热力学与统计物理习题
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（第三版）2.15、承前 1.6 和 1.8 题，试求将理想弹性体等温可逆地由 L0 拉长至 2 L0 时所吸 的热和内能的变化。 （第三版）2.16、承 2.15，试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。 2.17 、 （ 2.21 ）如图所示，电介质的介电常数
T
D 与温度有关。 试求电路为闭路 E
4Hale Waihona Puke 温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能 F 、熵 S 和内能 U 的表达式 分别为
1 2 Ax ， 2 1 dA ； S T , x S T , 0 x 2 2 dT
F T , x F T , 0
1 dA 2 U T , x U T , 0 A T x 。 dT 2
1 L ， L T J L J ， A L T
等温杨氏模量定义为： Y
其中 A 是金属丝的截面。一般说来， 和 Y 是 T 的函数，对 J 仅有微弱的依赖关系。 如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1 降 至 T2 时，其张力的增加为 J YA T2 T1 。 1.6、 （1.5）一理想弹性物质的物态方程为 J bT
理想气体，求此气体的物态方程。 补充题：测得某顺磁物质的
磁化强度， C 为常数。试求此顺磁物质的物态方程。 力学参量是张力 J ， 物态方程是 f J , L, T 0 ， 1.5、 （1.4） 描述金属丝的几何参量是长度 L ， 实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为：
PV f T ， U U T ，
试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式。 2.8、 （2.9）证明
2 P 2V CV CP ， T T 2 2 ， V T T V P T T P
热力学与统计物理习题
（汪志诚 热力学·统计物理 第四版） 热力学部分习题
第一章习题
1.1、试求理想气体的体胀系数 ，压强系数 和等温压缩系数 T 。 1.2、证明任何一种具有两个独立参量 T , P 的物质，其物态方程可由实验测的体胀系数 及 等 温 压 缩 系 数 T ， 根 据 下 述 积 分 求 得 ln V
（1） Cm 与 m 无关，只是 T 的函数，其中 Cm 是在磁化强度 m 保持不变时的热容量； （2） U Cm dT （3） S
0 m 2
2
U0 ；
Cm dT s0 。 T
（第三版）2.24、实验测得顺磁介质的磁化率 T 。如果忽略其体积的变化，试求特性函 数 f m, T ，并导出内能和熵。
1.12（1.16） 、假设理想气体的 CP 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和
V 的关系。该关系式中要用到一个函数 F T ，其表达式为 ln F T dT 。 1 T
1.14（1.18） 、试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 1.16（1.20） 、理想气体分别经等压和等容过程，温度由 T1 升至 T2 。假设 是常数，试证明
Ti 2 T2 2Ti T2
W CP T1 T2 2T CP T1 T2 2 T1T2
补充题：
有两个完全一样的物体处在温度 T1 ，有一制冷机把一个物体降温至 T2 ，把一个物体升温至
T 。假设两物体在定压下且比热是常数，试用熵增加原理证明，制冷机所需的功 W 为
L L2 0 2 ， L0 L
1
其中 L 是长度, L0 是张力 J 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数， b 是常数，试证明 （a）等温杨氏模量为 Y
bT A
L 2 L2 3bT 0 ； 2 ，在张力为零时， Y0 A L0 L
L3 1 1 dL0 1 L3 0 ，其中 0 ； （b）线膨胀系数 0 3 L0 dT T L 2 L3 0
0 2 P V 2 P 0 ， dV C C T dP 。 P P 2 2 V0 P0 T V T P
V
并由此导出 CV CV T
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度的函数。 2.9、 （2.10）证明范氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数，与体积无关。 2.10、 （2.11）证明理想气体的摩尔自由能可以表为
T2 W CP T1 T2 2T CP 1 T2 2T1 。 T2
补充题： 某种物质其质量为 m ，比热为 c （定压下为 c p ，定容下为 cv ） ，若其温度由 T1 升至 T2 ，试
3
计算其熵的变化。若将该物质所吸收的热量看作是在其平均温度
（第三版）1.6、 1 mol 理想气体，在 27 C 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20 Pn 准静态 降到 1Pn ，求气体所作的功和所吸取的热量。
0
（第三版）1.8、承前 1.6 题。使弹性体在准静态等温过程中长度由 L0 压缩为 界所作的功。
L0 ，试计算外 2
1.7、 （1.10）抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强 P0 时将 活门关上。试证明，小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 U 与原来 在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 PV 0 0 ，其中 V0 是它原来在大气中的体积。若气 体是理想气体，求它的温度与体积。 1.8、 （1.11）满足 PV C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明，理想
