教案0614事件的独立性

教学对象管理系505-13、14、15；经济系205-1、2
计划学时 2 授课时间2006年3月10日；星期五；1—2节
教学内容
第四节事件的独立性
一、两个事件的独立性
二、多个事件的独立性
三、独立性在系统可靠性中的应用
教学目的通过教学，使学生能够：
1、理解事件独立性的概念
2、会利用独立性解决实际问题
知识：
1、两个事件的独立性；
2、从个事件的独立性；
技能与态度
1、会利用独立性解决实际问题
2、学会观察身边的随机现象
教学重点独立性的应用
教学难点多个事件独立性的概念
教学资源
教学后记培养方案或教学大纲
修改意见
对授课进度计划
修改意见
对本教案的修改意见
教学资源及学时
调整意见
其他
教研室主任：系部主任：
教学活动流程
教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课
复习内容：（8分钟）
1、条件概率的概念与计算公式
2、乘法公式及其应用
3、作业讲评
导入新课：（2分钟）
一般来说，P(A|B)≠P(A),这表明事件B的发生，增加了一些信息，影响了事件A发生的概率。

但是在有些情况下，P(A|B)＝P(A），从这种特殊情况可以想象，事件B的发生对A的发生没有产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是无关的。

从概率上讲，这就是事件的相互独立。

巩固所学知识，
与技能
解决作业中出
现的问题
提问讲
解
二、明确学习目标1、理解两个事件独立性的概念
2、理解多个事件独立性的概念
3、会用独立性解决实际问题；
三、知识学习（50分钟）
一、两个事件的独立性
独立性是概率论中的一个重要概念，在介绍独立性的概念之前，先看一个例题。

例1、在100件产品中有5件次品，现采用有放回抽样进行检验，每次从中取出一件样品，观察后再放回，然后进行下次抽样。

试求：
（1）在第一次取得次品的条件下，第二次取得次品的概率；
（2）在第二次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率；
（3）第二次取得次品的概率。

解 设A={第一次取得次品}，B={第二次取得次品}，则
P (A )=2011005=
，P (A )=2019
因为是有放回抽样，所以
P (AB )= P (A ) P (B|A )= 4001
10051005=
⨯， P (A B )= P (A )P (B|A )= 400
19
100510095=
⨯ 于是
（1）在第一次取得次品的条件下，第二次取得次品的概
率；P (B|A ) =20
1
20/1400/1)()(=
=A P AB P （2）在第二次取得正品的条件下，第二次取得次品的概
率；P (B|A )=201
20/19400/19)
()(==A P B A P （3）第二次取得次品的概率。

P (B )= P (AB )+ P (A B )=400194001+
=20
1
或P (B )=
20
1
1005=
在上例中，情况较为特殊，一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响。

此时
P (B|A )= P (B )，此时的乘法公式可简化为P (AB )= P (A )P (B|A )= P (A )P (B )。

对这种特殊情况，给出如下定义
定义：对于事件A 与事件B ，若满足P (AB )= P (A )P (B )，则称A 与B 相互独立。

注意：
①定义中，当P (B )=0或P (B )=1时，仍适用，即必然事件Ω与不可能事件Φ与任何事件独立；
②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者
引出独立性的实例
讲授法
是相对于概率的概念，但可以同时发生；而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。

说明：在实际应用时，一般不是根据定义判断两个事件的独立性，而是根据实际经验确定事件的独立性，然后用公式P (AB )=P (A )P (B )来求两个事件同时发生的概率。

例2：一次投掷两枚均匀的骰子，求出现双6点的概率。

解：设A=“第一枚骰子出现6”；B=“第二枚骰子出现6”，从直觉判断事件A 与B 相互独立
则P (AB )= P (A )P (B )=
36
1
6161=⋅ 对于分别投掷的两颗骰子，它们出现的点数之间没有什么影响，不用计算也能肯定它们是相互独立的。

在概率的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化。

定理：若A 、B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立。

例3：甲、乙二人同时向某一目标射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.6，两人各
射击一次，求目标被击中的概率。

解：设A ＝{甲击中}，B ＝{乙击中}，C ＝{目标被击中}，则C ＝A ∪B
由概率的加法公式：P (C )= P (A ∪B )= P (A ) + P (B ) — P (A B )
由实际经验可知，A 与B 相互独立，故P (A B )= P (A )P (B ) 于是P (C )= P (A ) + P (B )—P (A B )=0.8+0.6—0.8×0.6=0.92
二、多个事件的独立
定义：对于三个事件A 、B 、C ，若下列四个等式 P (AB )＝P (A )P (B ）， P (AC )＝P (A )P (C ）， P (BC )＝P (B )P (C ），
P (ABC )＝P (A )P （B )P (C ），同时成立，则称A 、B 、C
掌握独立性的结论
板书说明
相互独立。

