2019-2020学年湖北省荆州市松滋市八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年湖北省荆州市松滋市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知一个三角形两边的长分别是6和10，则这个三角形第三边的长可能是()
A. 17
B. 15
C. 3
D. 2
2.如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=74°，则∠2的度数为()
A. 37°
B. 74°
C. 84°
D. 94°
3.计算6x
36x2
=()
A. 6x
B. 1
6x C. 30x D. 1
30x
4.如图，BI,CI分别平分∠ABC，∠ACB，若BAC=70°，则∠BIC=()
A. 140°
B. 110°
C. 125°
D. 105°
5.如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD
的是()
A. AC=BD
B. ∠1=∠2
C. AD=BC
D. ∠C=∠D
6.计算3ab÷b
3a
的结果是()
A. b2
B. 18a
C. 9a
D. 9a2
7.如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，点C落在C′处．若∠BFE=65°，则∠BFC′
的度数为()
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥
AB于点E，若CD=4，则DE的长为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.若关于x的方程x+m
x−3+3m
3−x
=3的解为正数，则m的取值范围是()
A. m<9
2B. m<9
2
且m≠3
2
C. m>−9
4D. m>−9
4
且m≠−3
4
10.规定一种运算：a∗b=ab+a+b，则a∗(−b)+a∗b计算结果为()
A. 0
B. 2a
C. 2b
D. 2ab
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.如果分式2
x−1
有意义，那么x的取值范围是______．
12.计算：(2x+1)(3x−1)=______ ．
13.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两
个凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC=a，CE=b，则两个凳子的
高度之和为________．
14.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，若∠BPC=110°，则∠A=______°.
15.如图AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠BAD=25°，∠ACE=30°，
则∠ADE=______．
16.若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.(1)因式分解：12b2−3(2)解方程：x+1
x−1−4
x2−1
=1．
18.先化简，再求值：(5
x−2−x−2)÷x2−5x+6
x2−4x+4
，其中x=−2．
19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0)，B(−1,4)，
C(−3,1)．
(1)在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，并写出B′的坐标；
(2)求△ABC的面积．
20.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE=CF，AC//DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)若BF=14，EC=4，求BC的长．
21.观察下边的式子，按照规律，完成下列各题：
第1个式子2×4+1=32
第2个式子4×6+1=52
第3个式子6×8+1=72
……
(1)写出第4个式子：________________________；
(2)写出第n个式子，并说明第n个等式成立．
22.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为
40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决
定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
23.长方形的长为a厘米，宽为b厘米，如果将原长方形的长和宽各增加2厘米，得到的新长方形
面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少3厘米，得到的新长方形面积记为S2．
(1)如果S1比S2大100，求原长方形的周长；
(2)如果S1=2S2，求将原长方形的长和宽分别减少8厘米后得到的新长方形面积；
(3)如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一
个正方形，求a，b的值．
24.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(m,0)，与y轴交于点B(0,n)，且m，n
满足：(m+n)2+|n−6|=0．
(1)求：①m，n的值；②S△ABO的值；
(2)D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交
点F的坐标．
(3)如图2，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动
点，点N是线段OA上一动点，试求OM+MN的最小值(图1与图2中点A的坐标相同)．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
设第三边的长为xcm，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得不等式，再解出即可．
解：设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系得：
10−6<x<10+6，
即4<x<16，
故选B．
2.答案：B
解析：
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
先根据∠B=∠1，∠BAC=74°得出∠BAD+∠B=74°，再由三角形外角的性质即可得出结论．解：∵∠B=∠1，∠BAC=74°，
∴∠B+∠BAD=∠BAC=74°．
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠B+∠BAD=74°．
故选：B．
3.答案：B
解析：
此题考查了约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键，是一道基础题．根据分式的性质，分子分母约去6x即可得出答案．
解：6x
36x2=1
6x
；
故选B．
4.答案：C
解析：解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°，∵BI、CI 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC=1
