数字信号处理(胡广书)课件 (1)
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( f : Hz; Ω : rad/s; f s : 抽样频率, Hz )
x(n) = x(t)|t =nTs = Asin(2π fn / fs +ϕ)
定义： ω = 2π f / f s
( rad )
x ( n ) = A s in (ω n + ϕ )
x (t )
1 0.5 0 -0.5 -1
“距离” 的应用：
d1
样本 x
if
d 2 < d1
then x ∈ 集合2
d2
µ1 ：均值
Σ1 ：方差矩阵
µ 2 ：均值
Σ 2 ：方差矩阵
集合2
集合1
（四）内积
〈 x , y〉 = ∫ x(t ) y (t )dt
−∞ ∞
∞
∗
〈 x , y〉 =
如果 则
n =−∞
∑ x ( n) y ( n)
∗
可求出： Ex1 =
∑ (1 n )
n =1
∞
2
=π 6
能量信号
信号
1 n ≥1 x2 (n) = n 0 n ≤ 0
可求出：
Ex2 = ∑1 n
n =1
∞
不收敛，非 能量信号
均匀分布的随机变量 5. 1-D, 2-D, 3-D 6. 单通道, 多通道
1.3 噪声（Noise）
第1章 离散时间信号与离散时间系统基础
一、 常用的离散时间信号； 二、信号的分类； 三、噪声； 四、信号空间； 五、离散时间系统； 六、 LSI系统输入、输出关系； 七、 LSI系统的频率响应； 八、确定性信号的相关函数
1.1 常用的离散时间信号
（Kronecker 函数）
1 n = 0 δ (n) = 0 n ≠ 0 1 n = k δ (n − k ) = 0 n ≠ k
0
10
20
30
40
50
60
70
x(n )
1 0.5 0 -0.5 -1
0
10
20
30
40
50
60
70
例:
则
x ( t ) = s in ( 2 0 0 π t )
T = 0.01s
令
fs = 400Hz 则:
x(n) = sin( 200πn / 400) = sin( 0.5πn)
则周期
N =4
p (t ) =
k =−∞
Leabharlann Baidu
∑ δ (t − kT )
s
∞
x(nTs ) = x(t ) p(t ) = x(t ) ∑ δ (t − nTs )
n =−∞
∞
将 nTs 用
n 来替换
x(nTs ) ⇒ x(n)
离散 序列
x(t ) = A sin(2π f t + ϕ ) = A sin(Ωt + ϕ )
如何 表达 p ( n) =
k =−∞
∑ δ (n − k )
∞
单位冲激信号（Drac 函数）
∫
∫
∞ −∞
∞
−∞
δ (t )dt = 1
δ (t ) = 0, t ≠ 0
x(t)δ (t −τ )dt = x( ) τ
脉冲串： p(n ) =
k =−∞
∑ δ (n − k )
∞
或写为 p( n ) ={… , 1 , 1 , 1 , …} 冲激串：
0 (b )
0 .5
1
1 .5
2
直方图
2.有色噪声： Colored Noise
！
题 除 噪 声 是 信 号 处 理 的 永 恒 话
去
特点：频谱不是直线 3. 脉冲噪声 4. 工频噪声 （二）噪声与信号的关系：
加法性噪声 乘法性噪声
1.4 信号空间
（一） 范数: Norm
2 || x ||2 = ∫ x(t ) dt , || x ||2 = ∑ | x(n) | −∞ n =−∞
正实数的集合 复数的集合
（三）两个信号之间的距离
距离的性质： 距离的性质
0 ≤ d ( x, y ) < ∞ if d ( x, y ) = 0, then x (n ), y (n ) ? d ( x, y ) = d ( y , x ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y )
4. Z DFT, DCT
5. 信号时间尺度变化：
x(t )
x(t / a)
x(at )
0
t
0
a >1
t
0
t
离散信号时间尺度的伸缩
信号的抽取与插值
6. 信号的分解
x = ∑ α nϕ n
n =1 N
信号的离散表示 分解的基向量 分解的系数
ϕ1 , ϕ 2 ,⋯ , ϕ N
α1 ,α 2 ,⋯ ,α N
1000
500
0
0
0 .2
0 .4 0 .6 (b ) b ins o f x a xis
0 .8
1
直方图
高斯分布白噪声
1 .5 1 u(n) 0 .5 0 -0 .5 -1 0 x 10
4
20
40 (a )
60
80
100
5 histogram of u(n) 4 3 2 1
0 -1 .5
-1
-0 .5
