二面角及其平面角课件
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复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
二面角由半平面--线--半平面构成。 半平面构成。
二面角的表示
二面角α − l − β 二面角α − AB − β
二面角P − l − Q 二面角P − AB − Q
二面角的画法
E B D C
F
β α
l
A
二面角α－ l－ β
C B D A
二面角C 二面角 －AB－ D
角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 棱a B
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B P
α
l
O
A
A
平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
二面角 β 面 面 α
定义
从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 二面角。 做二面角。 边—点—边 点 边 顶点） （顶点） ∠AOB 面—直线 面 直线—面 直线 （棱） 二面角α—l—β 二面角 或二面角α—AB—β 或二面角
构成
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
已知A 练习 如图，已知 、B是120°的二面 是 ° 角α—l—β棱l上的两点，线段 ，BD 上的两点 线段AC 分别在面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l ， ⊥ ⊥ AC=2，BD=1，AB=3，求线段 的长。 求线段CD的长 的长。 ∠OAC ＝120° °
计算” 一“作”二“证”三“计算”
例 2 如图 : 河堤斜面与水平面所成的二面角为60°, 堤面
上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线AB的夹角为 30°, 沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了 多少(精确到0.1m) ?
E
30°
D
G
F
C
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
小结
∴CD= CO + DO = 7+ 3 = 4
2 2 2
2 2
α
B C
l D
β
A O
AO=BD=1, AC=2
2 o
CO = AC + AO − 2 AO ⋅ AC ⋅ COS 120 = 7
四边形ABDO为矩形 DO=AB=3 四边形 为矩形, 为矩形
已知A 练习 如图，已知 、B是120°的二面 是 ° E α 角α—l—β棱l上的两点，线段 ，BD 上的两点 线段AC l B β 分别在面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l ， ⊥ ⊥ D C AC=2，BD=1，AB=3，求线段 的长。 求线段CD的长 的长。 O 在平面β 解：在平面β内，过A作AO⊥l ，使 作 A AO=BD, 连结 、DO, 则∠OAC就是 连结CO 就是 二面角α 的平面角， 二面角α—l—β的平面角，即 ∠OAC ＝120°， ° ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形 四边形ABDO为矩形 为矩形, 为矩形 ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， 平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∴ l ⊥平面 平面 ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ， 中 ， 2 2 2 o ∴ CO = AC + AO − 2 AO ⋅ AC ⋅ COS 120 = 7 在Rt △COD中，DO=AB=3 中
练习：指出下列各图中的二面角的平面角： 练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B ∈ l , AC ⊂ α , BD ⊂ β , AC ⊥ l , BD ⊥ l.
二面角α--l--β 二面角 C
α
Bl D
β
A O A C’
D’ A’ D A B’ O
C
B E O C
D
B 二面角B--B’C--A 二面角
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？ 的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。 的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分， 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 直线上的一个 直线分成两个部分 一部分都叫做射线 射线。 一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。 每一部分都叫做半平面。
表示法
二面角的度量
以二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为 端点， 两个面内分别作垂直于 分别作垂直 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 棱的两条射线， 叫做二面角的平面角 二面角的平面角。 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征: 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
二面角A--BC--D 二面角
例1 已知锐二面角α－ l－ β ，A为面α内一点，A到β 的 距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 α－ l－ β 的 ， 大小。 大小。 ① 作 ⊥ ， 作 ⊥ ， 解： 过 A作 AO⊥α于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l ⊥ ② ∴∠ ∴∠ADO就是二面角 α－ l－ β 的平面角 ③∵ AO为 A到β的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AOHale Waihona Puke Baidu2
α
3
，AD=4
在Rt △ADO中，
AO ∵sin∠ADO= ∠ AD ∴ ∠ADO=60° °
β
2 3 3 = = 2 4
D
O
l
∴二面角 α－ l－ β 的大小为60 °
二面角的计算： 二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 、 2、证明 1中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、
2.线在面内
3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 二面角的大小的范围:
0° ≤θ ≤180°
平面角是直角的二面角叫做直二面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角
B′ D
β B
l
O
O′ C
A′
A α
二面角的平面角的作法： 二面角的平面角的作法： 1、定义法 、
3、垂面法 、
P
γ
B
β α
l
O
A
2、三垂线定理法 、
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
二面角由半平面--线--半平面构成。 半平面构成。
二面角的表示
二面角α − l − β 二面角α − AB − β
二面角P − l − Q 二面角P − AB − Q
二面角的画法
E B D C
F
β α
l
A
二面角α－ l－ β
C B D A
二面角C 二面角 －AB－ D
角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 棱a B
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B P
α
l
O
A
A
平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
二面角 β 面 面 α
定义
从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角 所组成的图形叫做角。 半平面所组成的图形叫 二面角。 做二面角。 边—点—边 点 边 顶点） （顶点） ∠AOB 面—直线 面 直线—面 直线 （棱） 二面角α—l—β 二面角 或二面角α—AB—β 或二面角
构成
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算
已知A 练习 如图，已知 、B是120°的二面 是 ° 角α—l—β棱l上的两点，线段 ，BD 上的两点 线段AC 分别在面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l ， ⊥ ⊥ AC=2，BD=1，AB=3，求线段 的长。 求线段CD的长 的长。 ∠OAC ＝120° °
计算” 一“作”二“证”三“计算”
例 2 如图 : 河堤斜面与水平面所成的二面角为60°, 堤面
上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线AB的夹角为 30°, 沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了 多少(精确到0.1m) ?
