多元回归与逐步回归 例题
冲刺高考数学多元线性回归分析与逐步回归法
冲刺高考数学多元线性回归分析与逐步回归法在高考数学的广袤领域中，多元线性回归分析与逐步回归法犹如两颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
对于即将踏上高考战场的学子们来说，深入理解和掌握这两个重要的数学工具，无疑是在数学高分征途上迈出的坚实一步。
首先，让我们来揭开多元线性回归分析的神秘面纱。
多元线性回归分析，简单来说，就是研究一个因变量与多个自变量之间线性关系的一种统计方法。
想象一下，我们在生活中常常会遇到这样的情况：比如，想要预测一个地区的房价，我们可能会考虑到房屋的面积、房龄、地理位置等多个因素；又或者，预测学生的考试成绩，可能会关联到学习时间、参加课外辅导的次数、家庭学习氛围等多种变量。
在这些场景中，多元线性回归分析就派上了用场。
它的基本原理是通过建立一个数学模型，来描述因变量与多个自变量之间的线性关系。
这个模型通常可以表示为：Y ＝ b₀＋ b₁X₁＋b₂X₂＋＋ bₙXₙ ＋ε，其中 Y 是因变量，X₁、X₂、、Xₙ 是自变量，b₀是截距，b₁、b₂、、bₙ 是回归系数，而ε 则是随机误差。
那么，如何求解这些回归系数呢？这就需要运用到最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是使得实际观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。
通过一系列复杂的数学运算，我们可以得到回归系数的估计值，从而确定回归方程。
但是，在实际应用中，并不是所有的自变量都对因变量有显著的影响。
这时候，逐步回归法就登场了。
逐步回归法就像是一个精明的筛选者，它能够从众多的自变量中挑选出那些对因变量影响最为显著的变量，从而建立一个更加简洁、有效的回归模型。
逐步回归法主要分为向前逐步回归、向后逐步回归和双向逐步回归三种。
向前逐步回归是从没有自变量开始，逐步引入对因变量影响显著的自变量；向后逐步回归则是先将所有的自变量纳入模型，然后逐步剔除不显著的自变量；双向逐步回归则是结合了前两种方法的特点，既可以引入新的自变量，也可以剔除已有的自变量。
在高考中，多元线性回归分析与逐步回归法可能会以多种形式出现。
多元逐步回归
多元回归分析逐步回归分析在自变量很多时，其中有的因素可能对应变量的影响不是很大，而且x之间可能不完全相互独立的，可能有种种互作关系。
在这种情况下可用逐步回归分析，进行x因子的筛选，这样建立的多元回归模型预测效果会更较好。
逐步回归分析，首先要建立因变量y与自变量x之间的总回归方程，再对总的方程及每—个自变量进行假设检验。
当总的方程不显著时，表明该多元回归方程线性关系不成立；而当某—个自变量对y影响不显著时，应该把它剔除，重新建立不包含该因子的多元回归方程。
筛选出有显著影响的因子作为自变量，并建立“最优”回归方程。
回归方程包含的自变量越多，回归平方和越大，剩余的平方和越小，剩余均方也随之较小，预测值的误差也愈小，模拟的效果愈好。
但是方程中的变量过多，预报工作量就会越大，其中有些相关性不显著的预报因子会影响预测的效果。
因此在多元回归模型中，选择适宜的变量数目尤为重要。
逐步回归在病虫预报中的应用实例:以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例（数据见DATA6.xls ），建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型，说明逐步回归分析的具体步骤。
影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个，通过逐步回归，从中选出对病情指数影响显著的因子，从而建立相应的模型。
对1984~1995年的病情指数进行回检，然后对1996~1998年的病情进行预报，再检验预报的效果。
变量说明如下：y：历年病情指数x1：前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株) x2：前年冬季极端气温x3：5月份最高气温x4：5月份最低气温x5：3~5月份降水量x6：4~6月份降水量x7：3~5月份均温x8：4~6月份均温x9：4月份降水量x10：4月份均温x11：5月份均温x12：5月份降水量x13：6月份均温x14：6月份降水量x15：第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量x16：5月份油菜百株蚜量x17：7月份降水量x18：8月份降水量x19：7月份均温x20：8月份均温x21：元月均温1）准备分析数据在SPSS数据编辑窗口中，用“File→Open→Data”命令，打开“DATA6.xls”数据文件。