2L m 2 D d d 。 h 2
5
1
6.3、试证明，对于二维自由粒子，在面积 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为
2
D d
2 L2 md 。 h2
6.4、 在极端相对论情形下， 粒子的能量动量关系为 cp 。 试求在体积 V 内， 在 到 d 的能量范围内三维粒子的量子态数。 6.5、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N 。粒子间的相互作用很弱，可以看作 是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制，试证明，在 平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 al l e
时电介质的热容量与充电后再令电路断 开后的热容量之差。 2.19、 （2.21）已知顺磁物质的磁强化强度 m 为
C ， 若维持物质的温度不变， H（居里定律） T 使磁场由 0 增至 H ，求磁化热。 m
2.20 、 （ 2.23 ） 已 知 超 导 体 的 磁 感 应 强 度
B 0 H m 0 ，求证：
1
0
K 1 ，问电阻器的熵增为何？ 1 T1 T2 后， 2
、均匀杆的温度一端为 T1 ，另一端为 T2 。试计算达到均匀温度 1.19（1.23）
杆的熵增。 （第三版） （1.24） 、根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸取热量使之完 全变成有用的功而不引起其他变化是不可能的。 1.21（1.25） 、物体的初温 T1 高于热源的温度 T2 。有一热机在此物体与热源之间工作，直到 将物体的温度降到 T2 为止。若热机从物体吸取的热量为 Q ，试根据熵增加原理证明， 此热机所能输出的最大功为 W最大＝Q T2 S 2 S1 ，其中 S1 S 2 是物体的熵减少 量。 1.22（1.26） 、有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 Ti ，今令一制冷机在此两物 体间工作，使其中一个物体的温度降到 T2 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生 相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 W最小＝C P 补充题： 有两个完全一样的物体，初始温度各为 T1 和 T2 ，有一热机工作于这两物之间，使两者的温 度都变为 T 。假设两物在定压下且比热是常数，试用熵增加原理证明，热机对外所作的功 为
dT
T
dP ， 如 果
1 ， T
T
1 ，试求物态方程。 P
补 充 题 ： 已 知 某 气 体 的 体 胀 系 数
1 V nR ， 等 温 压 缩 系 数 V T P PV
T
1 V 1 a ，其中 n 、 R 和 a 为常数，且当压强 P 0 时，气体成为 V P T P V H m CH H ， 2 ，式中 H 为磁场强度， m 为 T T m T T H
n
气体在多方过程中的热容量 Cn 为 Cn 1.10、 （1.13）声波在气体中的传播速度为
n CV 。 n 1
p 。假设气体是理想气体，其定压和定 s
容热容量是常数。试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速 及 给出：
u
2 2 常数 。 ＋常数 , h 1 1
第六章习题
3 1 2 V 2m 2 2 d 。 3 h 6.2、试证明，对子一维自由粒子，在长度 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为
6.1、试根据式（6.2.13）证明，在体积 V 内，在 到 d 的能量范围内，三维自由粒子 的量子数为 D d
f CV dT u0 T
CV dT dT RT ln v Ts0 T 2 Cv dT u0 Ts0 RT ln v 。 T T
2.11、 （2.12）求范氏气体的特性函数 f ，并导出其它的热力学函数。 2.12、 （2.14）一弹簧在恒温下的恢复力 X 与其伸长 x 成正比，即 X Ax ，比例系数 A 是
2
前者的熵为后者的 倍。 1.18 （1.22） 、 10 A 的电流通过一个 25 的电阻器， 历时 1s ， 若电阻器保持为室温 27 C ，
0
试求电阻器的熵增。 （II）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为 27 C ，电阻器的 质量为 10 g ，比热 c p 为 0.84 J g
1 T1 T2 下吸收的，再计 2
算其熵的变化。并证明当 T T2 T1 T1 时，两种做法将得到一致的结果。 补充题：两个热容量分别为常数 C1 和 C2 ，初始温度分别为 T1 和 T2 的固体，在与外界绝热 的情况下接触，并达到平衡，试求两固体的总熵变 S ，并证明 S 0 ，当 T1 T2 时取等 号，当 T1 T2 时取不等号。
第二章习题
2.1、 （2.2）已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其绝对温度。试证明在温度保持不 变时，该气体的熵随体积的增加而增加。 2.2、 （2.3）设一物质的物态方程具有以下的形式 P f V T 试证明其内能与体积无关。 2.3、 （2.4）求证： 1
S 0 P H
2
S 0。 V U
2.4、 （2.5）已知
U U 0 ，求证 0。 V T P T
2.5、 （2.6） 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体 积的增减。 2.6、 （2.7）试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过 程中的温度降落。 2.7、 （2.8）实验发现，一气体的压强 P 与体积 V 的乘积及内能 U 都只是温度 T 的函数，即