多个事件的独立性概念非常复杂，要求比较严格。

定义：对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，从中任意取出k 个(k ＝2，3，…，n )，如果这k 个事件同时发生的概率等于这k 个事件各自概率的乘积，则称A 1，A 2，…，A n 是相互独立的。

(满足的等式个数为2n — n —1个)
例4：用步枪射击飞机，设每支步枪的命中率均为0.004，①若用250支步枪同时射击一次，求飞机被击中的概率；②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？
解：①令A i ＝{第i 只步枪的命中}，i =1,2,…,250，要求的概率是P (A 1∪A 2∪…∪A 250)：
而P (A 1∪A 2∪…∪A 250)＝1—P (25021A A A Y ΛY Y )＝1—P (1A 2A … 250A )
＝1—P (1A )P (2A )…P (250A )＝1—0.996250≈0.63 ②由1—0.996 n ≥0.99得n ≈1150
上例表明，尽管单个事件在一次试验中发生的概率很小，然而当试验的次数很多且又独立进行时，这一事件发生的概率可发无限地接近于1，即所讨论的事件在试验中迟早要发生，这就接近了必然事件。

反之，则可把概率很小的事件视为不可能事件。

这些结论便是在理论和实践中都有广泛应用的实际推断原理。

说明独立性的应用
记住独立性的
讲授法
结论
掌握独立性的应用
理解多个事件独立性的概念和结论板书
讲授、引导、启发
板书
启发式
四、技能学习（20分钟）
独立性在系统可靠性中的应用
元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。

系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。

例6（P 14）：设构成系统的每个元件的可靠性均为r ，0<r <1，且各元件能否正常工作是相互独立的，求（1）由三个元件串联组成的系统的可靠性；（2）由三个元件并联组成的系统的可靠性。

解：设A i ＝{第i 个元件能正常工作}，i =1,2,3，则： C={串联系统能正常工作}，B={并联系统能正常工作} （1）C= A 1A 2A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，则 P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3
)＝r r r ＝r 3
（2）B= A 1∪A 2∪A 3，直接求B 的概率较为困难，可用逆事件的关系
B =321A A A Y Y =A 1A 2A 3，则
P (B )=1—P (B )=1—P (A 1A 2A 3)= 1—P (A 1) P (A 2) P (A 3)= 1—(1—r ) 3
说明：并联使可靠性增加，串联使可靠性降低。

应用：飞机发动机的设计，银行出纳。

掌握条件概率的计算方法
提问、讲
授互动教学
五、态度养成
计算时的认真与耐心的态
度
六、技能训练（15分钟）
例5 一名工人看管甲、乙、丙三台机床，在一小时内，
这三台机床不需要维修的概率分别为0.8，0.9，0.6，设三台
机床是否需要维修是独立的，试求在一小时内：(1)有机床需要工人维修的概率；(2)机床等待维修而停工的概率。

解设A，B，C分别表示在一小时内机床甲、乙、丙不需要维修的事件，由题意得
P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(C)=0.6，
(1)有机床需要工人维修相当于至少有一台机床需要维修，即A，B，C至少有一个发生，其概率为
P(A∪B∪C)=1—P(ABC) =1—P(A)P(B)P(C)
= 1—0.8×0.9×0.6=0.568
(2)机床等待维修而停工相当于至少有两台机床需要维修（因为一个人同时只能维修一台），即
A B，A C，
B C，A B C至少有一个发生，其概率为
P(A B∪A C∪B C∪A B C)
=P(A B)+P(A C)+P(B C)+P(A B C)
=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)+P(A)P(B)P (C)
=0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.4+0.2×0.1×当堂巩固所学
的技能
学生练
习老师
巡视，解
答问题
0.4=0.148
七、课堂小结（3分钟）
实际应用时，与两个事件的独立性相仿，我们不是根据定义来讨论事件的独立性，而是根据实际经验确定事件的独立性，然后用公式P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)来求多个事件同时发生的概率概括总结，明确
重点。

简要概
括本节
内容
八、布置作业（2分钟）
P16—15、16
复习本节内容
复习第一章所讲内容巩固所学的知识和方法。