运筹学 第四章(清华三版)

第 一 节 目标规划问题及其数学模型
（3）优先因子（Pl<<Pl-1<<•••<<P1）和权系数wk 要寻求的方案希望满足的目标往往不唯一，因此根据主 次轻重进行层次划分。首先需要满足的目标为第一层次， 可用优先因子P1表示，只有在寻得上一层次对应的目标 最优的条件下，才考虑较低层次的目标。其次需要满足 的为第二层次，用P2表示，依次类推。 对于在某一层次上需要综合一起考虑的几个目标， 这些目标的重要程度可用权系数表示。
例4—2：有三个产地向四个销地供应物资。各产 销地之间的单位物资运费cij 见下表。
B1
A1 A2 A3 bj (吨) 5 3 4 200
B2 2 5 5 100
B3 6 4 2 450
B4 7 6 3 250
Ai(吨) 300 200 400
P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足； P2：A3向B1提供的物资不少于100 t； P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%； P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小运 费的10%； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试求满意的调运方案。
第二节:图解法
8 7
6
2x1+x2=8 C B
A
5
Min{P1(d1- + d1+ ),P2 (d2- )} 10x1+12x2 + d1- -d1+ =62.5 x1+2x2 + d2- - d2+ =10 2x1+x2≤8 xi,di- , di+ ≥0,i=1,2
A点坐标为（0，5.2）， C点坐标为（0.6，4.7) 故满意解集合为 d2+ 0.6 0 X (1 ) 0 1 4.7 5.2
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
3、发展历程 （1）1961年，Charnes和Cooper在《管理模型及线 性规划的工业应用》中，作为一个解没有可行解的 线性规划的方法而提出目标规划的概念和数学模型。 （2）1965年，尤吉· 艾吉里引入了加权系数和优先 因子的概念，进一步完善了目标规划的数学模型。 （3）作为多目标决策（规划）的一个分支，目标规 划理论、方法已经基本完善。但开始于上世纪70年 代的多目标决策研究，只取得了有限的成果和进展 （复杂性所致）
x11 x21 x31 d1 d1 200 x12 x22 x32 d 2 d 2 100 x13 x23 x33 d 3 d 3 450 x x x d d 250 24 34 4 4 14
第 四 章 目 标 规划
教学时数：6学时 教学目的与要求：理解目标规划的概念与 图解法,能建立目标规划模型 教学内容：
1.目标规划的概念与模型 2.目标规划的图解法与单纯形法 3.目标规划的灵敏度分析 教学重点：目标规划的建模与图解法 教学难点：目标规划的建模与图解法
第四章讲授内容与知识
第一节 第二节 第三节 第四节 目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 灵敏度分析
4
3
2
1 1 2 3 4 5
d1+
x1+2x2=10
6
7
10x +12x =62.5
8
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
4、多目标决策（规划）研究的动力
（ 1）自亚当· 斯密起，西方经济学的一个基本 假设是：企业的决策者是“经济人”。他们的 行为只受利润最大化准则的支配，没有其他的 个人动机。由于他们掌握了获取最大利益的所 有信息，在这种情况下，追求利润最大化就成 为他们唯一的目标。单目标问题由此诞生。 （2）然而，经济人假设不能解释经济活动中 各种各样的行为和现象，为此，H.A.西蒙提出 了管理人和令人满意行为准则。可以说，多目 标决策是对社会实践的响应。
1、目标规划的基本概念 （1）绝对约束和目标约束 我们把必须严格满足的条件、目标称为绝对约束， 也称系统约束； 而把希望达到的目标称为目标约束。 （2）偏差变量 对于希望达到的目标，决策值与满意范围的边 界可能不相等，存在偏差。为建立数学模型，我 们引入： 正偏差d+——决策值大于目标边界值部分 负偏差d-——决策值小于目标边界值部分
( x11 x21 x31 )
min{P d }
（7）考虑B1和B3的供应率要尽可能相同
200 ( x13 x23 x33 ) d12 d12 0 450
（8）力求使总运费最省
c
i 1 j 1
3
4
min{P (d d )} 6
12
12
ij
（4）目标规划中的目标函数 目标规划追求最满意解——尽可能满足决策者的要求， 也就是使未进入满意范围的偏差最小。 （1）要求不低于目标值。min {f (d-)} （2）要求不超过目标值。 min {f (d+)} （3）要求恰好达到目标值。 min {f (d-+d+)}
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
一、基本知识
1、线性规划的局限性 （ 1 ）线性规划只能处理一个目标，而 现实问题往往要处理多种目标； （２）线性规划立足于满足所有约束条 件，而实际问题中可能存在相互矛盾的 约束条件； （３）线性规划的约束条件是不分主次 地同等对待，而现实中可根据需要给予 轻重缓急的考虑。
第一节：目标规划问题及其数学模型
（1）供应量的约束
x11 x12 x13 x14 300 x21 x22 x23 x24 200 x x x x 400 32 33 44 31
（2）需求量的约束 B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；
