(完整版)大学数学概率统计课后习题解答

大学数学概率与数理统计课后习题详解
习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；
(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；
(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则
},2,1,0|{ΛΛ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .
(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则
)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .
2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
(1)B A Y ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B Y ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A Y 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；
(3) =AC {取得球的号码是2，4}；
(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；
(6) ==C B C B I Y {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；
(7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<=12
1x x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤=234
1x x B ，求下列事
件的表达式：(1)B A Y ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A Y .
解 (1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤=234
1x x B A Y ;
(2)
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A I 2121
0或⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤
≤231214
1x x x x Y ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；
(4)
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或Y Y ⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223
121410x x x x 或或 4. 用事件
C B A ,,的运算关系式表示下列事件：
(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）；
(2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；
(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；
(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

解 (1)C B A E =1； (2)C AB E =2； (3)ABC E =3； (4)C B A E Y Y =4；
(5)C B A E =5； (6)C B A C B A C B A C B A E Y Y Y =6； (7)C B A ABC E Y Y ==7；(8)BC AC AB E Y Y =8.
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i A 表示事件“第i 次抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A Y ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；
(4)321A A A Y Y ； (5)321321321A A A A A A A A A Y Y .
6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B Y Y = 323121A A A A A A C Y Y =
习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取，样本点总数⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=350n ，记求概率的事件为A ，则有利于A 的样本点数⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15245k . 于是
39299!2484950!35444535015245)(=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k A P 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求
(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；
(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数27=n . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为D C B A ,,,.
(ⅰ)有利于A 的样本点数2
5=A k ，故 4925
75)(2
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=A P (ⅱ) 有利于B 的样本点数25⨯=B k ，故 49107
25)(2=⨯=B P
(ⅲ) 有利于C 的样本点数252⨯⨯=C k ，故 49
20)(=C P
(ⅳ) 有利于D 的样本点数57⨯=D k ，故 7549357
57)(2==⨯=D P .
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋
中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数56⨯=n .
(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为32⨯，所求概率为 5
15
632=⨯⨯.
(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22⨯，所求概率为 15
25
622=⨯⨯.
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
(1) 2只都合格；
(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为C B A ,,，则
522562342624)(=⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P
15856224261214)(=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P 注意到B A C Y =，且A 与B 互斥，因而由概率的可加性知
15
14
15
85
2)()()(=+=+=B P A P C P
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。

解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为C B A ,,,样本点总数26=n (ⅰ)A 含样本点)2,5(),5,2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
616
6)(2
==
∴A P (ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 18
5
6
10)(2
==∴B P (ⅲ)C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

2
136
18)(==∴C P
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为A ，样本点总数为35，而有利A 的样本点数为
345⨯⨯，所以 25
12
5
345)(3
=⨯⨯=A P . 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列
事件的概率：
(1) 事件A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。

解 样本点总数为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛35
(1)
53106345!332352312)(==⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P ；
(2)
103345!33351322)(=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P ；
(3) 因B A C Y =，且A 与B 互斥，因而
10
910353)()()(=+=
+=B P A P C P . 8．设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成的三角
3
/1=x 的左边的概率。

解 记求概率的事件为A ，则为图中阴影部分，而2/1||=Ω，
18
59521322121||2
=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A S
9
5
2/118/5||||)(==Ω=
A S A P . 9．（见前面问答题2. 3）
10．已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求
(1))(A P ,)(B P ；(2))(B A P Y ；(3))(AB P ；(4))(),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y ； (3)4.0)()(==A P AB P ；
(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P Y Y ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P
11．设B A ,是两个事件，已知5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P Y ，试求)(B A P -及).(A B P -
解 注意到 )()()()(AB P B P A P B A P -+=Y ，因而)()()(B P A P AB P += )(B A P Y -4.08.07.05.0=-+=. 于是，)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=- 1.04.05.0=-=；3.04.07.0)()()()(=-=-=-=-AB P B P AB B P A B P .
习题三解答 1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==Y Y
3.04.06.05.01=+--=
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 1078
998
998198
9910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p .
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，
图2.3
两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P (2)
678.028.019
.0)()()|(===B P AB P B A P .
4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式： ),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P = 解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ==== )(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，
0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则
Y 4
1==i i
BA B ，且按题意
25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .
由全概率公式有：
∑==⨯+⨯+⨯==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。

