北大金秋营数学2015年

2015年北京大学数学金秋营试题

1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。

2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4

3

]+1组整数解（m,n,r）.

3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。

4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1.

5、设S,T⊂N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥

un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+⊂S+T。

6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。

7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px)

k =c i

mk

i=0

x

i

，

其中x

k =x x−1…(x−k+1)

k!

。证明：c j∈Z，且p j−[k p]|c j(j=0,1,…,mk).

8、设k∈Z+, S={(m+1

k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2

k

,n)|m,n∈Z}.

求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射

F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.