x(n) = sin(ωn) x(n) = sin(0.01 n) π
N = 200
N = 20π
无周期
e
jω n
= cos(ω n) + j sin(ω n)
} 欧拉公式
则
n = −∞ ~ 0 ~ ∞
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
1
p(n )
∞ 2
1 2
∞
1 2
范数的性质： 范数的性质
x ≥ 0, if
x = 0, then
x
全零信号
λx = λ x
x+ y ≤ x + y
三角不等式
（二） 信号空间定义 的 的 的 的集合 的集合 的集合
x ∈ l2 :
是能量信号
Z N R R C
＋=
整数的集合 正整数的集合 实数的集合
Z
(
Z＋ )
（一）噪声的种类： 频谱为一直线； 1.白噪声：
White Noise
自相关函数为
δ
函数
各点之间互不相关
白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！
均匀分布白噪声
1 0 .8 u(n) 0 .6 0 .4 0 .2 0 0 20 40 60 (a ) n=1 --- 1 0 0 80 100
1500 histogram of u(n)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
指数信号
5. Chirp 信号： 信号：
1. 移位： 移位：
整个序 列移动
k =3
: 当前时刻 : 过去时刻 :将来 是 以后用 的单位延迟
z
−1
表示
注 2. 加, 减, 乘: ： 时 刻 对 齐 3. 意 ·
y ( n ) = x1 ( n ) ∗ x2 ( n )
正交
许瓦兹不等式
空间的概念
线性空间： 即向量空间； 赋范线性空间：定义了范数的线性空间； 度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间， Metric 赋范线性空间也是度量空间； 内积空间： 定义并满足内积性质的空间；
Hilbert空间： 完备的内积空间称为Hilbert空间
由
x, ϕ1 , ϕ 2 ,⋯ , ϕ N
α1 ,α 2 ,⋯ ,α N
信号的分解，或信号的变换
1.2 信号的分类
1. 连续, 离散 2. 周期, 非周期 3. 功率信号, 能量信号
4. 确定性信号, 随机信号 表格 n → x ( n) 曲线 公式
例
信号
1 n ≥1 x1 (n) = n 0 n ≤ 0
x(n) = x(t)|t =nTs = Asin(2π fn / fs +ϕ)
定义： ω = 2π f / f s
( rad )
x ( n ) = A s in (ω n + ϕ )
x (t )
1 0.5 0 -0.5 -1
“距离” 的应用：
d1
样本 x
if
d 2 < d1
then x ∈ 集合2
d2
µ1 ：均值
Σ1 ：方差矩阵
µ 2 ：均值
Σ 2 ：方差矩阵
集合2
集合1
（四）内积
〈 x , y〉 = ∫ x(t ) y (t )dt
−∞ ∞
∞
∗
〈 x , y〉 =
如果 则
n =−∞
∑ x ( n) y ( n)
∗
可求出： Ex1 =
∑ (1 n )
n =1
∞
2
=π 6
能量信号
信号
1 n ≥1 x2 (n) = n 0 n ≤ 0
可求出：
Ex2 = ∑1 n
n =1
∞
不收敛，非 能量信号
均匀分布的随机变量 5. 1-D, 2-D, 3-D 6. 单通道, 多通道
1.3 噪声（Noise）
第1章 离散时间信号与离散时间系统基础
一、 常用的离散时间信号； 二、信号的分类； 三、噪声； 四、信号空间； 五、离散时间系统； 六、 LSI系统输入、输出关系； 七、 LSI系统的频率响应； 八、确定性信号的相关函数
1.1 常用的离散时间信号
（Kronecker 函数）
1 n = 0 δ (n) = 0 n ≠ 0 1 n = k δ (n − k ) = 0 n ≠ k
0
10
20
30
40
50
60
70
x(n )
1 0.5 0 -0.5 -1
0
10
20
30
40
50
60
70
例:
则
x ( t ) = s in ( 2 0 0 π t )
T = 0.01s
令
fs = 400Hz 则:
x(n) = sin( 200πn / 400) = sin( 0.5πn)
则周期
N =4
p (t ) =
k =−∞
Leabharlann Baidu
∑ δ (t − kT )
s
∞
x(nTs ) = x(t ) p(t ) = x(t ) ∑ δ (t − nTs )
n =−∞
∞
将 nTs 用
n 来替换
x(nTs ) ⇒ x(n)
离散 序列