作业-回归分析例题-逐步回归法
回归分析举例习题作业本次作业采用的是回归分析中的stepwise 的用法。
举例如下：水泥凝固时放出的热量y 与水泥中4种化学成分4321,,,x x x x 有关，今测得一组数据如表1，试用逐步回归来确定一个线性模型。
表1序号 1x2x3x4xy1 7 26 6 60 78.52 1 29 15 52 74.3 3 11 56 8 20 104.34 11 31 8 47 87.65 7 526 33 95.9 6 11 55 9 22 109.27 3 71 17 6 102.78 1 31 22 44 72.59 2 54 18 22 93.1 10 21 47 4 26 115.9 11 1 40 23 34 93.8 12 11 66 9 12 113.3 13 1068812109.4编写程序如下： clc,clearx0=[1 7 26 6 60 78.5 2 1 29 15 52 74.3 3 11 56 8 20 104.3 4 11 31 8 47 87.6 5 7 52 6 33 95.9 6 11 55 9 22 109.2 7 3 71 17 6 102.7 8 1 31 22 44 72.5 9 2 54 18 22 93.1 10 21 47 4 26 115.9 11 1 40 23 34 83.8 12 11 66 9 12 113.3 13 10 68 8 12 109.4]; x=x0(:,2:5); y=x0(:,6);stepwise(x,y,[1:4])在MATLAB 中运行上述程序得到图一所示图形界面：-2-1123X 1X 2X 3X 4Coefficients with Error BarsCoeff. t-stat p-val 1.5511 2.0827 0.07080.510168 0.7049 0.50090.101909 0.1350 0.8959-0.144061 -0.2032 0.844111234Model HistoryR M S E图一 逐步式回归交互画面由上图可以看出43,x x 不显著，移去这两个变量后的统计结果如图2。
多元线性回归例题第章作业(一)
多元线性回归例题第章作业(一)多元线性回归是一种统计学方法，通常用于分析建立多个变量之间的关系模型。
在实际数据分析中，多元线性回归是十分常见且实用的方法。
本文将以一道例题为例，介绍多元线性回归的基本原理及应用方法。
例题：某公司市场销售状况与广告投入的相关性分析。
根据公司过往的销售记录，有如下数据：市场销售（单位：万元）：10，20，30，25，35广告投入（单位：万元）：5，10，15，12，18解析：1. 确定预测模型在多元线性回归中，首先要确定 Y 与X1,X2,…,Xn 之间的函数关系，一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，β1, β2,…, βn为自变量系数，β0为常数项，而ε 则表示随机误差。
2. 根据数据集，求解系数通过数据集计算出β0，β1, β2,…, βn的值，从而得到回归方程式，可以通过excel工具中多元线性回归的公式求解得到。
3. 结果解释根据计算结果，对于此例，得到回归方程式：Y = 7.5 + 2.5X1 + 1.5X2其中，X1表示广告投入，X2表示销售额，可以解读得到，每增加1万元广告投入，市场销售量会增加 2.5万元，同时，其拟合优度也很好，在本例中拟合优度高达 0.97。
4. 结论通过多元线性回归，我们可以得到两个变量之间的函数关系式及预测结果，从而为市场策略和决策提供理论依据。
本题中，我们能够得出有利于市场销售的投入策略，即增加广告投入可以带来市场销售量的增长，而这种关系随着投入的增加而呈现出逐渐缓和，也就是得出了“策略的上升边际递减性”这样一个结论。
总结：多元线性回归在实际数据分析中的应用非常广泛，并且能够解决多个自变量与因变量之间的复杂关系。
在研究某种现象或问题时，通过多元线性回归建立适当的模型，可以通过计算得到更加准确的结果，从而更科学更有效地解决问题。
实验3——逐步回归分析
会选入较多的自变量 。
取得较小（即临界值 F (1, n m 1)较大），将
会导致一些重要的自变量被删除 。
4. 模型摘要
模型1为首次引入变量铁所对应的回归方程 ; 模型2为在引入变量铁的基础上又引入变量钙所对 应的回归方程.
