k k +⋅+-+++++·· ＝()()()()()212321212322222k k k k k +⋅+--++·＝()()2312322k k +-+, 由此可知，当n ＝k ＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n ∈N 都成立。
【注】 把要证的等式S k +1＝()()2312322k k +-+作为目标，先通分使分母含有(2k ＋3)2，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k ＋3）2－1。
这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。
本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。
假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。
必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和： 由a n ＝8212122··n n n ()()-+＝1212()n -－1212()n +得，S n ＝（1－132）＋（132－152）＋……＋1212()n -－1212()n +＝1－1212()n +＝()()2112122n n +-+。
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现8212122··n n n ()()-+＝1212()n -－1212()n +的裂项公式。
可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设a n ＝12×＋23×＋…＋n n ()+1 (n ∈N),证明：12n(n ＋1)<a n <12(n ＋1)2 。
【分析】与自然数n 有关，考虑用数学归纳法证明。
n ＝1时容易证得，n ＝k ＋1时，因为a k +1＝a k ＋()()k k ++12,所以在假设n ＝k 成立得到的不等式中同时加上()()k k ++12，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
【解】 当n ＝1时，a n ＝2，12n(n+1)＝12，12(n+1)2＝2 ， ∴ n ＝1时不等式成立。
假设当n ＝k 时不等式成立，即：12k(k ＋1)<a k <12(k ＋1)2 ， 当n ＝k ＋1时，12k(k ＋1)＋()()k k ++12<a k +1<12(k ＋1)2＋()()k k ++12,12k(k ＋1)＋()()k k ++12>12k(k ＋1)＋(k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋3)>12(k ＋1)(k ＋2)， 12(k ＋1)2＋()()k k ++12＝12(k ＋1)2＋k k 232++<12(k ＋1)2＋(k ＋32)＝12(k ＋2)2， 所以12(k ＋1)(k ＋2) <a k <12(k ＋2)2，即n ＝k ＋1时不等式也成立。
综上所述，对所有的n ∈N ，不等式12n(n ＋1)<a n <12(n ＋1)2恒成立。
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
本题中分别将()()k k ++12缩小成(k ＋1)、将()()k k ++12放大成(k ＋32)的两步放缩是证n ＝k ＋1时不等式成立的关键。
为什么这样放缩，而不放大成(k ＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。
主要是抓住对n n ()+1的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。
解法如下：由n n ()+1>n 可得，a n >1＋2＋3＋…＋n ＝12n(n ＋1)；由n n ()+1<n＋12可得，a n <1＋2＋3＋…＋n ＋12×n ＝12n(n ＋1)＋12n ＝12(n 2＋2n)<12(n ＋1)2。
所以12n(n ＋1)<a n <12(n ＋1)2。
例3. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有S n ＝n a a n ()12+，证明{a n }是等差数列。
（94年全国文）【分析】 要证明{a n }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a n ＝a 1＋(n －1)d 。
命题与n 有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a 2－a 1＝d ，猜测a n ＝a 1＋(n －1)d 当n ＝1时，a n ＝a 1， ∴ 当n ＝1时猜测正确。
当n ＝2时，a 1＋(2－1)d ＝a 1＋d ＝a 2， ∴当n ＝2时猜测正确。
假设当n ＝k （k ≥2）时，猜测正确，即：a k ＝a 1＋(k －1)d ， 当n ＝k ＋1时，a k +1＝S k +1－S k ＝()()k a a k +++1211－k a a k ()12+，将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入上式， 得到2a k +1＝(k ＋1)(a 1＋a k +1)－2ka 1－k(k －1)d ， 整理得(k －1)a k +1＝(k －1)a 1＋k(k －1)d ，因为k ≥2,所以a k +1＝a 1＋kd ，即n ＝k ＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而{a n }是等差数列。
【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题。
在证明过程中a k +1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S n ＝n a a n ()12+、数列中通项与前n 项和的关系a k +1＝S k +1－S k 建立含a k +1的方程，代入假设成立的式子a k ＝a 1＋(k －1)d 解出来a k +1。
另外本题注意的一点是不能忽视验证n ＝1、n ＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n ＝2时等式成立，因为由(k －1)a k +1＝(k －1)a 1＋k(k －1)d 得到a k +1＝a 1＋kd 的条件是k ≥2。