高等数学不定积分讲义

第3、4 次课 4 学时

不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式.

2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x ∈I ，都有

()'()F x f x =或()dF x =⎰dx x f )(，

那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数.

（2）原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数

()F x , 使对任一x ∈I 都有F '(x )=()f x .

注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数.

()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数)

2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和()F x 都是()f x 的原函数,则

()()x F x C Φ-=(C 为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.

定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或⎰dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ⎰dx x f )(, 其中记号⎰称为积分号, ()f x 称为被积函数,

⎰dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量.

3、例题讲解.

例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=⎰sin cos .

因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=⎰21.

例2. 求函数x

x f 1

)(=的不定积分

解：当0x >时，(ln x )'x 1=

，C x dx x

+=⎰ln 1

(0x >).

当0x <时，[ln(x )]'x x 1

)1(1=-⋅-=，C x dx x

+-=⎰)ln( 1(0x <).合并上面两式,得到

C x dx x +=⎰||ln 1

(x ≠0).

例3. 求2.x dx ⎰

解 由于'

323x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，所以33x 是2

x 的一个原函数，因此323x x dx C =

+⎰. 4、变式练习

5、积分曲线 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系

⎰=)

(])([x f dx x f dx

d 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([.

又由于()F x 是()'

F x 的原函数,所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作⎰+=C x F x dF )()(.

6、基本积分表（略）.

例4. ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131.

例5. ⎰

⎰

=dx

x dx x x

252

C x ++=+12512

51C x +=2772C x x +=372. 7、不定积分的性质.

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.

这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).

性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数,0k ≠)

例6. ⎰

⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21

252

.

⎰⎰-=dx x dx x 21

25

5⎰⎰-=dx x dx x 21

25

5 C x x +⋅-=23

27

3

2

572.

例7. dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(22

2323-+-=-+-=-⎰⎰⎰

C x x x x dx x

dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1

||ln 3321113322.

8.变式练习

(1)

(2)

dx -

⎰ (3)22x x dx +⎰（）

(4)

3)x dx - (5)4223311x x dx x +++⎰

(6)2

2

1x dx x +⎰ (7)x dx x x x ⎰

34134

（

-+-）2

(8)23(1dx x -+⎰

(9) (10)2

2

1

(1)

dx x x +⎰ (11)21

1x x e dx e --⎰ (12)3x x e dx ⎰

(13)

2

cot

xdx ⎰

第 5 次课 2 学时

第一类换元积分法

1、回顾旧知

（1）复习13个常见积分公式

（2）思考：cos 2sin 2xdx x C =+⎰

对吗？

2、第一类换元法.

设()f u 有原函数()F u ,()u x ϕ=, 且()x ϕ可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有

''''[()]()()[()]()[()]()dF x dF u F u du F x d x F x x dx ϕϕϕϕϕ==== ,

即

)

(]

)([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=()

[()C]u x F u ϕ=+

=

[()]C F x ϕ+.

定理1 设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导, 则有换元公式

⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .

3、讲授例题.

例1 1cos 2cos 2(2)2xdx x x dx

'=

⋅⎰

⎰

1

cos 2(2)2xd x =⎰ 211cos sin 22

u x udu u C ===+⎰令=1

sin 22x C + 例2 dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x

32111

ln ||22

u x

du u C u =+=

=+⎰令C x ++=|23|ln 21. 例3 ⎰⎰

⎰-==x

d x dx x

x xdx cos cos 1cos sin tan = ln |cos |x C -+. 例4求6sec d .x x ⎰

解 6222sec d (tan 1)sec x x x xdx =+⋅⎰⎰

42

(tan 2tan 1)dtan x x x =++⎰

5312

tan tan tan 53

x x x C =

+++ 4、变式练习.

１）dx x ⎰

-3

)23( ２）

⎰

-3

32x

dx