求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以
70
411482110621)|()()|()()(2211=⨯+⨯=
+=A B P A P A B P A P B P (2)
12
72414)(==
B P 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分
别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯⨯ %45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""•和""-，由于通信受到干扰，当发出""•时，分别以概率0.8和0.2收到""•和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""•。

求(1) 收到信号""•的概率；(2) 当收到""•时，发出""•的概率。

解 记 =B {收到信号""•}，=A {发出信号""•} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=⨯+⨯= (2) 13
1252
.08.06.0)
()|()()|(=⨯==B P A B P A P B A P .
9．设某工厂有C B A ,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间C B A ,,生产的概率。

解 为方便计，记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品，事件=D {次品}，因此
)|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345
.005
.025.0)()|()()|(=⨯==D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=⨯==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=⨯==D P C D P C P D C P
10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P Y ，
)(B A P Y ，)(B A P Y .
解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(Y
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()(Y pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(Y
11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有
)()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--==
所以 3/1)(1=-A P 。

最后得到 .3/2)()(==A P B P
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则
Y 3
1==i i
A B ，因而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==A P A P A P A P B P i i I 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不
通达的概率为p ，求这个装置通达的概率。

假定各个元件通达与否是相互独立的。

解 记 =A {通达}， =i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i
则 654321A A A A A A A Y Y =， 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++= )()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---
642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解
0512.0)8.0()2.0(352
3=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=p . 15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

解
104.0096.0008.0)2.0(8.023)2.0(332
3=+=⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p . 16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现
一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p = 依假设 332131)1(1)(12719
p A A A P A P i i --=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==Y 所以，
27
8
)1(3=-p ， 此即 3/1=p .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。

记 =i A {第i 道工序为次品}，.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==A P A P A P A P p i i Y 18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则
7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==A P A P A P A P A P i i Y 19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解 (1)
256632151010
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ；
(2)
10
6
42110⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=k k . 20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在
运行的概率均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解 (1) 256
255)25.0(1)75.01(144=-=--
(2) 1282741436)25.0()75.0(242
2
22=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ (3)
2568143)75.0(4
4=⎪⎭
⎫
⎝⎛=
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

（1）5,4,3,2,1,0,15==i i p i ；
（2）()3,2,1,0,6
52=-=i i p i ； （3）5,4,3,2,4
1==i p i ；
（4）5,4,3,2,1,25
1=+=i i p i 。

解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为Λ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i
i p 。

依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数
列不是随机变量的分布律，因为06
46
953<-=-=p ；（3）中的数列为随机变量
的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=
5
1
125
20
i i
p 。

2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2==
=i c
i X
P i
成为某个随机变量X 的分布律，
并求：()2≤X P ；⎪⎭
⎫ ⎝⎛<
<252
1X
P 。

解
要使i
c 2
成为某个随机变量的分布律，必须有1240
=∑
=i i c ，由此解得31
16
=c ； （2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X
P X P
31
28412113116=⎪⎭⎫
⎝⎛++= （3）()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<X P X P X P 3112
41213116=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=。

3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这
样的数字。

从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。

解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6
12,2
11,3
13=====-=X P X P X P ，即
X 的分布律为
X 的分布函数
0 3-<x
()()x X P x F ≤== 3
1
13<≤-x
6
5 21<≤x
1 2≥x
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。

解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()10
13513=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==X P ；
事件{}4=X 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3
号球中任选，此时()103352314=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P ；同理可得()106352415=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==X P 。

X 的分布律为
X
的分布函数为
0 3<x ()=x F 10
1 43<≤x
10
4 54<≤x
1 5≥x
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。

解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律
()5,,1,0,4.06.055Λ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k ， 具体计算后可得 6. 抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。

在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。

（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件Λ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意，
ΛΛ,,,1n A A 相互独立，且()Λ,2,1,13
10
==i A P i 而
()()()()
()ΛΛΛ,2,1,13
10
1331
1
111=⎪
⎭
⎫
⎝⎛====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k
即X 服从参数13
10=p 的几何分布。

（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4，
()()()().
2861
10111213101234,143511121310233,26
512131032,13101=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯===⨯⨯===
=X P X P X P X P
X 的分布律为
X
1
2
3
4
概率 13
10
265 1435 286
1
（3）X 可能取到的值为1，2，3，4，
()()()().
21976
1313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯===⨯⨯===
=X P X P X P X P 所求X 的分布律为
由于三种抽样方式不同，导致X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。

7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。

解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666Λ=-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==-k p p k X P k k。

由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-==
即 ()(),161655p p p p -=- 解得2
1=p ；
此时，()64
15
21!25621212626
2
62
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==-X P 。

