华南师范大学电磁学习题课-静电场中的电介质
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属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度为
ˆ 0 ( r1 1)E n ˆ 0 ( r1 1)E Pn
0 ( r1 1) Q 4 0 r1 R12
9.947106 (C / m 2 )
6
5.4 一平板电容器板间充满相对介电常数为εr的电介 质而带有电量Q . 试证明：与金属板相靠的电介质表 面所带的面束缚电荷的电量为 Q r 1 Q (1 )Q Q
r
证明：因为无电介质存在时，电容器极板间的电场 强度为 Q E0 0 0S 因此极板间充满了相对介电常数为εr的电介质后， 电容器极板间的电场强度变为 E0 Q E r 0 r S 7 电介质中的极化强度为
E
E0
r
Q
Q Q
0 r S
r P
1 Q P 0 ( r 1) E (1 ) r S 图中与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电 荷密度为 1 Q ＝P n ˆ P 0 ( r 1) E (1 ) 上 r S 故与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷 的电量为 1 ＝ 上 S＝ (1 )Q Q上
R1
r0
R2
2 R1 r0 R1 2 R1 R2 dr dr ln ln r 0 r1 r 0 r1 R1 0 r1 r0 R1 0 r 1 r0
r0
R1
R1 R2
r0
不致电介质被击穿的最大电压为 U max
2 r0 R2 Emax ln 2 R1r0
1 1 Q 1 1 ( ) ( ) R1 R 4 0 r 2 R R2
R1
4
RQBiblioteka 0 r1 rdr
R2
4
R
Q
0
r2r
2
dr
代入有关数据求得
3.75010
3
(V )
5
ˆ 可得贴近内金 (3) 由 P 0 ( r 1) E 及 P n
C1
0 (a h)b
d
，C 2
0 r hb
d
a d εr h 图1
所以等效电容为
C
0b
d
a h( r
1)
0 r ab
d
由此可得等效相对介电常量为 h r，eff 1 ( r 1) a
由此式知，当εr较大，则液面高度有同样的变化 时，εr，eff较大.因为甲醇的相对介电常量(εr=33) 比汽油的相对介电常量(εr=1.95)大，故甲醇更适宜 用此油量计.
5.14 一个平行板电容器的每个板的面积为0.02m2,两板 相距0.5mm，放在一个金属盒子中(如图所示). 电容器 两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效 应，求此电容器的电容. 如果将一个板和盒子用导线连 0.25mm 接起来，电容器的电容又是多大？ A 解：分别以A、B、H表示平行板 0.50mm H 电容器的两个极板和金属盒子. B 那么，平行板电容器与金属盒 0.25mm 子所组成的电容器系统的电路如 A HH B 图1所示. 这一系统的等效电容为 A B
B
(2)
A HH B A B 图1
0S
d2
(3)
其中 S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m 由(1)、(2)、(3)式，并代入有关数据可求得
C 7.08 1010 ( F )
18
当平行板电容器的一个极板(如 B板)与盒子用导线相连接的情况, 如图2所示. 此系统的电路如图3所示. 这一系统的等效电容为
22
5.18 将一个12μF的电容器和两个2 μF的电容器连接起 来组成电容为3μF的电容器组.如果每个电容器的击穿 电压都是200V，则此电容器组能承受的最大电压是多 大？ 解：将一个12μF的电容器和两个2 μF的电容器连接起 来组成电容为3 μF的电容器组，则只有如图1所示的连 2 μF 接才行. 12μF 其等效电路如图2所示.
r1 r2
r1
r2
9
解：方法二：利用电容的定义公式 Q
设电容器带电量为Q，如图所示.
