2021届福建省福州第一中学高三上学期期中考试数学试卷

福州一中2020—2021学年第一学期
高三数学半期考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥ ，则p ⌝为
A ．21,2log 1x x x ∀<-<
B ．21,2log 1x x x ∀-<≥
C ．21,2log 1x x x ∃<-<
D ．21,2log 1x x x ∃-<≥
2．设复数z 满足
1
13i 2
z z +=--，则||z = A ．5 B
C ．2 D
3．已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧-⎫
=⎨⎬⎩⎭
≤，则()R P Q =
A ．()0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,2
D ．(]1,2 4．已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =
A ．80
B ．85
C ．90
D ．95 5．设函数31
3
log , 0,
()log (), 0,x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
A ．(1,0)(0,1)-
B ．(,1)
(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)
(1,)-+∞ D ．(,1)
(0,1)-∞-
6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案
是
A ． 5立方丈
B ． 6立方丈
C ． 7立方丈
D ． 9立方丈
7．设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是
A ．a c b ≤≤
B ．b c a ≤≤
C ．2ab c ≤
D ．2c ab ≤
8．已知函数()e e 2x x f x a -=++（a R ∈，e 为自然对数的底数），若()y f x =与))((x f f y =的值域相同，
12
3
4
则a 的取值范围是
A ．0a <
B ．1a -≤
C ．04a <≤
D ．0a <或04a <≤
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．已知2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-，下列说法正确的有
A ．()f x 的最小正周期是2π
B ．()f x 最大值为2
C ．()f x 的图象关于3
x π
=
对称
D ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称
10．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的可能取值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确
的有
A ．AC BE ⊥
B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值
C ．点A 到BEF 平面的距离为定值
D ．三棱锥A BEF -的体积是定值
12．在n n n A B C △（1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C △的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222
1
24n n n a c b
++=
，222
124
n n n a b c ++=，则 A ．n n n A B C △一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______．
14．设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪⎩
≥≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为______．
15．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6
x π
=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的
一个极小值点，则12x x +的最小值为______．
16．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）
在①23ABC S =△，②1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形
的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为
,,a b c ，且7c =，sin cos 6c A a C π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭， ？
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．
（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：1CN AB M ∥平面； （2）若13
2
C M =，求二面角1A B M C --的大小．
19．（12分）
32
a +是
已知等比数列{}n a 的公比1q >，满足：23428a a a ++=，且24,a a 的等差中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12
log n n n b a a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．
20．（12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，0,90AD BC ABC ∠=∥，2AD =，23AB =，6BC =． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．
21．（12分）
一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以
8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，
（1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；
（2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值．
22．（12分）
已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0e a >，是自然对数的底数),()f x '是()f x 的导函数．
（1）若1
2
a ≥，求证：()f x '在(1,)-+∞单调递增；
（2）证明：()f x 有唯一的极小值点（记为0x ），且()20e 3f x -<<-．
高三数学半期考参考答案
1-4 DBAC 5-8 CADA 9 BD 10 ABC
11 ACD 12 ABD
13 14．
132 15．23π
16．16π 17．解：若选①：因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2sin sin 3C C π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 又因为(0,)C π∈，所以23
C C π=-，所以3C π
=．
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2
27a b ab +-=，
因为1
sin 2
ABC S ab C =△，所以8ab =，
所以2()781a b -=-=-，与2()a b -≥0矛盾， 所以满足条件的三角形不存在．
若选②：…………即227a b ab +-=，
又因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，所以6ab = 故22225a b ab ++=，即5a b +=，
所以三角形周长57C a b c =++=+． 若选③：…………即227a b ab +-=， 又因为sin 2sin A B =，所以2a b =，
联立，解得221a =，21
b =，
所以三角形周长217C a b c =++=+． 18．证明：（1）连结A 1B 交AB 1于P ．
因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．
因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点， 所以NP // CM ，且NP = CM ，
所以四边形MCNP 是平行四边形， 所以CN //MP ．
因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， 所以CN //平面AB 1M ．
（2）因为AC =BC =2，22AB =， 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．
又因为CC 1⊥平面ABC ，
以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ． 因为132C M =
，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2
M ，5(2,0,)2AM =-，
13
(0,2,)2
B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则
0n AM ⋅=，10n B M ⋅=． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.