8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X
的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为2
1，因此X 服从
2
1
,4=
=p n 的二项分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k 由此可得X 的分布函数
0， 0<x 16
1， 10<≤x
()=x F
16
5，
21<≤x 1611
， 32<≤x
16
15
，
43<≤x
1， 4≥x
9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足
()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0!
4110
4<=-≤∑
-=-n k k e k n X P
()99.0!
404
≥=≤∑=-n
k k e k n X P
查泊松分布表可求得 9=n 。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=⨯==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为
()()()
.
004679.0090484.0904837.01!
11.0!01.0110121
.011.00=--=--≈=-=-=≥--e
e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。

解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且ΛΛ,,,1n A A 相互独立。

随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有
()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P ΛΛ
12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2， A x <<0
0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。

解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为
()0≥x f ；其二为()⎰+∞∞-=1dx x f ，因此有⎰=A
xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。

（2）分布函数
()()()⎰∞-=≤=x
dx x f x X P x F
= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++∞-∞-∞-x
x x
dx
xdx dx xdx
dx dx
10
1
000020200 1
100
≥<≤<x x x
=
1
2x 1
100
≥<≤<x x x 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）
()10<<X P ；
（3）X 的分布函数。

解 （1）系数A 必须满足⎰+∞∞
--=1dx Ae x
，由于x e -为偶函数，所以 ⎰⎰⎰+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2
1=A ；
（2）()()1101012
12
12
110----===<<⎰⎰e dx e dx e X P x x ；
（3）()()⎰∞-=x dx x f x F
=
⎰⎰⎰-∞--∞--+x x x x x
dx
e dx e dx
e 00212121
≥<x x
=
⎰⎰⎰-∞-∞-+x x
x x
x
dx
e dx e dx
e 00212121
≥<x x
=
()
x x e e --+121
2121
≥<x x
=
x x e e --2
1121
≥<x x
14. 证明：函数
()=x f
22c
x e c x -
<≥x x （c 为正的常数）
为某个随机变量X 的密度函数。

证 由于()0≥x f ，且()120
22
0222
2
2
=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-==+∞
-
∞
+-
∞+∞
-∞+∞--
⎰⎰⎰c
x c x c x e c x d e
dx
e c
x dx x f ，
因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。

15. 求出与密度函数
()=x f
25.05.0x e 2
200
>≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。

解 当0≤x 时，()()⎰⎰∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0
当20≤<x 时，()()⎰⎰⎰∞-∞-+=+==0025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时，()15.05.0025.05.00220=+=++=⎰⎰⎰∞-x x dx dx dx e x F 综合有
()=x F
,
1,25.05.0,
5.0x e x +
.
2;20;
0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。

解 X 的密度函数为
()=x f ,5
1
61<<x ；
,0 其他.
方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为
()()()()⎰=+=≥+-≤=≥-≤=≥6225
45
1
022224dx X P X P X X P X P 或。

17. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为
()=x f ()
,10020000
3
+x 0>x ; 0， 其他.
求：(1) X 的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。

解 (1) ()()⎰∞-=x dx x f x F =
()
,10020000
,
00
3
dx x x
⎰+
.
0;
0≥<x x
= (),
10010000
1,
02
+-x
.
0;
0≥<x x
(2)()()()()
91
10020010000
11200120012002
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-
-=-=≤-=>F X P X P 。

18. 设随机变量X 的分布函数为
()=x F (),
11,0x
e x -+- 0
>≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。

解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=，因此
()=x f
,
0,
x xe -
其他
0>x
所求概率()()()112111111---=+-==≤e e F X P ；
()()()()()
223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。

19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数
B A ,；(2)()1<X P ；(3)
随机变量X 的密度函数。

解：(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足()()1lim ,0lim ==+∞
→-∞→x F x F x x ，即 ()()1
arctan lim 0arctan lim =+=++∞
→-∞→x B A x B A x x
计算后得
1
2
02
=+
=-B A B A π
π
解得
π
1
21
=
=B A
另外，可验证当π
1,2
1==B A 时，()x x F arctan 12
1π
+=也满足分布函数其余的几条
性质。

（2） ()()()()11111--=<<-=<F F X P X
P
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=
1arctan 1211arctan 121ππ 2
4141πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅= （3）X 的密度函数
()()()
+∞<<-∞+=
'=x x
x F x f ,11
2
π。