Q
r1 r2
则相对介电常数为εr1的电介质中 的电场强度为 E10 Q E1 r1 r1 0 r1 0 S 相对介电常数为εr2的电介质中的电场强度为
E2
其中C1、C2的击穿电压都是200V. 设电容器带有电量为Q，则有
2 μF
图1
12μF
4 μF
Q C1U1 C2U 2 U1 C 2 12 由此可得 3 U2 C1 4
C1 C 2
图2
23
代入有关数据，可求得
W损＝ 3.5 107 ( J )
这电能消耗在连接导线的焦耳热上
13
5.3 两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为R1和R2， R2<2R1. 其间有两层均匀电介质，分界面半径为r0. 内 层介质相对介电常量为εr1，外层介质的相对介电常量 为εr2，且εr2=εr1/2.两层介质的击穿场强都是Emax. 当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大 电势差多大？ εr2 εr1 R1 解：设内圆筒带电，其面电荷密度为σ. r0 则利用D的高斯定理易得内、外圆筒间 R2 的电位移为 R1 D ( R1 r R2 ) r R1 场强为：内层介质中 E1 ( R1 r r0 ) 0 r1 r
Q Q
r1 r2
2 0 r1 r 2 S Q C U d ( r1 r 2 )
11
5.23 将一个100pF的电容器充电到100V，然后把它和 电源断开，再把它和另一电容器并联，最后电压为 30V.第二个电容器的电容多大？并联时损失了多少电 能？这电能哪里去了？ 解: 由于第一个电容器充电后与电源断开，所以其上 的电量保持不变,设为Q0. 当它与第二个电容器并联时，这电量将在这两个 电容器中重新分布，但总量不变. 于是有
C C AB
C AH C BH C AH C BH
(1)
图1
17
C C AB
C AH C BH C AH C BH
(1)
A
0.50mm
0.25mm
H
0.25mm
d1 其中 S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m C AH C BH
C AB
0S
r2
E 20
Q r 2 0 r 2 0 S
那么，原电容器两极板间的电势差为
d d Qd 1 1 U E1 E 2 ( ) 2 2 2 0 S r1 r 2
10
Qd 1 1 U ( ) 0 S r1 r 2
因此，电容器的电容为
R r R2 ： E＝ r R2 ： E＝
4 0 r 2
3
D-r， E-r曲线如下图所示 E,D
0 -1 -2 -3 -4 -5 ε1 ε2 R1 R1 R R2
r
R
R2
4
R1
R R2
(2) 两球壳之间的电势差为
ε1 ε2
2
E dr
L
Q 4 0 r1
静电场中的电介质
习题、例题分析
+
5.2 两个同心的薄金属球壳，内、外球壳的半径分 别为R1=0.02m和R2=0.06m. 球壳间充满两层均匀电 介质，它们的相对介电常数分别为εr1=6和εr2=3. 两层电介质的分界面半径为R=0.04m.设内球壳带电 量为Q=－6×10-8C，求： (1) D和E的分布，并画D－r，E-r曲线； (2) 两球壳之间的电势差； (3) 贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度 . 解:(1) 由D的高斯定理 D dS q0i
同法可求得与下金属板相靠的电介质表面所带的面 束缚电荷的电量为 1 ＝ 下 S＝(1 )Q Q下
r
r
8
5.19 一平行板电容器面积为S，板间距离为d，板间以 两层厚度相同而相对介电常数分别为εr1和εr2的电介 质充满.求此电容器的电容. 解：方法一：利用电容器串联公式 原电容器可看成是由两个电容器C1与 C2串联而成，如右图所示. 2 0 S C1 C1 r1C10 r1 d C2 2 0 S C 2 r 2 C 20 r 2 d 因此原电容器的电容为 2 0 r1 r 2 S C1C 2 C C1 C 2 d ( r1 r 2 )
显然，内层介质中最大场强出现在r=R1处 E1 max
0 r1
外层介质中最大场强出现在r=r0处 R1 2 R1 E2 max 0 r 2 r0 0 r1r0 因为 2R1 R2 r0 ，故 E1 max E2 max Emax 由于当电压升高时，外层介质场强总大于内层介质 15 场强，故外层介质中的r0处先达到击穿场强而被击穿 .