T
D 与温度有关。 试求电路为闭路 E
4Hale Waihona Puke 温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能 F 、熵 S 和内能 U 的表达式 分别为
1 2 Ax ， 2 1 dA ； S T , x S T , 0 x 2 2 dT
F T , x F T , 0
1 dA 2 U T , x U T , 0 A T x 。 dT 2
1 L ， L T J L J ， A L T
等温杨氏模量定义为： Y
其中 A 是金属丝的截面。一般说来， 和 Y 是 T 的函数，对 J 仅有微弱的依赖关系。 如果温度变化范围不大，可以看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1 降 至 T2 时，其张力的增加为 J YA T2 T1 。 1.6、 （1.5）一理想弹性物质的物态方程为 J bT
理想气体，求此气体的物态方程。 补充题：测得某顺磁物质的
磁化强度， C 为常数。试求此顺磁物质的物态方程。 力学参量是张力 J ， 物态方程是 f J , L, T 0 ， 1.5、 （1.4） 描述金属丝的几何参量是长度 L ， 实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为：
PV f T ， U U T ，
试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式。 2.8、 （2.9）证明
2 P 2V CV CP ， T T 2 2 ， V T T V P T T P
热力学与统计物理习题
（汪志诚 热力学·统计物理 第四版） 热力学部分习题
第一章习题
1.1、试求理想气体的体胀系数 ，压强系数 和等温压缩系数 T 。 1.2、证明任何一种具有两个独立参量 T , P 的物质，其物态方程可由实验测的体胀系数 及 等 温 压 缩 系 数 T ， 根 据 下 述 积 分 求 得 ln V
（1） Cm 与 m 无关，只是 T 的函数，其中 Cm 是在磁化强度 m 保持不变时的热容量； （2） U Cm dT （3） S
0 m 2
2
U0 ；
Cm dT s0 。 T
（第三版）2.24、实验测得顺磁介质的磁化率 T 。如果忽略其体积的变化，试求特性函 数 f m, T ，并导出内能和熵。
1.12（1.16） 、假设理想气体的 CP 和 CV 之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和
V 的关系。该关系式中要用到一个函数 F T ，其表达式为 ln F T dT 。 1 T
1.14（1.18） 、试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 1.16（1.20） 、理想气体分别经等压和等容过程，温度由 T1 升至 T2 。假设 是常数，试证明
Ti 2 T2 2Ti T2
W CP T1 T2 2T CP T1 T2 2 T1T2
补充题：
有两个完全一样的物体处在温度 T1 ，有一制冷机把一个物体降温至 T2 ，把一个物体升温至
T 。假设两物体在定压下且比热是常数，试用熵增加原理证明，制冷机所需的功 W 为
L L2 0 2 ， L0 L
1
其中 L 是长度, L0 是张力 J 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数， b 是常数，试证明 （a）等温杨氏模量为 Y
bT A
L 2 L2 3bT 0 ； 2 ，在张力为零时， Y0 A L0 L
L3 1 1 dL0 1 L3 0 ，其中 0 ； （b）线膨胀系数 0 3 L0 dT T L 2 L3 0
0 2 P V 2 P 0 ， dV C C T dP 。 P P 2 2 V0 P0 T V T P
V
并由此导出 CV CV T
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度的函数。 2.9、 （2.10）证明范氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数，与体积无关。 2.10、 （2.11）证明理想气体的摩尔自由能可以表为
T2 W CP T1 T2 2T CP 1 T2 2T1 。 T2
补充题： 某种物质其质量为 m ，比热为 c （定压下为 c p ，定容下为 cv ） ，若其温度由 T1 升至 T2 ，试
3
计算其熵的变化。若将该物质所吸收的热量看作是在其平均温度
（第三版）1.6、 1 mol 理想气体，在 27 C 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20 Pn 准静态 降到 1Pn ，求气体所作的功和所吸取的热量。
0
（第三版）1.8、承前 1.6 题。使弹性体在准静态等温过程中长度由 L0 压缩为 界所作的功。
L0 ，试计算外 2
1.7、 （1.10）抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强 P0 时将 活门关上。试证明，小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 U 与原来 在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 PV 0 0 ，其中 V0 是它原来在大气中的体积。若气 体是理想气体，求它的温度与体积。 1.8、 （1.11）满足 PV C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明，理想
2L m 2 D d d 。 h 2