20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5
1=λ的
指数分布，其密度函数为()=x f
,515x
e -
其他
>x ，某顾客在窗口等待服务，
若超过10min ，他就离开。

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5
1=λ的指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客
未等到服务就离开的概率为
()⎰∞
+--==≥10
25
5
110e dx e X P x
；
（2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2
,5-==e p n 的二项分布，所求概率为
()()()
()()
()()()
4
2
24
225
20
2141115105101-------+=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P
21. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2<X P ；（2）()176>X P ；（3）()78.0-<X P ；（4）()55.1<X P ；（5）()5.2>X P 。

解 查正态分布表可得 （1）()()9861.02.22.2=Φ=<X P ；
（2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=-<X P ； （4）()()()()55.155.155.155.155.1-Φ-Φ=<<-=<X P X P
()()()()8788.019394.02155.1255.1155.1=-⨯=-Φ=Φ--Φ= （5）
()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P
()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。

22. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）
()44.2<X P ；
（2）()5.1->X P ；（3）()8.2-<X P ；（4）()4<X P ；（5）()25<<-X P ；（6）()11>-X P 。

解 当()2,~σμN X 时，()⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤σ
μσ
μa b b X a P ，借助于该性质，再查标
准正态分布函数表可求得
（1）()()8051.086.04144.244.2=Φ=⎪⎭
⎫
⎝
⎛+Φ=<X P ；
（2）()()125.01415.115.1-Φ-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=；
（3）()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-Φ=-<X P ； （4）()()()75.025.14144144-Φ-Φ=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=<X P ()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=；
（5）()()()175.04
1541225-Φ-Φ=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-Φ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+Φ=<<-X P
()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=；
（6）()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ-⎪⎭
⎫
⎝⎛+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为2.02±，求该厂滚珠的合格率。

解 所求得概率为
()()()()()927
.09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=⎪
⎭⎫
⎝
⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
()()1587.08413.011110
3040140=-=Φ-=⎪⎭
⎫
⎝
⎛-Φ-=>X P ；
（2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，
5天中最多迟到一次的概率为
()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514
50=⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤Y P 。

习题五解答
1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值：()()()0,2,31,1,1,1,0,0⎪⎭
⎫
⎝
⎛--，
且取这些组值的概率依次为12
5,121,31,61，求这二维随机变量的分布律。

解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为
2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字3,2,2,1。

从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。

以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求()Y X ,的分布律及()Y X P =。

解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为
()()()()()()()()().
03,3,61
34212,3,1211,3,61
34123,2,6134122,2,6134121,2,12
1
34113,1,6134212,1,01,1====⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯=
=====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P
或写成
()()()()6
3,32,21,1===+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。

3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产
品，共取2次，定义随机变量X 、Y 如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。

分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且
()()()(),
251
1010221,1,2541010820,1,
254
1010281,0,25161010880,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯=
==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成
（2）在无放回情形下，X 、Y 可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
()()()(),
451
910121,1,458910820,1,458
910281,0,4528910780,0=⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯====⨯⨯=
==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成
4. 对于第1题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。

解 把第1题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为
X -1 0 2
概率
125
61 12
5
按列相加得Y 的边缘分布律为
5. 对于第3题中的二维随机变量()Y X ,的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X
及关于Y 的边缘分布律。

解 在有放回情况下X
Y 的边缘分布律为
在无放回情况下X
Y 的边缘分布律为
6. 求在D 上服从均匀分布的随机变量()Y X ,的密度函数及分布函数，其中D 为x 轴、y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。

解 区域D 见图5.2。

易算得D 的面积为4
1
2
112
1=⨯⨯=S ，所以()Y X ,的密度函数 ()=
y x f ,
,
0,
4
()其他
D
y x ∈,
()Y X ,的分布函数
()()⎰⎰∞-∞-=y x
dxdy y x f y x F ,,
当2
1-<x 或0<y 时，()0,=y x F ； 当
120,02
1
+<≤<≤-x y x 时,
()202
1244,y y xy dx dy y x F y
x y -+==⎰⎰-；
当12,02
1+≥<≤-x y x 时，()1444,22
1120++==⎰⎰-+x x dy dx y x F x x ；
当10,0<≤≥y x 时，()2
002
1
24,y y dx dy y x F y y -==⎰⎰-； 当1,0≥≥y x 时，()⎰⎰-+==02
112014,x dy dx y x F
综合有
,0
02
1
<-<y x 或
,242y y xy +-
12002
1
+<≤<≤-
x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x
1202
1
+≥<≤-
x y x 且 ,22y y -
100<≤≥y x 且
,1 10≥≥y x 且
7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。