S D 0 r E 易得 及D－E关系： i ( S内)
R1 ε1 ε2
R R2
2
r R1 ：D 0 ， E＝0
r R1 ：D 0 ， E＝0
ε1 ε2
R1
R R2
R1 r R ： E＝
Q r R1 ：D 4r 2
Q 4 0 r1r 2 Q 4 0 r 2 r 2 Q
Q0 C1U 0 C1U C2U
所以有
C1U 0 100 100 100 233 ( pF ) C2 C1 12 30 U
并联时损失的电能为
1 1 2 W损＝ C1U 0 － CU 2 2 2 1 1 2 ＝ C1U 0 － (C1 C 2 )U 2 2 2
场强为：内层介质中 E1
0 r1 r 2 R1 外层介质中 E 2 (r0 r R2 ) 0 r1 r 2 R1 E max εr2 εr1 R1 0 r1 r0
R1
( R1 r r0 )
内外筒间的电压为 R2 R2 r0 U E dr E1 dr E 2 dr
A
0.50mm
0.25mm
H
0.25mm
B
图2
A H A B
C C AB C AH
代入有关数据可求得
(4)
A HH B A B
9 C 1.0610 ( F )
图3
19
5.20 一种利用电容器测量油箱中油量的装置示意图如图 1所示. 附接电子线路能测出等效相对介电常量εr,eff(即 电容相当而充满板间的电介质的相对介电常量). 设电 容器两板的高度都是a，试导出等效相对介电常量和油 面高度的关系，以εr表示油的相对介电常量.就汽油 (εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比，哪种燃料更适宜用此 油量计？ 解：设图1中两板的距离为d，板的宽度 d 为b. 该装置相当于两个电容器并联，其中 a εr h 一个电容器极板间充满油料. 等效电容为 C C1 C2 图1 0 r hb 0 (a h)b 其中 C1 ， C2 d d 20
2 R1 外层介质中 E2 (r0 r R2 ) 14 0 r 2 r 0 r1 r
R1
场强为：内层介质中 E1
0 r1 r 2 R1 外层介质中 E 2 (r0 r R2 ) 0 r1 r
εr2 εr1
R1 r0 R2
R1
( R1 r r0 )
21
5.21 一球形电容器的两球间下半部充满了相对介电常量 为εr的油，它的电容较未充油前变化了多少？ 解：设球形电容器的两球的半径分别是 R1和R2. R1 未充油前，球形电容器的电容为 4 0 R1 R2 R2 C0 R2 R1 充油后，球形电容器相当两个半球形电容器并联而 成，故其电容为 2 0 R1 R2 2 0 r R1 R2 C R2 R1 R2 R1 由以上两式可求得它的电容较未充油前变化了 r 1 C C C 0 C0 2
ˆ 0 ( r1 1)E n ˆ 0 ( r1 1)E Pn
0 ( r1 1) Q 4 0 r1 R12
9.947106 (C / m 2 )
6
5.4 一平板电容器板间充满相对介电常数为εr的电介 质而带有电量Q . 试证明：与金属板相靠的电介质表 面所带的面束缚电荷的电量为 Q r 1 Q (1 )Q Q
r
证明：因为无电介质存在时，电容器极板间的电场 强度为 Q E0 0 0S 因此极板间充满了相对介电常数为εr的电介质后， 电容器极板间的电场强度变为 E0 Q E r 0 r S 7 电介质中的极化强度为
E
E0
r
Q
Q Q
0 r S
r P
1 Q P 0 ( r 1) E (1 ) r S 图中与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电 荷密度为 1 Q ＝P n ˆ P 0 ( r 1) E (1 ) 上 r S 故与上金属板相靠的电介质表面所带的面束缚电荷 的电量为 1 ＝ 上 S＝ (1 )Q Q上
R1
r0
R2
2 R1 r0 R1 2 R1 R2 dr dr ln ln r 0 r1 r 0 r1 R1 0 r1 r0 R1 0 r 1 r0
r0
R1
R1 R2
r0
不致电介质被击穿的最大电压为 U max
2 r0 R2 Emax ln 2 R1r0
1 1 Q 1 1 ( ) ( ) R1 R 4 0 r 2 R R2
R1
4
RQBiblioteka 0 r1 rdr
R2
4
R
Q
0
r2r
2
dr
代入有关数据求得
3.75010
3
(V )
5
ˆ 可得贴近内金 (3) 由 P 0 ( r 1) E 及 P n
C1
0 (a h)b
d
，C 2
0 r hb
d
a d εr h 图1
所以等效电容为
C
0b
d
a h( r
1)
0 r ab
d
由此可得等效相对介电常量为 h r，eff 1 ( r 1) a
由此式知，当εr较大，则液面高度有同样的变化 时，εr，eff较大.因为甲醇的相对介电常量(εr=33) 比汽油的相对介电常量(εr=1.95)大，故甲醇更适宜 用此油量计.