2∠ABC，∠ICB=1
2
∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=1
2(∠ABC+∠ACB)=1
2
×110°=55°，
∴∠BIC=180°−(∠IBC+∠ICB)=180°−55°=125°．
故选：C．
求出∠ABC+∠ACB度数，根据角平分线求出∠IBC+∠ICB=1
2
(∠ABC+∠ACB)=55°，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了三角形内角和定理和角平分线定义的应用，注意掌握：三角形的内角和等于180°．5.答案：C
解析：
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.根据全等三角形的判定定理(SAS,ASA，AAS，SSS)判断即可．
解：A.∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB，
∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
B.∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2，
∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
C.根据AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确；
D.∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误．
故选C．
=9a2．
解析：解：原式=3ab·3a
b
故选：D．
根据分式的除法法则计算即可．
本题考查了分式的乘除法．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
7.答案：B
解析：
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
设∠BFC′的度数为α，则∠EFC=∠EFC′=65°+α，依据∠EFB+∠EFC=180°，即可得到α的大小．解：设∠BFC′的度数为α，则∠EFC′=65°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC′=65°+α，
又∵∠BFC=180°，
∴∠EFB+∠EFC=180°，
∴65°+65°+α=180°，
∴α=50°，
∴∠BFC′的度数为50°，
故选：B．
8.答案：C
解析：解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=4．
故选：C．
根据角平分线的性质定理解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
解析：
此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．
直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x 的取值范围，进而得出答案． 解：去分母得：x +m −3m =3x −9，
整理得：2x =−2m +9，
解得：x =−2m+92，
∵关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x =3的解为正数，
∴−2m +9>0，
解得：m <92，
∵x ≠3，
∴x =−2m+92≠3，
解得：m ≠32，
故m 的取值范围是：m <92且m ≠32．
故选B ． 10.答案：B
解析：
本题主要考查整式的混合运算，关键在于正确认真的进行混合运算．首先进行乘法运算，化简整式方程，然后，把ab =ab +a +b 代入化简即可．
解：∵a ∗b =ab +a +b ，
∴原式=a(−b)+a +(−b)+ab +a +b ，
=−ab +a −b +ab +a +b ，
=2a ．
故选B ．
11.答案：x≠1
解析：解：由题意，得
x−1≠0，
解得，x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．12.答案：6x2+x−1
解析：解：原式=6x2−2x+3x−1=6x2+x−1，
故答案为：6x2+x−1
原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.答案：a+b
解析：
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出△ACD≌△CBE是解题关键．利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．
解：由题意可得：∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
则∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
{∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB AC=CB
,
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
故DC=EB=a，AD=CE=b，则两条凳子的高度之和为：a+b．故答案为a+b．
14.答案：40
解析：解：如图所示：
∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，
∵∠BPC=110°，
∴∠PBC+∠PCB=70°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠A=180°−140°=40°．
故答案为：40．
直接利用角平分线的定义得出∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB，进而得出∠PBC+∠PCB=70°，即
可得出∠A的度数．
此题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理，正确得出∠ABC+∠ACB=140°是解题关键．15.答案：55°
解析：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC
∠1=∠CAE AD=AE
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，
故答案为55°
利用全等三角形的性质得出∠ABD=∠ACE=30°，再利用三角形的外角得出得出即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，求出∠1=∠EAC是证明三角形全等的关键．16.答案：4
解析：
本题考查提取公因式和代数式求值得.先将a2b+ab2提取公因式，再将a+b=4，ab=1代入求解．解：因为a+b=4，ab=1，
所以a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．
17.答案：解：(1)原式=3(4b2−1)，
=3(2b+1)(2b−1)；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
x2+2x+1−4=x2−1，
2x=2，
x=1，
检验：当x=1时，x2−1=0，