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6.3、试证明，对于二维自由粒子，在面积 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为
2
D d
2 L2 md 。 h2
6.4、 在极端相对论情形下， 粒子的能量动量关系为 cp 。 试求在体积 V 内， 在 到 d 的能量范围内三维粒子的量子态数。 6.5、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N 。粒子间的相互作用很弱，可以看作 是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制，试证明，在 平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 al l e
时电介质的热容量与充电后再令电路断 开后的热容量之差。 2.19、 （2.21）已知顺磁物质的磁强化强度 m 为
C ， 若维持物质的温度不变， H（居里定律） T 使磁场由 0 增至 H ，求磁化热。 m
2.20 、 （ 2.23 ） 已 知 超 导 体 的 磁 感 应 强 度
B 0 H m 0 ，求证：
1
0
K 1 ，问电阻器的熵增为何？ 1 T1 T2 后， 2
、均匀杆的温度一端为 T1 ，另一端为 T2 。试计算达到均匀温度 1.19（1.23）
杆的熵增。 （第三版） （1.24） 、根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸取热量使之完 全变成有用的功而不引起其他变化是不可能的。 1.21（1.25） 、物体的初温 T1 高于热源的温度 T2 。有一热机在此物体与热源之间工作，直到 将物体的温度降到 T2 为止。若热机从物体吸取的热量为 Q ，试根据熵增加原理证明， 此热机所能输出的最大功为 W最大＝Q T2 S 2 S1 ，其中 S1 S 2 是物体的熵减少 量。 1.22（1.26） 、有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 Ti ，今令一制冷机在此两物 体间工作，使其中一个物体的温度降到 T2 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生 相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 W最小＝C P 补充题： 有两个完全一样的物体，初始温度各为 T1 和 T2 ，有一热机工作于这两物之间，使两者的温 度都变为 T 。假设两物在定压下且比热是常数，试用熵增加原理证明，热机对外所作的功 为
dT
T
dP ， 如 果
1 ， T
T
1 ，试求物态方程。 P
补 充 题 ： 已 知 某 气 体 的 体 胀 系 数
1 V nR ， 等 温 压 缩 系 数 V T P PV
T
1 V 1 a ，其中 n 、 R 和 a 为常数，且当压强 P 0 时，气体成为 V P T P V H m CH H ， 2 ，式中 H 为磁场强度， m 为 T T m T T H
n
气体在多方过程中的热容量 Cn 为 Cn 1.10、 （1.13）声波在气体中的传播速度为
n CV 。 n 1
p 。假设气体是理想气体，其定压和定 s
容热容量是常数。试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速 及 给出：
u
2 2 常数 。 ＋常数 , h 1 1
第六章习题
3 1 2 V 2m 2 2 d 。 3 h 6.2、试证明，对子一维自由粒子，在长度 L 内，在 到 d 的能量范围内，量子态数为
6.1、试根据式（6.2.13）证明，在体积 V 内，在 到 d 的能量范围内，三维自由粒子 的量子数为 D d
f CV dT u0 T
CV dT dT RT ln v Ts0 T 2 Cv dT u0 Ts0 RT ln v 。 T T
2.11、 （2.12）求范氏气体的特性函数 f ，并导出其它的热力学函数。 2.12、 （2.14）一弹簧在恒温下的恢复力 X 与其伸长 x 成正比，即 X Ax ，比例系数 A 是
2
前者的熵为后者的 倍。 1.18 （1.22） 、 10 A 的电流通过一个 25 的电阻器， 历时 1s ， 若电阻器保持为室温 27 C ，
0
试求电阻器的熵增。 （II）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为 27 C ，电阻器的 质量为 10 g ，比热 c p 为 0.84 J g
1 T1 T2 下吸收的，再计 2
算其熵的变化。并证明当 T T2 T1 T1 时，两种做法将得到一致的结果。 补充题：两个热容量分别为常数 C1 和 C2 ，初始温度分别为 T1 和 T2 的固体，在与外界绝热 的情况下接触，并达到平衡，试求两固体的总熵变 S ，并证明 S 0 ，当 T1 T2 时取等 号，当 T1 T2 时取不等号。
第二章习题
2.1、 （2.2）已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其绝对温度。试证明在温度保持不 变时，该气体的熵随体积的增加而增加。 2.2、 （2.3）设一物质的物态方程具有以下的形式 P f V T 试证明其内能与体积无关。 2.3、 （2.4）求证： 1
S 0 P H
2
S 0。 V U
2.4、 （2.5）已知
U U 0 ，求证 0。 V T P T
2.5、 （2.6） 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体 积的增减。 2.6、 （2.7）试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过 程中的温度降落。 2.7、 （2.8）实验发现，一气体的压强 P 与体积 V 的乘积及内能 U 都只是温度 T 的函数，即