5.14 一个平行板电容器的每个板的面积为0.02m2,两板 相距0.5mm，放在一个金属盒子中(如图所示). 电容器 两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效 应，求此电容器的电容. 如果将一个板和盒子用导线连 0.25mm 接起来，电容器的电容又是多大？ A 解：分别以A、B、H表示平行板 0.50mm H 电容器的两个极板和金属盒子. B 那么，平行板电容器与金属盒 0.25mm 子所组成的电容器系统的电路如 A HH B 图1所示. 这一系统的等效电容为 A B
B
(2)
A HH B A B 图1
0S
d2
(3)
其中 S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m 由(1)、(2)、(3)式，并代入有关数据可求得
C 7.08 1010 ( F )
18
当平行板电容器的一个极板(如 B板)与盒子用导线相连接的情况, 如图2所示. 此系统的电路如图3所示. 这一系统的等效电容为
22
5.18 将一个12μF的电容器和两个2 μF的电容器连接起 来组成电容为3μF的电容器组.如果每个电容器的击穿 电压都是200V，则此电容器组能承受的最大电压是多 大？ 解：将一个12μF的电容器和两个2 μF的电容器连接起 来组成电容为3 μF的电容器组，则只有如图1所示的连 2 μF 接才行. 12μF 其等效电路如图2所示.
r1 r2
r1
r2
9
解：方法二：利用电容的定义公式 Q
设电容器带电量为Q，如图所示.
Q
r1 r2
则相对介电常数为εr1的电介质中 的电场强度为 E10 Q E1 r1 r1 0 r1 0 S 相对介电常数为εr2的电介质中的电场强度为
E2
其中C1、C2的击穿电压都是200V. 设电容器带有电量为Q，则有
2 μF
图1
12μF
4 μF
Q C1U1 C2U 2 U1 C 2 12 由此可得 3 U2 C1 4
C1 C 2
图2
23
代入有关数据，可求得
W损＝ 3.5 107 ( J )
这电能消耗在连接导线的焦耳热上
13
5.3 两共轴的导体圆筒的内、外筒半径分别为R1和R2， R2<2R1. 其间有两层均匀电介质，分界面半径为r0. 内 层介质相对介电常量为εr1，外层介质的相对介电常量 为εr2，且εr2=εr1/2.两层介质的击穿场强都是Emax. 当电压升高时，哪层介质先击穿？两筒间能加的最大 电势差多大？ εr2 εr1 R1 解：设内圆筒带电，其面电荷密度为σ. r0 则利用D的高斯定理易得内、外圆筒间 R2 的电位移为 R1 D ( R1 r R2 ) r R1 场强为：内层介质中 E1 ( R1 r r0 ) 0 r1 r
Q Q
r1 r2
2 0 r1 r 2 S Q C U d ( r1 r 2 )
11
5.23 将一个100pF的电容器充电到100V，然后把它和 电源断开，再把它和另一电容器并联，最后电压为 30V.第二个电容器的电容多大？并联时损失了多少电 能？这电能哪里去了？ 解: 由于第一个电容器充电后与电源断开，所以其上 的电量保持不变,设为Q0. 当它与第二个电容器并联时，这电量将在这两个 电容器中重新分布，但总量不变. 于是有
C C AB
C AH C BH C AH C BH
(1)
图1
17
C C AB
C AH C BH C AH C BH
(1)
A
0.50mm
0.25mm
H
0.25mm
d1 其中 S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m C AH C BH
C AB
0S
r2
E 20
Q r 2 0 r 2 0 S
那么，原电容器两极板间的电势差为
d d Qd 1 1 U E1 E 2 ( ) 2 2 2 0 S r1 r 2
10
Qd 1 1 U ( ) 0 S r1 r 2
因此，电容器的电容为
R r R2 ： E＝ r R2 ： E＝
4 0 r 2
3
D-r， E-r曲线如下图所示 E,D
0 -1 -2 -3 -4 -5 ε1 ε2 R1 R1 R R2
r
R
R2
4
R1
R R2
(2) 两球壳之间的电势差为
ε1 ε2
2
E dr
L
Q 4 0 r1
静电场中的电介质
习题、例题分析
