矩阵可交换问题
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1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 n-1 1 2 2 1 2 0 1 1 1 0
证明：取 V 的一组基，则 T ,T 分别可表示为 n 阶方阵 A,B, 根据题意， 1. 若 A 有特征向量 x, 对应的特征值为 k, 则 ABx=BAx=Bkx=kBx, 所以 Bx 是 A 的特征向 量，但是 A 有 n 个不同的特征值，所以每个特征值对应的特征子空间都是一维直线，也即 Bx=sx，所以 A 的特征向量也是 B 的特征向量。 2. A 有 n 个不同的特征值， 所以 A 必然有 n 个无关的特征向量， 而 B 的特征向量与 A 相同， 所以 A,B 都可以对角化。设 A=PSP , B=PTP ，其中 S=diag{a ,a ,…, a }, T=diag{ b ,b ,…, b } 都是对角阵。建立线性方程组：
1 2 -1 -1 1 2 n 1 2 n
而 A 的各特征值 a ,a ,…, a 两两不等，所以上面的系数行列式是 Vondemonde 行列式，不等 于 0，也即 ξ 有唯一解。所以 T = ξ E + ξ S + ξ S + + ξ S . 显然就有 B = ξ E + ξ A + ξ A + + ξ A ，命题成立。
1 2 n
2 n −1 1 2 3 n 2 n −1 1 2 3 n
1 a1 1 a2 1 a n
a1n −1 b1 n −1 b2 a2 ξ = n −1 an bn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， T ,T 是 V 上的线性变换， T 有 n 个不同的特征值。 求证： 1, T 的特征向量都是 T 的特征向量的充要条件是 T T =T T . 2, T T =T T ，则 T 可由 T ,T ,T , …, T 线性表示，其中 T 表示 V 上的恒等变换。
证明：取 V 的一组基，则 T ,T 分别可表示为 n 阶方阵 A,B, 根据题意， 1. 若 A 有特征向量 x, 对应的特征值为 k, 则 ABx=BAx=Bkx=kBx, 所以 Bx 是 A 的特征向 量，但是 A 有 n 个不同的特征值，所以每个特征值对应的特征子空间都是一维直线，也即 Bx=sx，所以 A 的特征向量也是 B 的特征向量。 2. A 有 n 个不同的特征值， 所以 A 必然有 n 个无关的特征向量， 而 B 的特征向量与 A 相同， 所以 A,B 都可以对角化。设 A=PSP , B=PTP ，其中 S=diag{a ,a ,…, a }, T=diag{ b ,b ,…, b } 都是对角阵。建立线性方程组：
1 2 -1 -1 1 2 n 1 2 n
而 A 的各特征值 a ,a ,…, a 两两不等，所以上面的系数行列式是 Vondemonde 行列式，不等 于 0，也即 ξ 有唯一解。所以 T = ξ E + ξ S + ξ S + + ξ S . 显然就有 B = ξ E + ξ A + ξ A + + ξ A ，命题成立。
1 2 n
2 n −1 1 2 3 n 2 n −1 1 2 3 n
1 a1 1 a2 1 a n
a1n −1 b1 n −1 b2 a2 ξ = n −1 an bn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， T ,T 是 V 上的线性变换， T 有 n 个不同的特征值。 求证： 1, T 的特征向量都是 T 的特征向量的充要条件是 T T =T T . 2, T T =T T ，则 T 可由 T ,T ,T , …, T 线性表示，其中 T 表示 V 上的恒等变换。