浅谈矩阵的秩及其应用定稿

山西师范大学本科毕业论文

浅谈矩阵的秩及其应用

李欢

姓名

院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学

07510101

班级

学号**********

指导教师张富荣

答辩日期2010.12.20

成绩

浅谈矩阵的秩及其应用

内容摘要

矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。

论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。

本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。

【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换

A Brief Introduction on the rank of Matrix and the

Application of the rank of Matrix

Abstract

In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.

At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.

In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application.

【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation

目录

一、引言 (01)

二、矩阵的秩的有关概念 (01)

三、矩阵中的相关定理及命题 (02)

四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较 (03)

(一)矩阵的秩两种计算方法 (03)

(二)两种计算方法的优劣比较 (04)

五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (05)

六、矩阵秩的应用 (08)

(一)矩阵的秩在线性方程组中的应用 (08)

(二)矩阵的秩在解析几何中的应用 (10)

(三)矩阵的秩在其它方面的应用 (10)

参考文献 (12)

致谢 (12)

浅谈矩阵的秩及其应用

学生姓名：李欢 指导老师：张富荣

一、引言

矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。许多学者都认为，“在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量，矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况有密切的联系”。分析矩阵的秩在行列式、线性空间中的应用，可以将有关行列式、线性方程组问题转化矩阵的问题来解决,可以省略一些中间过程，减少计算量，使复杂的问题简单化，有利于线性代数的学习。

深刻地理解矩阵的秩会对学习、研究线性代数后续课程有很大帮助。

二、矩阵的秩的有关概念

为了介绍矩阵的秩，首先介绍k 级子式的概念

定义1[1] k 级子式 在m n ⨯阶矩阵A 中任意选定矩阵的k 行和k 列,将位于这些所选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个k 级子式。

定义2[2] 矩阵的秩 设m n A F ⨯∈所含的非零子式的最高阶数为r ,则称r 为矩阵A 的秩,记为rankA .当0A =时,A 不含任何非零子式,定义矩阵A 的秩为0，记为 0rankA =.

矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。我们将行秩与列秩统称为矩阵的秩。

简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。

显然，m n ⨯阶矩阵A 的非零子式的最高阶数比,m n 中的任何一个都小，可记为 {}min ,rankA m n ≤.若m n ≤,当rankA m =时称A 为行满秩,同样，若n m ≤，当

rankA n =时称A 为列满秩；如果m n =,并且当rankA 达到最大值n 时，称A 为满秩方阵。

例 对于矩阵

1123101113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

矩阵1A 的行向量为()()()123123,101,113ααα===,计算可得，向量组123,,ααα的秩为3,那么可知，矩阵1A 的行秩为3.