∴x=1是原方程的增根，原方程无解．
解析：本题主要考查了多项式的因数分解和分式方程的解法，分式方程的解题思路是去分母，将分式方程转化为整式方程，解方式方程一定要记住检验．
(1)先提公因式3，然后再用平方差公式分解即可；
(2)先再方程两边同时乘以分母的最简公分母x2−1将分母去掉，然后解整式方程，最后检验即可．
18.答案：解：原式=[5
x−2−(x+2)(x−2)
x−2
]÷(x−2)(x−3)
(x−2)2
=
5−x2+4
x−2
⋅
(x−2)2
(x−2)(x−3) =
(3−x)(x+3)
x−2
⋅
x−2
x−3
=−(x+3)，
当x=−2时，原式=−(−2+3)=−1．
解析：先算括号里面的，再算除法，最后把x=−2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
19.答案：解：(1)如图所示：△A′B′C′，即为所求；
点B′的坐标为(−1,−4)；
(2)△ABC的面积为：
7×4−1
2×2×3−1
2
×4×5−1
2
×1×7=11.5．
解析：此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确
得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；
(2)直接利用(1)中所画图形得出点B′坐标即可；利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
20.答案：(1)证明：∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，
{∠A=∠D
∠ACB=∠DEF BC=EF
，
∴△ABC≌△DFE(AAS)．(2)解：∵BF=14，EC=4，∴BE+CF=14−4=10，
∵BE=CF，
∴BE=CF=5，
∴BC=BE+EC=5+4=9．
解析：(1)根据AAS 证明△ABC≌△DFE 即可解决问题．
(2)求出BE 的长即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21.答案：解：(1)8×10+1=9 2；
(2)2n(2n +2)+1=(2n +1) 2．
理由：2n(2n +2)+1
=4n 2+4n +1
=(2n +1) 2．
所以成立．
解析：
此题主要考查了数字变化规律，根据已知条件得出式子中的变与不变是解题关键．
(1)根据2×4+1=32；4×6+1=52；6×8+1=72；…得出规律，第4个等式是8×10+1即可得出答案；
(2)根据(1)中规律得出第n 个等式是连续偶数相乘，进而得出一般规律；一般规律利用多项式的乘法得出即可．
22.答案：解：设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，
90x =15040−x
x =15，
经检验x =15是原方程的解．
∴40−x =25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48−y)件，
{y <48−y 15y +25(48−y)≤1000
， 解得20≤y <24．
因为y 是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y 取20，21，22，23，
共有4种方案．
解析：(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
本题考查理解题意的能力，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以玩具件数和钱数做为不等量关系列不等式组求解．
23.答案：解：(1)100=S1−S2
=(a+2)(b+2)−(a−3)(b−3)
=ab+2a+2b+4−ab+3a+3b−9
=5a+5b−5
∴5a+5b=100+5
∴a+b=21(厘米)
∴2(a+b)=42(厘米)
∴原长方形的周长为42厘米．
(2)∵S1=2S2，
∴ab+2a+2b+4=2(ab−3a−3b+9)
∴ab−8a−8b+14=0
∴ab−8a−8b=−14
∵将原长方形的长和宽分别减少8厘米后得到的新长方形面积为：
(a−8)(b−8)
=ab−8a−8b+64
=−14+64
=50
∴将原长方形的长和宽分别减少8厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米．
(3)由题意可得方程组：
{a+2=2(a−3)
b+2+b−3=a+2
解得{a=8 b=11
2
或可得方程组：
{2(b−3)=a+2①
a−3+b+2=a+2②
由②解得：b=3
代入①得：a=−2<0
故该组方程组的解不符合题意
∴a，b的值分别为8和11
2
．
解析：(1)分别表示出S1和S2，根据S1比S2大100，列式，先求出a+b的值，再乘以2即可得周长；
(2)根据S1=2S2，得到ab−8a−8b=−14，再写出将原长方形的长和宽分别减少8厘米后得到的新长方形面积，整体代入即可求得答案；
(3)由题意，根据拼接图形的边长之间的等量关系，列方程组求解，根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了多项式的混合运算及解简单的二元一次方程组，本题属于基础题型，难度不大．
24.答案：解：(1)①∵(m+n)2+|n−6|=0，
又∵(m+n)2≥0，|n−6|≥0．
∴m+n=0，n=6，
∴m=−6，n=6．
②∵直线AB与x轴交于点A(−6,0)，与y轴交于B(0,6)．
∴OA=6，OB=6，
∴S△ABO=1
2OA⋅OB=1
2
×6×6=18；
(2)如图1，过点E作EM⊥x轴于M，
∴∠MDE+∠DEM=90°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB，∠BDE=90°，∴∠MDE+∠BDO=90°，∴∠DEM=∠BDO，
在△DEM和△BDO中，
{∠DME=∠BOD=90°∠DEM=∠BDO
DE=DB
，
∴△DEM≌△BDO(AAS)，
∴EM=DO，MD=OB=OA=6，
∴AM=DM+AD=6+AD，
EM=OD=OA+AD=6+AD，
∴EM=AM，
∴∠MAE=45°=∠OAF，
∴OA=OF，
∴F(0,−6)．
(3)如图2中，
过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．
∵∠MAG=∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，
∴MG=MN，
∴OM+MN=OM+MG=OG，
在Rt△OAG中，∠OAE=30°，OA=6，
∴OG=3，
∴OM+MN的最小值为3．
解析：(1)①利用非负数的性质即可解决问题．②先确定出OA=OB=6，从而求得△ABO的面积．(2)先判断出△DEM≌△BDO得出EM=DO，MD=OB=OA=6，进而判断出AM=EM，即可得出∠OAF=45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式．
(3)过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．
此题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判断和性质，对称的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。