解 X 的边缘密度函数为
()()⎰+∞
∞-=dy y x f x f X ,
= ,
0,
41
20
⎰+x dy
其他0
2
1
<<-
x =
(),
0,
124+x
其他0
2
1
<<-
x Y 的边缘密度函数为 ()()⎰+∞∞
-=dx y x f y f Y , =
,
0,
40
21⎰-y dx
其他
10<<y = (),
0,12y -
其他
10<<y
8. 在第3题的两种情况下，X 与Y 是否独立，为什么？
解 在有放回情况下，由于()25
160,0===Y X P ，而()()25
165
45
400=⨯===Y P X P ，即
()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知
X 与Y 相互
独立。

在无放回情况下，由于()45
280,0===Y X P ，而()()25
165
45
400=⨯===Y P X P ，易见
()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以
X 与Y 不相互独立。

9. 在第6题中，X 与Y 是否独立，为什么？
解 431,41=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-f ，而3
431,241=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Y X f f ，易见⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≠⎪⎭
⎫ ⎝⎛-314131,41Y X f f f ，所以X
与Y 不相互独立。

10. 设X 、Y 相互独立且分别具有下列的分布律：
写出表示()Y X ,的分布律的表格。

解 由于X 与Y 相互独立，因此
()()()
,3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i
例如()()()8
12
14
15.025.0,2=⨯=-=-==-=-=Y P X P Y X P
其余的联合概率可同样算得，具体结果为
11. 设X 与Y []2.0,0上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布，求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。

解. 由均匀分布的定义知
()=x f X
,
0,5
其他
2
.00<<x 由指数分布的定义知
()=y f Y
,
0,
55y e - 其他
0>y 因为X 与Y 独立，易得()Y X ,()()()==y f x f y x f Y X ,
,
0,
255y e -
其他
,2.00><<y x 概率()()⎰⎰=≥G
dxdy y x f Y X P ,，
其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图
5.3()()
12
.0052
.00051525---=-==≥⎰⎰⎰e dx e dy e dx Y X P x x
y 。

12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为
()=y x f ,
(),
0,
43y x ke +-
其他
0,0>>y x
求：（1）系数k ；（2）()20,10≤≤≤≤Y X P ；（3）证明X 与Y 相互独立。

解 （1）k 必须满足()⎰⎰+∞∞-+∞∞
-=1,dxdy y x f ，即()
10430=⎰⎰+∞+-+∞dx ke dy y x ，经计算得12=k ； （2）()()()()83201043111220,10--+---==≤≤≤≤⎰⎰e e dx e dy Y X P y x ； （3）关于X 的边缘密度函数
()()⎰+∞
∞-==dy y x f x f X ,
()
,
0,12043dy e y x ⎰+∞
+-
其他
0>x
=
,
0,33x e - 其他
0>x
同理可求得Y 的边缘密度函数为
()=y f Y
,
0,
44y e -
其他
0>x
易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,，因此X 与Y 相互独立。

13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为
()=y x f ,
(),
0,1y x k -
其他
x y x <<<<0,10
（1）求常数k ；（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？
解 （1）k 满足()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即()⎰⎰=-10011x
ydy x k dx 解得24=k ； （2）X 的边缘密度函数
()()⎰+∞
∞-==dy y x f x f X ,
(),
0,1240dy y x x
⎰-
其他
10<<x
=
(),
0,
1122x x -
其他
10<<x
Y 的边缘密度函数为
()=y f Y
(),
0,1241
⎰-y ydx x
其他
10<<y
= (),
0,
1122
y y - 其他10<<y
（3）
3141212441,21=⨯⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，而()()1627
1694112,23214112=⨯⨯==⨯⨯=y f x f Y X ，易见
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎭⎫ ⎝⎛412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。

14. 设随机变量X 与Y
且()5
30|1===X Y P ，（1） 求常数b a ,的值；（2）当b a ,取（1）中的值时，X 与Y 是否独立？为什么？
解 （1）b a ,必须满足∑∑===213
1
1j i ij p ，即
1252251253252=+++++a b ，可推出25
17=+b a ，
另外由条件概率定义及已知的条件得
()()()5
3
25
201,00|1=+=====
==b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ，结合2517=+b a 可得到2514=a ，
即
25
32514=
=
b a
（2）当25
3,2514==b a 时，可求得()()25170,2550====Y P X P ，易见
()()()0025
2
0,0==≠===Y P X P Y X P
因此，X 与Y 不独立。