5.方差分析表
模型2所对应的统计量 F = 44.557 , p≈.000＜0.01, 认为变量铁、钙对血红蛋白的线性回归显著，
6.回归方程中变量对应的回归系数
Y1 0.657＋0.029X铁
多元线性逐步（Stepwise）回归分析
例 已知29例儿童的血红蛋白与钙、镁、铁、锰、 铜的含量如下表，试建立钙、镁、铁、锰、铜对血
红蛋白的最佳多元回归方程。
使用SPSS软件进行分析
1. 单击 “开始” → “程序” → SPSS for windows → SPSS10.0 for windows → type in data → OK → 单击 “Variable View”( 在第一列 输入钙 、镁 、铁 、锰 、铜 、血红蛋白 ；单击 “ Data View”。
回归方程：
Y2 1.072＋0.031X铁 0.041X钙
7. 各步被拒绝引入变量表
实际应用中, 使用逐步回归方法要恰当地选取显
著性水平 。
查表： 0.10, F0.1(1,5) 4.06
0.05, 0.01,
F0.05(1,5) 6.61 F0.01(1,5) 16.3
取得较大（即临界值 F (1, n m 1)较小），将
2. SPSS输入数据格式: 29行6列
2. 程序选项 Analyze: 血红蛋白 引入回归分析的自变量 : 钙、镁、铁、锰、铜
在多元回归方法（Method）中选：逐步引入法（Stepwise）
多元回归模型例题
多元回归模型例题一、多元回归模型例题1. 啥是多元回归模型呢？多元回归模型就是一种统计分析方法啦。
比如说，我们想知道一个人的成绩和哪些因素有关，可能是学习时间、智商、家庭环境等多个因素。
这时候多元回归模型就可以闪亮登场啦。
就像有个魔法盒子，把这些因素都放进去，然后它就能告诉你这些因素和成绩之间的关系有多强呢。
2. 来个简单的例题假设我们要研究房子的价格。
我们觉得房子价格可能和房子的面积、房龄、离市中心的距离有关系。
我们收集了一堆数据，比如说有10套房子的数据。
房子A面积是100平米，房龄5年，离市中心10公里，价格是100万；房子B面积是80平米，房龄3年，离市中心8公里，价格是80万，以此类推。
然后我们就可以建立一个多元回归模型。
我们设房子价格为Y，面积为X1，房龄为X2，离市中心距离为X3。
那模型可能长这样：Y = a + b1X1+ b2X2 + b3X3。
这里的a呢就像是一个基础价格，b1、b2、b3就是每个因素对价格影响的系数。
3. 怎么求这些系数呢？我们可以用一些统计软件来做这件事，像SPSS就很方便。
把数据输进去，然后它就能帮我们算出这些系数啦。
比如说算出来 a =50，b1 = 0.8，b2 = -5，b3 = -3。
这就意味着什么呢？就是说面积每增加1平米，房子价格会增加0.8万；房龄每增加1年，价格会降低5万；离市中心距离每增加1公里，价格会降低3万。
4. 这个模型有啥用呢？这个模型可有用啦。
对于买家来说，可以根据这个模型来预测自己想买的房子大概值多少钱，看看卖家有没有坑自己。
对于卖家呢，可以知道自己房子的哪些方面可以改进来提高价格。
对于房地产开发商，也能根据这个模型来决定在什么地方盖房子，盖多大面积的房子比较赚钱。
5. 模型的局限性但是呢，这个模型也不是完美的。
比如说我们可能忽略了一些其他的重要因素，像房子周边有没有好的学校啊，小区的环境好不好啊。
而且我们收集的数据可能也有误差，毕竟现实生活中情况很复杂的。
多元线性回归分析例题.doc
【多元线性回归分析例题】水泥疑固对年孜的热量与木泥中的成分的多元线性回归分析下列数据是水泥释放的热量与水泥中的成分的数据序号X|x->XY417266607&52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4注释数据保存在ha Id. ma t文件中，ingredients为解释变量，heat为因变量.MATLAB数据处理与分析h MATLAB逐步回归法建模的交互式图形环境介绍【函数名称】st epwi se【函数功能】创 < 多元徭性回归分析的逐步回归廉建槌的交互式图形环疣.【调用格式】st epwi se( X. y)st epwi se( X. y, i nmodeI , pent er, pr emove)【参数说明】X 一p元线性樸型鮮释变量的n个观测值的nxp矩阵.y —p元筑性倏燮因变童的n个观删值的nxl向置.i nmodel 标量或向量(由X的列号构成J ,用来指明最初引入回归方程的鮮猝炙量(缺省设置为空丿.pent er —棋型松脸的显著性水平上喂值(缺不役11为O.O5丿.pr emcveb 一模型检验的显著性水平下限值(缺不设置为0.10丿.【案例中的应用】I oad hal dst epwi se( i ngr edi ent s, heat)【交互式图形界面的说明】窗口I Coef f i ci ent s wi t h Er r or Bar s绘岀各个解粹变量回归糸数的估计，圖点在示点估计值，横线表示置信区闷(冇色线段表示90%査信区间，黑色线段表示95%置信区间丿•窗口的右側给出回归糸数的点估计(Coeff).里著性检脸的t统计量的<i(t-stet)和显箸性觇半p <t(p-val).窗口U Model Hi story该窗口绘出的囿点表示禺次建核的模型标准差a的佶计.