E
30°
D
G
F
C
练习
1。课本35页相交平面问题 2。课本36页练习题
小结
∴CD= CO + DO = 7+ 3 = 4
2 2 2
2 2
α
B C
l D
β
A O
AO=BD=1, AC=2
2 o
CO = AC + AO − 2 AO ⋅ AC ⋅ COS 120 = 7
四边形ABDO为矩形 DO=AB=3 四边形 为矩形, 为矩形
已知A 练习 如图，已知 、B是120°的二面 是 ° E α 角α—l—β棱l上的两点，线段 ，BD 上的两点 线段AC l B β 分别在面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l ， ⊥ ⊥ D C AC=2，BD=1，AB=3，求线段 的长。 求线段CD的长 的长。 O 在平面β 解：在平面β内，过A作AO⊥l ，使 作 A AO=BD, 连结 、DO, 则∠OAC就是 连结CO 就是 二面角α 的平面角， 二面角α—l—β的平面角，即 ∠OAC ＝120°， ° ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形 四边形ABDO为矩形 为矩形, 为矩形 ∴ DO∥ l ， AO=BD ∵ AC⊥l ， AO⊥l ， 平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∴ l ⊥平面 平面 ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ， 中 ， 2 2 2 o ∴ CO = AC + AO − 2 AO ⋅ AC ⋅ COS 120 = 7 在Rt △COD中，DO=AB=3 中
练习：指出下列各图中的二面角的平面角： 练习：指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B ∈ l , AC ⊂ α , BD ⊂ β , AC ⊥ l , BD ⊥ l.
二面角α--l--β 二面角 C
α
Bl D
β
A O A C’
D’ A’ D A B’ O
C
B E O C
D
B 二面角B--B’C--A 二面角
异面直线所成的角与直线和平面所成的角有什么共同 的特征？ 的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间 的角,即平面角。 的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分， 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 直线上的一个 直线分成两个部分 一部分都叫做射线 射线。 一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。 每一部分都叫做半平面。
表示法
二面角的度量
以二面角的棱 以二面角的棱上任意一点为 端点， 两个面内分别作垂直于 分别作垂直 端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成 棱的两条射线， 叫做二面角的平面角 二面角的平面角。 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征: 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
二面角A--BC--D 二面角
例1 已知锐二面角α－ l－ β ，A为面α内一点，A到β 的 距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 α－ l－ β 的 ， 大小。 大小。 ① 作 ⊥ ， 作 ⊥ ， 解： 过 A作 AO⊥α于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD 则由三垂线定理得 AD⊥ l ⊥ ② ∴∠ ∴∠ADO就是二面角 α－ l－ β 的平面角 ③∵ AO为 A到β的距离 ， AD为 A到 l 的距离
A
∴AOHale Waihona Puke Baidu2
α
3
，AD=4
在Rt △ADO中，
AO ∵sin∠ADO= ∠ AD ∴ ∠ADO=60° °
β
2 3 3 = = 2 4
D
O
l
∴二面角 α－ l－ β 的大小为60 °
二面角的计算： 二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 、 2、证明 1中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、
2.线在面内
3.与棱垂直
二面角的大小的范围: 二面角的大小的范围:
0° ≤θ ≤180°
平面角是直角的二面角叫做直二面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角
B′ D
β B
l
O
O′ C
A′
A α
二面角的平面角的作法： 二面角的平面角的作法： 1、定义法 、
3、垂面法 、
P
γ
B
β α
l
O
A
2、三垂线定理法 、