maxZ =1.15x14+1.40x23+1.25x32 +1.05x45 第一年：100000= x11 +x41 +x32 第二年：1.06 x41= 第三年：1.15x11+1.06 x41= x13 +x23 +x43 第四年：1.15x12+1.06 x43= x14 +x44 第五年：1.15x13+1.06 x44= x45 x23 ≤40000 x32 ≤30000
产
A B
品
耗 电 量
（Kw / 单位产品）
Байду номын сангаас
材料消耗
（t / 单位产品）
利 润
1 2
10 12
2 1
解：设x1、 x2分别表示A、B两种产品的日产量。
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
min{P ( d d ), P2 ( d )} 1 10x1 12x2 d1 d1 62.5 x1 2 x2 d 2 d 2 10 2 x1 x2 8 x , d , d 0 i 1,2 i i i
4 10
5 11
12
12
7 13
第二节:图解法
求解目标规划问题常用的有两种方法。 图解法 特点：形象直观，但只适用于只有两个决策变量。 单纯形法 目标规划的数学模型与线性规划的数学模型本质 上是一致的，故可以利用单纯形方法求解目标规 划问题
第二节:图解法
一、图解法步骤 1、画出平面直角坐标系。 2、如果有系统约束，运用线性规划图解法的步骤 确定可行区域；如果没有系统约束，转下步。 3、从第一个目标（最重要目标）起，令偏差变量 等于零，确定哪半个平面是超过目标的部分；哪 半个平面是达不到目标的部分。 4、分析半个平面的取舍并结合系统约束，确定满 足第一目标的可行区域并确定达成目标的函数 （1）要求不低于目标值：min {f (d-)} （2）要求不超过目标值： min {f (d+)} （3）要求恰好达到目标值： min {f (d-，d+)} 5 、第二目标在第一目标确定区域内选择,依此类推
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
5、建立目标体系的考虑 由于是多目标问题，所以必须考虑： （1）目标分类 一类是必须达到的目标，另一类是希望实现的目 标； （2）目标分层 希望实现的目标根据轻重缓急的要求来分出层次； 同一层次的目标属性应是独立的。
第一节:目标规划问题及其数学模型
二、目标规划问题数学模型
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标 数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目标决策问题：多目标决策问题是由法 国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政 治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转 化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的 是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损 害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实 质上是恰如其分的折中、妥协）。
第一节：目标规划问题及其数学模型
B1 B2 2 5 5 100 0 100 B3 6 4 2 450 0 450 B4 7 6 3 250 0 250 ai 300 200 400 100 1000 1000
A1
A2 A3 Aj4 b bj
5 3 4 200 0 200
解：设xij为产地Ai配给销地Bj的数量。该问题是销 大于产的运输问题。用表上作业法可以求得不考虑 P1至P6各目标时的最小运费调运方案，相应的最小 运费为2950元。
1 1 2
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的一般模型
K m in P ( ( wlk d k wlk d k )) l k 1
l 1,2, , L
n ckj x j d k d k g k k 1,2, K j 1 n i 1,2, , m aij x j ( , )bi j 1 x j 0 j 1,2, n d k , d k 0 k 1,2, , K
xij d d
13
13
2950
min{P d }
7 13
第一节：目标规划问题及其数学模型
目标函数为
min{P d 4 , P2 d5 , P3 (d 6 d 7 d8 d 9 ), 1
P d , P d , P6 (d d ), P d }
6
5
x1+2x2 + d1- - d1+ =10 d1- =0; d1+ >0 2x2 = - x1 + 10 – d1- + d1+ d1- =0; d1+ =0
4
3
2
1
d1+ =0; d1- >0
d1-
d1+ x1+2x2=10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
例4-1 某车间计划生产A、B两种产品。决策者 首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额 指标62.5kW /日，然后考虑完成与超额完成利 润指标10元/日。每日可给车间供应所需原材料 8t。有关数据汇总于下表，应当如何安排产品 A、B的产量。
min{P (d d d d )} 3
6 7 8 9
6
6
9
9
第一节：目标规划问题及其数学模型
（5）P4中运费上的限制
c
i 1 j 1
3
4
ij
xij d d
10
10
3245
min{P d }
5 11
4 10
（6）考虑路况的限制 x24 d11 d11 0
min{P d }
1 4
第一节：目标规划问题及其数学模型
（3） A3向B1提供的物资不少于100 t。
x31 d d 100
5
5
min{P d }
2 5
（4）每个销地得到的物资数量不少于其 需要量的80%。
x11 x21 x31 d d 160 x12 x22 x32 d7 d7 80 x13 x23 x33 d8 d8 360 x14 x24 x34 d d 200