两个窗口中间输出的是当前模型的有关信息，包括：I nt er cept —栈燮對距(常数项丿的估计.RMSE —槿型标准弟(T的估计.R- squar e 可决糸数.Ad i - R- q n 提齐殆可池绕•站R- squar e 可决糸救.Adj・R- sq 校正的可决糸救.F —模型整体性检验的F统计量的值.p —槟型整体性松脸的显著性概札窗口I右侧的三个按钮：Next St ep 谥回归方程中按机关余数绝对值交小逐次列入解猝变量，如无解可狗入肘按钮不可用.Al I St eps 一直摟给出“只进不岀”方式建栈的最终结果(垃意，此对的回归方程未必是最优回归方程丿.Expor t ...-选择向Workspace传输的计算结果(有关变童老可由用户勺定义丿.2、MATLAB逐步回归冻建模的集成令令介绍【函数名称】st epwi set i t【函数功能】用還步回归空创建多元线性回归分析的最优回归方程..【调用格式】b = st epwi sef i t ( X, y)[b. se, pval ; i n mo del , stats, nextstep, hi story] = t epwi sef i t (...)[...]=stepwi sefit(X,y,' Paraml' ,val ue1,' Para m2' ,val ue2,...)【参数说明】输入参教.X与y的意义同出数stepwise.其它引用多数的用法请用doc命令调闻糸统犁助.输出多数b —僕型糸数.se —槌型糸救的标進祺農.pval —各个鮮释变量显著性松验的显著性覘率.i nmodel —各个解释jti•右.最终®归方租中地住的说明(1表示農方程中，0农示不再方程中丿・stats 一是一个构架数殂，包括：source :理.朕方法的说, 'stepwisefit'在示逐.步®7归出；source :建核方法的说朗，Mtepwisefit农示遵.步回归廉；dfe：最优回归方程的乗|余自由度；dfO：最优回归方程的回归勺由度；SStotal:最优回归方程的总偏差平方和；SSresid：最优回归方程的剩余平方和；fstat：最优冋归方程的P统计量的值；pval:最优回归方程的显著性概率；rmse：最优®归方程的标進谋差估计；B：模型糸数；SE：模型糸致的标准课差；TSTAT：毎金自变量显箸性检验的T统计量的值；PVAL：毎个自变量显著性检验的显著性概車；intercept:帝数项的A估计；等等.next st ep 对是否还有芻要引入他归方程的勺支童的说朗（0表示没有丿history —是一个构架数组，包括：rmse：务一步的棋型标;隹锲差越计；dfO：每一步引入方程的变量个教；in：记录了按和关纟救绝对值交小逐步引入回归方程的支童的次序.【案例中的应用】load hald；se,pval,inmodel,stats,nextstep,history]^stepwisefit(ingredients, heat, *penter*,・10)Initial columns 5eluded: noneStep 1.added column 4. p w0.000576232Step 2,added column 1. p=l.10528e-006Step 3.added column 2,p・0・0516873Step 4. removed column 4. p-0.205395 Final columns included: 1 2Columns 1 through 3•C oeff•f Std.Err.1•Status* [1.4683][0.1213]•Tn' [0.6623]【0.0459]•In1 [0.2500][0.1847]•Out* [■0.2365](0.1733]•Out1 Column 4•P'[2.6922e-007][5.0290e-008][ 0.2089][ 0.2054]b ■1.46830.66230・2500-0.2365se =0.12130.04590.18470.1733pval «0.00000.00000.20890.2054inmodel ■1 10 0stats -source:•stepwisefit'dfe:10dfC:2SStotal: 2.7158e*003SSresid:57.9045fst229.5037at:pval: 4 ・4066e-G09rmse: 2.4063xi:[13x2 double]y“[13x1 double]B|4xl double):SE[z lxl double]:TSTAT:I 4x1 double]PVAL(4x1 double):intercept:52.5773wasnar:113x1 logical) nextstep =history =rmse: 18.9639 2.7343 2.3087 2.4063)dfO: (1232]0.2089 in: (4x4 logical]。
回归分析(3)多元逐步回归29页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、ห้องสมุดไป่ตู้习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
回归分析(3)多元逐步回归
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
多元线性回归模型练习题及标准答案
E.