+
5.2 两个同心的薄金属球壳，内、外球壳的半径分 别为R1=0.02m和R2=0.06m. 球壳间充满两层均匀电 介质，它们的相对介电常数分别为εr1=6和εr2=3. 两层电介质的分界面半径为R=0.04m.设内球壳带电 量为Q=－6×10-8C，求： (1) D和E的分布，并画D－r，E-r曲线； (2) 两球壳之间的电势差； (3) 贴近内金属壳的电介质表面上的面束缚电荷密度 . 解:(1) 由D的高斯定理 D dS q0i
同法可求得与下金属板相靠的电介质表面所带的面 束缚电荷的电量为 1 ＝ 下 S＝(1 )Q Q下
r
r
8
5.19 一平行板电容器面积为S，板间距离为d，板间以 两层厚度相同而相对介电常数分别为εr1和εr2的电介 质充满.求此电容器的电容. 解：方法一：利用电容器串联公式 原电容器可看成是由两个电容器C1与 C2串联而成，如右图所示. 2 0 S C1 C1 r1C10 r1 d C2 2 0 S C 2 r 2 C 20 r 2 d 因此原电容器的电容为 2 0 r1 r 2 S C1C 2 C C1 C 2 d ( r1 r 2 )
显然，内层介质中最大场强出现在r=R1处 E1 max
0 r1
外层介质中最大场强出现在r=r0处 R1 2 R1 E2 max 0 r 2 r0 0 r1r0 因为 2R1 R2 r0 ，故 E1 max E2 max Emax 由于当电压升高时，外层介质场强总大于内层介质 15 场强，故外层介质中的r0处先达到击穿场强而被击穿 .
S D 0 r E 易得 及D－E关系： i ( S内)
R1 ε1 ε2
R R2
2
r R1 ：D 0 ， E＝0
r R1 ：D 0 ， E＝0
ε1 ε2
R1
R R2
R1 r R ： E＝
Q r R1 ：D 4r 2
Q 4 0 r1r 2 Q 4 0 r 2 r 2 Q
Q0 C1U 0 C1U C2U
所以有
C1U 0 100 100 100 233 ( pF ) C2 C1 12 30 U
并联时损失的电能为
1 1 2 W损＝ C1U 0 － CU 2 2 2 1 1 2 ＝ C1U 0 － (C1 C 2 )U 2 2 2
场强为：内层介质中 E1
0 r1 r 2 R1 外层介质中 E 2 (r0 r R2 ) 0 r1 r 2 R1 E max εr2 εr1 R1 0 r1 r0
R1
( R1 r r0 )
内外筒间的电压为 R2 R2 r0 U E dr E1 dr E 2 dr
A
0.50mm
0.25mm
H
0.25mm
B
图2
A H A B
C C AB C AH
代入有关数据可求得
(4)
A HH B A B
9 C 1.0610 ( F )
图3
19
5.20 一种利用电容器测量油箱中油量的装置示意图如图 1所示. 附接电子线路能测出等效相对介电常量εr,eff(即 电容相当而充满板间的电介质的相对介电常量). 设电 容器两板的高度都是a，试导出等效相对介电常量和油 面高度的关系，以εr表示油的相对介电常量.就汽油 (εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比，哪种燃料更适宜用此 油量计？ 解：设图1中两板的距离为d，板的宽度 d 为b. 该装置相当于两个电容器并联，其中 a εr h 一个电容器极板间充满油料. 等效电容为 C C1 C2 图1 0 r hb 0 (a h)b 其中 C1 ， C2 d d 20
2 R1 外层介质中 E2 (r0 r R2 ) 14 0 r 2 r 0 r1 r
R1
场强为：内层介质中 E1
0 r1 r 2 R1 外层介质中 E 2 (r0 r R2 ) 0 r1 r
εr2 εr1
R1 r0 R2
R1
( R1 r r0 )
21
5.21 一球形电容器的两球间下半部充满了相对介电常量 为εr的油，它的电容较未充油前变化了多少？ 解：设球形电容器的两球的半径分别是 R1和R2. R1 未充油前，球形电容器的电容为 4 0 R1 R2 R2 C0 R2 R1 充油后，球形电容器相当两个半球形电容器并联而 成，故其电容为 2 0 R1 R2 2 0 r R1 R2 C R2 R1 R2 R1 由以上两式可求得它的电容较未充油前变化了 r 1 C C C 0 C0 2