第2讲 排列与组合

第2讲排列与组合

一、知识梳理

1．排列、组合的定义

常用结论

1．“排列”与“组合”的辨析

排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．

2．解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排．

(2)合理分类与准确分步．

(3)排列、组合混合问题要先选后排．

(4)相邻问题捆绑处理．

(5)不相邻问题插空处理．

(6)定序问题倍缩法处理．

(7)分排问题直排处理．

(8)“小集团”排列问题先整体后局部．

(9)构造模型．

(10)正难则反，等价转化．

二、教材衍化

1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()

A．144B．120

C．72 D．24

解析：选D．“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.

2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()

A．8 B．24

C．48 D．120

解析：选C．末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.

3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()

A．18 B．24

C．30 D．36

解析：选C．选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24 C13＋C14C23＝30种．故选C．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．()

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()

(4)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()

(5)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×

二、易错纠偏

常见误区|(1)分类不清导致出错；

(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．

1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．

解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C35种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．

答案：350

2．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

解析：设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法，再与产品D，E全排列有A33种摆法，最后把产品C插空有C13种摆法，所以共有A22A33 C13＝36(种)不同摆法．

答案：36

考点一排列问题(基础型)

复习指导|理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．核心素养：数学建模

有3名男生、4名女生，在下列不同条

件下，求不同的排列方法总数．

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻．

【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．

(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．

法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．

(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．

求解排列应用问题的6种主要方法

1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为()

A．36 B．72

C．108 D．144

解析：选B．3本数学书的放法有A33种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种，故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种)．

2．6名同学站成1排照相，要求甲同学既不站在最左边也不站在最右边，则不同站法共有______种．

解析：法一：(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：

第1步，从除甲外的5人中选出2人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；

第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．

由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同站法．

法二：(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边也不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；

第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法．

答案：480

考点二组合问题(基础型)

复习指导|理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．核心素养：数学建模

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

【解】(1)从余下的34种商品中，