2
x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，
令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． 又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ， 所以2
cos ,>=
||||
n CA n CA n CA ⋅<=． 由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角， 所以二面角A-MB 1-C 的大小为
4
π
． 19．（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，
代入23428a a a ++=，可得38a =，
∴2420a a +=，∴212
11820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或1
32
12
a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∵1q >，∴12
2
a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =
（2）∵112
2
log 2log 22n n n n n n b a a n ===-，
∴()212222n n S n =-⨯+⨯+
+，
．．．．．．．．．．．．．．．① ()2312122222n n S n n +=-⨯+⨯+
++，
．．．．．．．．．．．．．② ②—①得()23
111121222222222212
n n n n n n n S n n n ++++-=+++-=
-=---
∵121000n n S n ++⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈， 所以110n +≥，所以9n ≥，
所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为9
20．解：（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，
又3tan ,tan 3AD BC
ABD BAC AB AB
∠=
=∠==， ∴0
30,BAC 60ABD ∠=∠=，∴0
90AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．
又PA AC ，∴BD ⊥平面PAC
又因为BD PBD ⊂平面，所以PAC PBD 平面⊥平面．
（2）解：如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图， 设AP t =，则
()()
()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ， 则()
23,2,0BD =-，()0,2,DP t =-，
()
23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，
则00
n BD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得
平面PBD 的
一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭
，
所以cos ,48PC n PC n PC n
⋅=
=
=
因为222144144
5151275t t t t
++
+=≥，当且仅当t = 所以33
cos ,5
5PC n ≤
，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，
则sin cos ,PC n θ=，故3
sin 5
θ≤，
即t =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为3
5
．
21．(1)A 到E 弧长为θ，1OE =，1
sin OF θ
=，所以
1
1sin ()833f v v v θθθ=++，所以11()833sin f v v v θθθ=++，3,44ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（2）222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)
()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ
----+'=+==-
， 记0(0,)θπ∈，且01cos 3θ=，则0,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
当0,4πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，1cos 3θ>，所以()0f θ'<，()f θ单调递减，
当03,4πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，1cos 3θ<，所以()0f θ'>，()f θ单调递增，
所以1
cos 3θ=时，用时最短．
答：当1
cos 3
θ=时，小球从A 到F 所用的时间最短．
22．解（1）1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++，记()'()g x f x =，
则1'()e 2x g x x a +=+，1()(1)e x g x x +''=+，
因为1x >-，所以()0g x ''>，所以()g x '在(1,)-+∞单调递增， (1)12g a '-=-+，
当1
2
a ≥时，()(1)0g x g ''>-≥，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增，
（2）当1
2
a ≥时，()f x '在(1,)-+∞单调递增，又(1)20f '-=-<，(1)40f a '=>，所以函数()f x '在(1,)
-+∞有唯一的零点．
当1
2
a <
时，(1)0g '-<，(0)20g a '=>，故(1,0)t ∃∈-，使得()0g t '=，且 (1,)x t ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减， (,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，
又(1)20g -=-<，(1)40g a =>，所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点．
综上所述，()f x '在(1,)-+∞有唯一的零点．
当1x -≤时，1()(1)e 0x f x x +'-<≤，又()f x '有唯一的零点，记为s ，且当x s <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x s >时，()0f x '>，()f x 单调递增，
所以s 是()f x 唯一的极小值点，即0(1,1)x s =∈-且满足0
100(1)e 2(1)0x x a x +-++=，
由单调性知0()(1)3f x f <-=-， 另一方面， 000011
1
12
22000000000(1)e 1()(2)e
(1)(2)e
(1)(23)e 2(1)2
x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++ 记211()(23)e 2z h z z z +=--+，则211
()(1)e 02
z h z z +'=-+<，
所以()h z 单调递减，
又因为0(1,1)x ∈-，所以20()(1)e h x h >=-， 综上所述，
()20e 3f x -<<-．。