x(t ) = A sin(2π f t + ϕ ) = A sin(Ωt + ϕ )
如何 表达 p ( n) =
k =−∞
∑ δ (n − k )
∞
单位冲激信号（Drac 函数）
∫
∫
∞ −∞
∞
−∞
δ (t )dt = 1
δ (t ) = 0, t ≠ 0
x(t)δ (t −τ )dt = x( ) τ
脉冲串： p(n ) =
k =−∞
∑ δ (n − k )
∞
或写为 p( n ) ={… , 1 , 1 , 1 , …} 冲激串：
0 (b )
0 .5
1
1 .5
2
直方图
2.有色噪声： Colored Noise
！
题 除 噪 声 是 信 号 处 理 的 永 恒 话
去
特点：频谱不是直线 3. 脉冲噪声 4. 工频噪声 （二）噪声与信号的关系：
加法性噪声 乘法性噪声
1.4 信号空间
（一） 范数: Norm
2 || x ||2 = ∫ x(t ) dt , || x ||2 = ∑ | x(n) | −∞ n =−∞
正实数的集合 复数的集合
（三）两个信号之间的距离
距离的性质： 距离的性质
0 ≤ d ( x, y ) < ∞ if d ( x, y ) = 0, then x (n ), y (n ) ? d ( x, y ) = d ( y , x ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y )
4. Z DFT, DCT
5. 信号时间尺度变化：
x(t )
x(t / a)
x(at )
0
t
0
a >1
t
0
t
离散信号时间尺度的伸缩
信号的抽取与插值
6. 信号的分解
x = ∑ α nϕ n
n =1 N
信号的离散表示 分解的基向量 分解的系数
ϕ1 , ϕ 2 ,⋯ , ϕ N
α1 ,α 2 ,⋯ ,α N
1000
500
0
0
0 .2
0 .4 0 .6 (b ) b ins o f x a xis
0 .8
1
直方图
高斯分布白噪声
1 .5 1 u(n) 0 .5 0 -0 .5 -1 0 x 10
4
20
40 (a )
60
80
100
5 histogram of u(n) 4 3 2 1
0 -1 .5
-1
-0 .5
x(n) = sin(ωn) x(n) = sin(0.01 n) π
N = 200
N = 20π
无周期
e
jω n
= cos(ω n) + j sin(ω n)
} 欧拉公式
则
n = −∞ ~ 0 ~ ∞
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
1
p(n )
∞ 2
1 2
∞
1 2
范数的性质： 范数的性质
x ≥ 0, if
x = 0, then
x
全零信号
λx = λ x
x+ y ≤ x + y
三角不等式
（二） 信号空间定义 的 的 的 的集合 的集合 的集合
x ∈ l2 :
是能量信号
Z N R R C
＋=
整数的集合 正整数的集合 实数的集合
Z
(
Z＋ )
（一）噪声的种类： 频谱为一直线； 1.白噪声：
White Noise
自相关函数为
δ
函数
各点之间互不相关
白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！
均匀分布白噪声
1 0 .8 u(n) 0 .6 0 .4 0 .2 0 0 20 40 60 (a ) n=1 --- 1 0 0 80 100
1500 histogram of u(n)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70
指数信号
5. Chirp 信号： 信号：
1. 移位： 移位：
整个序 列移动
k =3
: 当前时刻 : 过去时刻 :将来 是 以后用 的单位延迟
z
−1
表示
注 2. 加, 减, 乘: ： 时 刻 对 齐 3. 意 ·
y ( n ) = x1 ( n ) ∗ x2 ( n )
正交
许瓦兹不等式
空间的概念
线性空间： 即向量空间； 赋范线性空间：定义了范数的线性空间； 度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间， Metric 赋范线性空间也是度量空间； 内积空间： 定义并满足内积性质的空间；
Hilbert空间： 完备的内积空间称为Hilbert空间
由
x, ϕ1 , ϕ 2 ,⋯ , ϕ N
α1 ,α 2 ,⋯ ,α N
信号的分解，或信号的变换
1.2 信号的分类
1. 连续, 离散 2. 周期, 非周期 3. 功率信号, 能量信号
4. 确定性信号, 随机信号 表格 n → x ( n) 曲线 公式
例
信号
1 n ≥1 x1 (n) = n 0 n ≤ 0