15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律。

解 易知()122===⋅Y P p ，因此2=Y 时X 的条件分布律为
16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当⎪⎭
⎫
⎝⎛<<-=02
1,x x X 时Y
的条件密度函数。

解 X 的边缘密度函数为（由第7题所求得）
()=x f X (),
0,
124+x 其他
021
<<-
x
由条件密度函数的定义知当⎪⎭
⎫
⎝⎛<<-=021,x x X 时Y
的条件密度函数为
()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (),
0,1244
+x
其他
120+<<x y = ,
0,121
+x
其他
120+<<x y
习题六解答
1. 设X 2+X 1+-X ；（3）2X 。

解 由X 的分布律可列出下表
由此表可定出
（1）2+X 的分布律为
（2）1+-X 的分布律为
（3）2X 的分布律为
其中()()()24
6
8
2242=
+=-=+===X P X P X P 。

2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y ,
1,1;1,0>≤X X 若若试
求随机变量Y 的分布律。

解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此
(),,2,1,0,!
!11
1Λ====--k k e e k k X P k
而
()()()()11
12!1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ；
()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。

即Y 的分布律为
3. 设X 的密度函数为()=x f
,
0,2x
,
;10其他<<x 求以下随机变量的密度函数：
（1）X 2；（2）1+-X ；（3）2X 。

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。

如果()x g y =为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设X Y 2=，则Y 的分布函数
()()()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y
= ⎰⎰1
00220
2
xdx
xdx y
12
12002≥<≤<y y y =
1
40
2y 2
200
≥<≤<y y y ()()='=y F y f Y Y
2y
其他
20<<y
解法二：x y 2=，()y h y x ==2，而()2
1='y h ，则
()()()()y h y h f y f X Y '= = ,0,2122⋅⋅y
其他12
0<<y =
,2y 其他
20<<y
（2）设1+-=X Y ，则()()1,1-='=-=y h y h y x ，Y 的密度函数
()()()()='=y h y h f y f X
Y
()()2110
y -⨯- 其他
110<-<y
= ()0
12-y
其他
110<-<y
（3）设2X Y =，由于X 只取()1,0中的值，所以2x y =也为单调函数，其反函
数()()y
y h y y h 12
1,='=，因此Y 的密度函数为
()()()()='=y h y h f y f X Y
,
0,1
212y y ⋅
其他
1
0<<y
=
,
0,1 其他
1
0<<y
4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从()6,5上的均匀分布，求圆面积Y 的概率密度。

解 圆面积241X Y π=，由于X 均匀取()6,5中的值，所以X 的密度函数
()=x f X
,
0,1
.
;65其他<<x
且24
1x y π=为单调增加函数()()6,5∈x ，其反函数
()()y y y h y
y
y h πππ
π
1
1212
,24=
⋅
=
'=
=
，
Y 的密度函数为
()()()()='=y h y h f y f X Y
,
0,
1
y
π
,
;
625其他<<
π
y
= ,
0,
1
y π
.
;
94
25
其他ππ<<y 5. 设随机变量X 服从正态分布()1,0N ，试求随机变量的函数2X Y =的密度函数()y f Y 。

解 ()1,0~N X ，所以()+∞<<-∞=-x e x f x X ,212
2π
，此时2x y =不为单调函数不
能直接利用性质求出()y f Y 。

须先求Y 的分布函数()y F Y 。

()()()=≤=≤=y X P y Y P y F Y 2
()
y
X y P ≤≤-0
,
0;
0≥<y y ()
()⎰⎰---==≤≤-y y
y y X dx e dx x f y X y P x 22
21π
. ()()='=y F y f Y Y ,
0,
2121212122y e y e y y --+ππ
,
;0其他>y
=
,
0,
21
2
y
e y
-π .
;0其他>y
6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。

解
()=x f X
,
0,
x e -
.;
0其他>x
x e y =的反函数()()y y h y y h 1
,ln ='=，因此所求的Y
的密度函数为
()()()()='=y h y h f y f X Y
ln 1,0,
y e y - ,
;
0ln 其他>y = ,
0,12y .
;
1其他>y
7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。

证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞<<-∞=-x e x f x X ,212
2π
，记a X Y +=σ，则当0
>σ时，a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σ
σ
1
,=
'-=
y h a
y y h ,因此Y 的密度函数为。