b1 b2 0 3.回归变差（或回归平方和）是指（
BCD ）
A. 被解释变量的实际值与平均值的离差平方和
B. 被解释变量的回归值与平均值的离差平方和
C. 被解释变量的总变差与剩余变差之差
D. 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
E. 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
4. 剩余变差是指（ ACDE
3.设有模型 yt b0 b1x1t b2 x2t ut ，试在下列条件下:
① b1 b2 1 ② b1 b2 。分别求出 b1 ， b2 的最小二乘估计量。
解答：当 b1 b2 1 时，模型变为 yt x2t b0 b1(x1t x2t ) ut ，可作为一元回归模型来
B. t0.025 (28)
C. t0.025 (27)
D. F0.025 (1,28)
3.线性回归模型 yt b0 b1x1t b2 x2t ...... bk xkt ut 中，检验
H0 : bt 0(i 0,1, 2,...k) 时，所用的统计量
A.t(n-k+1)
B.t(n-k-2)
2．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里
以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个
学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：
方程 A：Yˆ 125.0 15.0X1 1.0X2 1.5X3
R 2 0.75
5
方程 B：Yˆ 123 .0 14.0X1 5.5X 2 3.7 X 4
n b1 n
(x1t x2t ) yt (x1t x2t )2 (
(x1t x2t ) yt (x1t x2t ))2
4．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、
逐步回归法计算的例子和结果
逐步回归法计算的例子和结果例１某种水泥在凝固时放出的热量(卡/克)与水泥中下列四种化学成分有关:: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%),: 的成分(%)。
所测定数据如表１所示, 试建立与、、及的线性回归模型。
表１试验序号172666078.5 2129155274.3 31156820104.3 4113184787.6 575263395.9 61155922109.2 7371176102.7 8131224472.5 9254182293.1 102147426115.9 11140233483.8 121166912113.3 131068812109.4注: 本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》, 科学出版社, 1974年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 热量单位: 卡/克因素１名称: 3CaO.Al2O3含量单位: %因素２名称: 3CaO.SiO2含量单位: %因素３名称: 4CaO.Al2O3.Fe2O3含量单位: %因素４名称: 2CaO.SiO2含量单位: %------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用逐步回归法, 显著性水平α＝0.10引入变量的临界值Ｆa＝3.280剔除变量的临界值Ｆe＝3.280拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4)第１步, 引入变量:各项的判别值(升序排列):Ｖx(3)＝ 0.286Ｖx(1)＝ 0.534Ｖx(2)＝ 0.666Ｖx(4)＝ 0.675未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,引入检验值Ｆa(4)＝22.80, 引入临界值Ｆa＝3.280,Ｆa(4)＞Ｆa, 引入第４项, 已引入项数＝１。
多元线性回归与逐步回归的比较与选择
多元线性回归与逐步回归的比较与选择多元线性回归（Multiple Linear Regression）和逐步回归（Stepwise Regression）是统计学中常用的预测模型选择方法。
本文将比较这两种方法的优缺点，以及在不同场景中的选择建议。
一、多元线性回归介绍多元线性回归是一种基于多个自变量和一个因变量之间线性关系的预测模型。
它通过拟合一个线性方程来建立自变量与因变量的关系，其中自变量可能是连续的或者是分类的。
多元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示随机误差项。
多元线性回归通过最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合直线。
二、逐步回归介绍逐步回归是一种逐渐加入和剔除自变量的方法，用于选择最佳的自变量组合。
逐步回归的基本思想是从空模型开始，逐个加入自变量，并根据一定的准则判断是否保留该变量。
逐步回归可以分为前向逐步回归（Forward Stepwise Regression）和后向逐步回归（Backward Stepwise Regression）两种。
前向逐步回归是从空模型开始，逐个加入对因变量贡献最大的自变量，直到不能继续加入为止。
而后向逐步回归则是从包含所有自变量的模型开始，逐个剔除对因变量贡献最小的自变量，直到不能继续剔除为止。
逐步回归的优点在于可以避免多重共线性和过度拟合的问题，仅选择与因变量相关性较强的自变量，提高模型的预测准确性。
三、多元线性回归与逐步回归的比较在实际应用中，多元线性回归和逐步回归各有优缺点，下面将从几个方面进行比较。
1. 模型解释性多元线性回归能够给出所有自变量的系数估计值，从而提供对因变量的解释。
而逐步回归仅提供了部分自变量的系数估计值，可能导致模型的解释性不足。
2. 处理变量的方法多元线性回归通常要求自变量具有线性关系，并且需要对自变量进行一定的前处理，如标准化、变量变换等。
2 回归分析例题习题
参数 a 和 b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用
非线性回归线性化的方法.
2021/6/2
19
通常选择的六类曲线如下：
（1）双曲线 1 a b
y
x
（2）幂函数曲线 y=axb , 其中 x>0,a>0
（3）指数曲线 y=aebx 其中参数 a>0.
