中科院考研物理复试 固体物理真题 2006年A卷

固体物理学A卷真题2006年

一、

简要回答以下问题。

1、从对称性看，晶体、准晶和非晶在原子排列上有什么特点?对于任何晶体，

其允许的转动对称性只能是哪些?

2、晶体中的位错是几维缺陷?有几种基本类型?各有什么特点?

3、请写出布洛赫(Bloch) 定理，并简单地说出其物理意义。

4、在计算晶格比热时，爱因斯坦模型和德拜模型分别作了什么近似?

二、

对于一个具有面心立方结构的金属，其晶格常数为a，

1、写出其最近邻的原子个数及最近邻原子间距。

2、画出其(100) 面上的原子排列，由此得到一个二维的布拉菲(Bravais) 格子，在图中画出其基矢和原胞。

3、写出这个二维布拉菲格子的倒格矢。

4、画出第一布里渊区，并求出其面积。

三、

一个边长为a的正方形金属薄膜，可以看作是一个二维的自由电子系统，其总

电子数为N。请求出：

1、该系统费米面的形状；

与电子浓度n的关系。

2、费米波矢k

F

四、

其中H

为大于0的常数，n为任意整数，a=4b。

1、画出此势能曲线，并求出势能平均值；

2、请问满足什么条件时可用近自由电子近似?

3、在近自由电子近似下，请用简并微扰法推导出禁带宽度的表达式；

4、请求出晶体的第二个禁带宽度。

五、

1、在能带论中，电子态密度的定义是什么?假设抛物线型的色散关系，请算出

在一维、二维和三维下的电子态密度，并画出示意图。

六、

对一理想的晶体外加一个恒定的均匀磁场B(假设B不太大) 。磁场B方向平行

于z轴方向。若电子具有抛物线形的能量色散关系，在半经典模型下(即把电子运动近似当作经典粒子来处理) ，

1、试推导出电子在真实空间中是怎样运动的；

2、试推导出电子在k空间中是怎样运动的；

3、请问可以通过什么实验来确定电子的有效质量，怎么确定?

答案:

一、

1、从对称性看：在原子排列上，晶体具有长程的平移对称序(周期性) 和长程

的取向序；准晶具有长程的取向序而缺乏长程的平移对称序；非晶则两者皆无。对于任何晶体，其允许的转动对称只能是：1，2，3，4，6重转动对称。

2、晶体中的位错是一维缺陷。有两种基本类型：刃位错和螺位错。刃位错线垂直于滑移方向，螺位错线平行于滑移方向。

3、Bloch 定理：对于周期

性势场，其中可取该晶体布拉菲(Bravais) 格子的任何格矢，其单电

子薛定谔方程的本征函数为，其中。其物理意义是：在周期势场的作

用下，电子波函数不再是自由电子时的平面波，而是受到周期调幅的平面波。(或者回答为：在相距为的两原胞的等同位置，电子出现的几率一样，波

函数相位变化。) 4、在计算晶格比热时，爱因斯坦模型假设晶体

中的各原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有相同的振动频率。

德拜模型假设晶体是各向同性的连续介质，把格波视为弹性波。

二、

1、最近邻的原子个数为12。

2、(100) 面的

原子排列如下：

基矢的表达式为：见上图。原胞见上图的阴影部分。 3、根据

，得到。 4、第一布里渊区的面积：。

画图如下

三、

1、对于自由电子，有，在二维的k空间中等能面为一个圆。N个电子的排布是：先占据能量小的k态，逐渐占据能量高的状态，最后形成的费米面为半

径是费米波矢k

F 的圆形。 2、由周期性边界条件得到，(其中n

x

和

n

y

是任意整数) 。于是一个k态在k空间中所占据的面积为：。费米波矢

k

F

是费米面的半径，于是有：。

四、

1、画出此势能曲线如下。

势能平均值为

。 2、当时可用近自由电子近似。(或者回答为：能够把周

期势当作微扰) 。 3、在近自由电子近似下，设L为系统长度，则

为自由电子波函数，在布里渊区边界能级简并，

零级能量为。

令是平均值，△V(x) 可视为微扰。

根据简并微扰论，存一级沂似下其能量ε满早以下久期方程：

4、

五、

1、在能带论中，电子态密度的定义是(单位体积) 单位能量间隔内的状态数目。

考虑一个长度为L的d维样品，在周期边界条件下，每个波矢占据的倒空间体积为：。在倒空问中，位于k到k+dk壳层内状态数目为：，因子2来自自旋自由度。其中为等能面￡到等能面之间的体积元。由自

由电子的色散关系为，可得到：电子态密度。

六、

1、在半经典模型下，，是电子运动速度。m*为电子的有效质量。

因此，。

这两运动同时存在，其合运动为螺旋运动。 2、

即ε(k) 是与时间无关的常数。因此，电子在k空间中是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动。 3、可以通过回旋共振实验确定电子的有效质

。