《导数的概念》课件ppt
合集下载
导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
5.1.2导数的概念及其意义课件(人教版)
x
1 1 lim 1 x
x0 x
1
lim (
) 1.
x0 1 x
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要 对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位 : C) 为y f ( x) x2 7 x 15( 0 x 8).计算第2h和第6h,原油 温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大 致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时 间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4， 0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
小结：
1.导数的定义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim lim f (x0 x) f (x0)
y
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f '(x0)
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 y f (x0 x) f (x0) （2）求平均变化率 y
2.求曲线y 2x2 1在点(1， 1)处的切线方程.
3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.
解 : lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x y = x 2+1
lim (1 x)2 1 (11)
x0
x
lim 2x (x)2 2.
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件
∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0
导数的概念课件人教新课标
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
(-人教A版)导数的概念课件-(共28张)
[随堂训练]
1．已知函数 y＝f(x)＝x2－1，则当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝(2.12－1)－(22－1)＝4.41－4＝0.41.
答案：B
2．若函数 f(x)＝2x2 的图象上有点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2＋Δy)，则 liΔmx→0 ΔΔxy等
(3)h′(1)＝liΔmt→0 ΔΔht ＝liΔmt→0 h1＋ΔΔtt－h1＝liΔmt→0[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即 第 1 s 末高度的瞬时变化率为 120 m/s. 它说明在第 1 s 末附近，航天飞机的高度大约以 120 m/s 的速度增加．
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心， 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人， 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们， 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候， 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志， 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何， 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x0 h) f ( x0 h) ( C ) 则 lim h 0 h
' ' 2 f ( x ) 2 f A. f ( x0 ) B. C. ( x0 ) 0 '
D.0
f ( x0 -2x) f ( x0 +x) lim 3 , 变式:设 f ( x) 是可导函数,若 x 0 ' x f ( x ) 则 ( A )
例2：一条水管中流过的水量 y (单位:m3)是时间 x (单位:s)的函数 y f ( x) 3x ,求函数在 x 2 处的 ' f 导数 (2),并解释它的实际意义. 解: f (2 x) f (2) 3 (2 x) 3 2 3x 3 = x x x
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
s s(t1 ) s(t0 ) v t t1 t0
例1：一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与 1 时间t的函数关系式为:s= 2 gt ；试估计小球在t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
析：
1.t0 5, t1 6 s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9(m / s) 65 1 s (5.1) s (5) 127.45 122.5 49.5(m / s) 2.t0 5, t1 5.1 5.1 5 0.1
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
'
总结:导数是一种形式定义.
导数符号语言的几种等价形式:
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 1 f '( x0 ) x 0 x f ( x0 2x) f ( x0 ) lim 2 f ( x0 ) x 0 2x
0
A.
-1
B.1
C.0
D.-2
课堂小结:
1 2 3 导数的概念.
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 导数符号语言: f ( x0 ) . x 0 x
'
导数是一种形式定义.
作业:
' f 1.根据例2中的函数,求 (4),并解释它的实际意义.
2.设 x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头 的距离,y(单位:km)表示这一点的海拔高度,y是x的 ' y f ( x ) f 函数.若函数 在 x 100处的导数 (100) 0.1, 试解释它的实际意义.
当 x 0 ,平均变化率趋于3; f
'(2) 3
∴ 水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s .
' f 总结: ( x0 ) 反映函数 y f ( x)在 x0处变化快慢程度.
当堂练习:
2 求 f ( x) x 在 x 1 的导数值.
解:
(1 x)2 12 y f (1 x) f (1) x x x 2 x x 2 2 x x ' ' f (1)=2 f (1) lim (2 x)
导数的概念
提出问题： 小明的家离学校只有2公里(km)，如果小明今天 在路上所花的时间是0.1小时(h)；请问，小明上 学的瞬时速度是不是20km/h？
例1：一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与 1 时间t的函数关系式为:s= 2 gt ；试估计小球在t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
析：当时间t从t0变到t1时，根据 平均速度公式：
O 时间
旧曲新唱:
水高
《必修一——函数的单调性》
水高
水高
O 水高 时间
O
O
水高
时间
水高
时间
O 时间
O 时间 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
割 线 的 极 限 位 置
归纳
s s(t1 ) s(t0 ) 物体在t0时刻的平均速度为: t t1 t0
函数值 y 关于 x 的平均变化率为:
y f ( x1 ) f ( x0 ) x x1 x0
当 x1趋于 x0，即x 0 ，如果平均变化率趋于有一 个固定的值，那么这个值就是函数 y f ( x) 在 x0点的瞬 时变化率. (这个值称为:当x 0 时,平均变化率的 极限.) 在数学中，称瞬时变化率为函数 y f ( x) 在 x0 点 在数学中,如果某个变化的量无 的导数. ' 通常用符号 f ( x0 )限地逼近于一个确定的数值，那 表示，记作 么该定值就叫做变化的量的极限. f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) ' f ( x0 ) lim lim x1 x0 x 0 x1 x0 x
当堂监测: f ( x0 2x) f ( x0 ) lim 2 , 1.设 f ( x)是可导函数,若 x 0 ' x f ( x ) B 则 ( )
0
A. -1 B.1 C.0 D.-2 2.若函数 f ( x)在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 (a, b) ,
割 线 的 极 限 位 置
播放
旧曲新唱:
《必修一——函数的单调性》 下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器 中以相同的速度注水.
下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水 的高度与时间的函数关系:
旧曲新唱:
水高
《必修一——函数的单调性》
水高 水高
O 水高
O
O 水高 时间
水高 时间
时间
O 时间
O 时间
时间间隔进一步缩短，那么平均速度会出现什么变化?
例1：一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与 1 时间t的函数关系式为:s= 2 gt ；试估计小球在t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
总结： 无论是从5的左侧趋近于5，还是从5的右侧趋 近于5，平均速度都趋于49m/s. 49m/s就是自由落体在5S时的瞬时速度.