（4）倒指数曲线 y=aeb/ x 其中 a>0，
Y1
Y
Y2
...
Yn
1 x11 x12 ... x1p
X
1 ...
x21 ...
x22 ...
...
x
2
p
... ...
1
xn1
xn2
...
xnp
对一元线性回归，取 p=1 即可
2021/6/2
3
2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
102
100
98
y 0 1x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
散点图
2021/6/2
5
例1 解：1、输入数据：
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158
2021/6/2
13
在Matlab工作区中输入命令： beta, rmse
2019-07-多元逐步等回归分析716203120
y' a K'L'u
17
本章小节
➢线性回归模型的一般形式为
yi 1xi12 xi2 ...m xim i
线性回归分析有以下共同特点： (1) 概率模型的形式是假设的； (2)必须对模型作一些适当的假设； (3) 模型中的系数用最小二乘法估计；
18
本章小节
(4) 利用整体Ｆ检验、对单个β参数的 t 检验、对部分β参
非线性回归模型按变量个数也可以分为一元 非线性回归模型和多元非线性回归模型；曲线的 形式也因实际情况不同而有多种形式，如指数曲 线、双曲线、S形曲线等。
11
非线性回归模型
非线性回归模型的形式
（１）双曲线模型：
y 1
u i
1
2
i
xi
（２）多项式模型：
y x x u i
1
2i
3
2 i
R 数的Ｆ检验、对自相关的 DW 检验、以及 R2 和修正 2 来检
查模型的有效性； (5) 通过残差分析来确定数据是否遵从给定的假设，如有必 要，可以修改模型，如将品质变量引入线性回归模型中（重 大变异出现为 1，未出现为 0），建立带虚拟变量的回归模型； (6) 如果认为模型有效和假设满足，就可利用模型来求各种 估计值和预测 y 的未来值。
3
多元逐步回归要求回归方程中包含所 有对因变量作用显著的自变量，而不包含作 用不显著的自变量，从而建立最优回归方程。
4
逐步筛选变量的方法：
1、强行进入法（Enter）: 预先选定的自变量全部进入回归模型，
这是系统默认方式。 2、消去法（Remove）: 根据设定的条件剔除部分自变量。
5
3、向前引入法（Forward）:
[课件]第11章 多元线性回归与多元逐步回归PPT
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2
n
采用最小二乘法即可求出常数项b0和偏回归系数b1、b2。 其中
b Y ( b x b x ) 0 11 2 2
对表11-2的数据资料由SAS统计软件可得到如下
表11-3的主要结果。
表 11-3 偏回归系 变量 数 常数项 17.011 -0.406 0.098 2.472 0.094 0.116 6.880 -4.313 0.843 0.000 0.000 0.411 标准误 偏回归系数估计结果
2 S S ( Y Y ) m o d e l i
N
Y
i 1 N
2 S S ( Y Y ) e r r o r i i i 1
X2
i 1 N
X1
Total SS Model SS Residual SS
对于例11.1的模型检验
H0： β １＝β ２＝０
＝0.05
xknyn一一多元线性回归方程多元线性回归方程multiplelinearregressionequationmultiplelinearregressionequation01122?kkybbxbxbx???????y?y?yb为偏回归系数bj为偏回归系数partialregressioncoefficienttiliffiit常数项表示当所有自变量为0时应变量y的总体平均值的估计值表示除以外的其它自变量固定不变的情况下每改变一个测量单位时所引起的应变量y的平均改变量两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的拟合面两个自变量与应变量的拟合面bj为为xj方向的斜率方向的斜率1
多元线性回归的数据格式
表 11-1
例号 i 1 2 3
多元线性回归例题+第二章作业
指标，0-1之间，用百分比表示，
1997 131.2 460.3 25.7 31.91 36.81
通常以0.4为界，越低表示收入公平， 1998 159.9 491.4 27.3 33.35 36.84
越高表示贫富悬殊）。试以1992-
2003共12年的数据，建立刑事发案
1999 179.4 521.7 32.8 34.78 38.21
65
123
77
7 8 9
9.4
44
10.1
31
11.6
29
46 117 173
81 93 93
y1
Y
1 x1,1 X 1 x2,1
x1,2 x2,2
x1,3
x2,3
0
β
1
ε
10 12.6
58
112
例题：根据N=18次，随机试验测得纱线某指标y和因素x1，x2 ，x3数据如下表， 试建立指标y与因素（x1，x2 ，x3）的多元线性回归方程，讨论回归方程的 显著性，并在回归系数显著的基础上建立新的回归方程？
N 1 2 3
x1 0.4 0.4 3.1
x2
x3
y
33
158
64
23
163
60
19
37
71
N
总计 S总 ( y y)2 12389.6111 1
自由度 p=1
均方和
F比
S回/1=5957.0225
[S回/p]/[S剩/(N-p-1)] =14.8171
N-p-1=16 S剩/16=402.0368
多元回归及逐步回归分析
程。设引入变量为x1。 此时，由于引入新变量，方程中原有变量xj的p值发生改变
lk1b1 + lk 2b 2 +
l kk b k = l ky
b0 = y − b1x1 − b2 x2 − − bk xk
Yˆ = −0.5657 + 0.0050 X1 + 0.0541X 2
三、多元回归方程的显著性检验：
1.整个方程的全局性检验：F 检验
H0: β1=β2=0 H1: β1,β2至少有一个不等于0
∑ l yy =
( yi − yi)2
∑ l iy =
( xi − xi )( y − y )
∑ l ij =
( xi − xi )( x j − x j )
l11 b 1 + l12 b 2 +
+ l1 k b k = l1 y
l 21 b 1 + l 22 b 2 +
+ l2kbk = l2 y
多元回归及相关
上海交通大学医学院生物统计 宋艳艳
基本概念
定义： 是研究一个因变量(反应变量)和多个自变量组合
之间是否存在线性依存关系。
因变量：结果变量 自变量：原因变量
应用条件：
1、自变量和应变量之间的关系是线性关系。 2、各观测单位相互独立。 3、残差服从正态分布。 4、残差满足方差齐性。
yˆ = b0 +b1x
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y= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 =
（2）四元线性回归方程的回归平方和
U = b1l1 y + b2l2 y + b3l3 y + b4l4 y =
残差平方和 Q = l yy − U = 由表 3-2 得
−1 = C L = xx
系数 b j 的标准差为
= Sb j = Sb1 = Sb2 = Sb3 = Sb4
2 199.50
3 215.70
4 224.60
5 230.20
2 3 4 5 6 7 8 9 10
18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96
19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10
19.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71
ˆ0 。 4）求当 = x01 12, = x02 30, = x03 8, = x04 20 时的 y
表 1-1 原始数据 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 均值
y
78.5 74.3 104.2 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 95.4154
y= b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 =
（2）四元线性回归方程的回归平方和
U = b1l1 y + b2l2 y + b3l3 y + b4l4 y =
残差平方和 Q = l yy − U = 由表 1-2 得
−1 = C L = xx
系数 b j 的标准差为
= Sb j = Sb1 = Sb2 = Sb3 = Sb4
38.0 3362.0 -2480.7
-617.9 -2480.7 2714.0
解： （1）由表 1-2 得正则方程
Lxx b = Lxy
解得
= b1
= b2
= b3
= b4
b0 = y − b1 x1 − b2 x2 − b3 x3 − b4 x4
故 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的四元线性回归方程为
2
检验统计量为
= t j b= ( j 1, 2,3, 4) j / Sb j
= t1 b= 1 / Sb1 = t2 b= 2 / Sb2 = t3 b= 3 / Sb3 = t4 b= 4 / Sb4
所以， 与临界值相比后有结论：？与 y 有显著的线性相关性，而？与 y 无线性相关性。 （3）构造回归方程的检验统计量
0 + b 1x + b 2x + b 3x + b 4x 。 ˆ= 1） 求 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的四元线性回归方程 y b 1 2 3 4
1, b 2,b 3,b 4 作显著性检验。 2） 对回归系数 b
（显著性水平取 α = 0.05 ， t0.025 ( n − m = − 1) t0.025 (13 − 4 = − 1) t0.025= (8) 2.306 ） 3） 对回归方程作显著性检验。 （显著性水平取 α = 0.05 ，F0.05 ( m, n − = m − 1) F0.05 (4,13 −= 4 − 1) F0.05 = (4,8) 3.84 ）
C jj Q = ( j 1, 2,3, 4) n − m −1 C11Q = n − m −1 C22Q = n − m −1 C33Q = n − m −1 C44Q = n − m −1 t 0.05 (n − m = − 1) t0.025 (13 − 4 = − 1) t0.025= (8) 2.306
例 2：接例 1，由表 1-1 中的原始数据经标准化处理后而得的增广相关系数矩阵如表 1-3 所示。 （其中显著性水平 利用逐步回归分析方法，建立 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的最优线性回归方程。
α = 0.05 ，进入回归方程的自变量个数为 k = 2 ；逐步回归过程中，每引入或剔除一个自变量
= t1 b= 1 / Sb1 = t2 b= 2 / Sb2 = t3 b= 3 / Sb3 = t4 b= 4 / Sb4
所以， 与临界值相比后有结论：？与 y 有显著的线性相关性，而？与 y 无线性相关性。 （3）构造回归方程的检验统计量
= F
U /m = Q /(n − m − 1)
而 F0.05 ( m, n − m − 1) = 与临界值相比后，有结论：回归方程显著？ （4）预测为 或回归方程不显著？
多元回归方程及逐步回归法 例 1：某种水泥在凝固时，放出的热量 y 与水泥中下列四种成分有关： x1 (铝酸三钙)、 x2 ( 硅 酸三钙)、 x3 (铁铝硅四钙)、 x4 (硅酸二钙)。通过实验，取得数据资料，数据见表 1-1（数据量
n = 13 ） 。由表 1-1 中的原始数据计算而得的协方差矩阵如表 1-2 所示。
第三产业 109152.3672 73325.1852 685.3274 4956861.6216 10268.9861
解： （1）由表 3-2 得正则方程
Lxx b = Lxy
解得
= b1
= b2
= b3
= b4
b0 = y − b1 x1 − b2 x2 − b3 x3 − b4 x4
故 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的四元线性回归方程为
= F
U /m = Q /(n − m − 1)
而 F0.05 ( m, n − = m − 1) F0.05 (4,13 −= 4 − 1) F0.05 = (4,8) 3.84 与临界值相比后，有结论：回归方程显著？ （4）点预测为 或回归方程不显著？
y0 = b0 + b1 x01 + b2 x02 + b3 x03 + b4 x04 =
y0 = b0 + b1 x01 + b2 x02 + b3 x03 + b4 x04 =
例 4：接例 3，由表 3-1 中的原始数据经标准化处理后而得的增广相关系数矩阵如表 3-3 所 （其中显 示。利用逐步回归分析方法，建立 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的最优线性回归方程。 著性水平 α = 0.05 ，进入回归方程的自变量个数为 k = 2 ；逐步回归过程中，每引入或剔除 一个自变量时进行的显著性检验，其参考的临界值取为固定值 Fα (1, n − k − 1) ；F 分布临界 值如表 3-4 所示。 ） 表 3-3 1.00000 0.95090 0.95261 0.96525 0.99119 0.95090 1.00000 0.95363 0.98102 0.96993 标准化后的增广相关系数矩阵 0.95261 0.95363 1.00000 0.91419 0.97897 0.96525 0.98102 0.91419 1.00000 0.96215 0.99119 0.96993 0.97897 0.96215 1.00000
0 + b 1x + b 2x + b 3x + b 4x 。 ˆ= 1） 求 y 关于 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的四元线性回归方程 y b 1 2 3 4
1, b 2,b 3,b 4 作显著性检验。 2）对回归系数 b
（显著性水平取 α = 0.05 ， t0.025 (n − m = − 1) t0.025 (10 − 4 = − 1) t0.025= (5) ） 3）对回归方程作显著性检验。 （显著性水平取 α = 0.05 ， F0.05 ( m, n − = m − 1) F0.05 (4,10 −= 4 − 1) F0.05 = (4,5) ）
C jj Q = ( j 1, 2,3, 4) n − m −1 C11Q = n − m −1 C22Q = n − m −1 C33Q = n − m −1 C44Q = n − m −1 t 0.05 (n − m − 1) =
2
检验统计量为
= t j b= ( j 1, 2,3, 4) j / Sb j
ˆ0 。 4） 求当 = x01 Q = , x02 W = , x03 E = , x04 R 时的 y
表 3-1 旅游业及经济增长数据 自变量 年份 国内游客 （万人） 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 平均值 350.97 387.43 337.00 340.00 420.00 444.85 508.46 583.61 595.84 771.54 473.97 第三产业 （亿元） 108.81 130.84 147.12 171.80 195.12 218.51 248.52 278.80 342.20 380.00 222.17 海外游客 （万人） 0.52 0.79 0.70 0.98 1.22 1.45 2.10 2.68 2.30 3.00 1.57 人均 GDP （元） 10025.89 11226.97 12151.96 12935.99 13999.80 15740.58 17082.90 18930.66 24287.17 29662.40 16604.43 因变量 旅游总收入 （亿元） 9.19 12.26 10.38 11.15 18.31 22.00 28.20 34.06 34.05 48.08 22.77
表 3-2 国内游客 国内游客 第三产业 海外游客 人均 GDP 旅游总收入 179698.3402 109152.3672 1071.7116 7635074.6684 16428.1003