集合与充要条件
充分必要条件和集合的关系
充分必要条件和集合的关系充分必要条件与集合的关系引言：在数学中，充分必要条件是一种重要的概念，用来描述一个条件在某个特定情况下是充分的和必要的。
而集合论是数学中的一个基础分支，用来研究集合及其性质。
本文将探讨充分必要条件与集合的关系，并说明它们在数学中的重要性。
一、充分必要条件的定义充分必要条件是指一个条件在某个特定情况下既是充分的，也是必要的。
换言之，当某个条件成立时，我们可以得出结论，这个条件是充分的；而当某个条件不成立时，我们可以得出结论，这个条件是必要的。
二、集合的概念及其表示方法集合是由若干个元素组成的整体。
在数学中，我们用大写字母表示集合，用大括号将元素括起来表示一个集合。
例如，集合A={1, 2, 3, 4, 5}表示一个包含了元素1, 2, 3, 4, 5的集合。
三、充分条件与集合的关系充分条件与集合的关系体现在对于一个集合而言，如果某个条件成立时，集合中的元素满足某种性质，那么我们可以说这个条件是充分的。
换言之，如果一个元素满足某种性质，那么这个元素一定属于集合。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4, 5}，我们可以说“如果一个数是集合A的元素，那么它一定是一个正整数”。
这里，“是一个正整数”就是集合A中元素的充分条件。
四、必要条件与集合的关系必要条件与集合的关系则体现在对于一个集合而言，如果某个条件不成立时，集合中的元素就不满足某种性质，那么我们可以说这个条件是必要的。
换言之，如果一个元素不满足某种性质，那么这个元素一定不属于集合。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4, 5}，我们可以说“如果一个数不是正整数，那么它一定不是集合A的元素”。
这里，“不是正整数”就是集合A中元素的必要条件。
五、充分必要条件与集合的应用举例充分必要条件的思想在数学中得到了广泛的应用，例如在数列的收敛性判断中。
对于一个数列而言，它的收敛与发散可以通过某个条件的充分必要性来判断。
以数列的收敛性为例，我们知道，一个数列收敛到某个极限值，当且仅当它满足某个条件。
充分条件与集合包含的关系
充分条件与集合包含的关系1. 引言说到充分条件和集合包含，很多人可能会皱眉头，觉得这就是个高深的数学话题，其实不然！咱们今天就来聊聊这个问题，用最简单的方式，轻松愉快地来理解这两个概念。
你会发现，数学其实也能像喝茶一样，温暖又惬意。
2. 什么是充分条件？2.1 定义简述首先，咱们得搞清楚什么是充分条件。
简单来说，A 是 B 的充分条件，意思就是“只要A 成立，B 就一定成立”。
打个比方，如果你今天吃了三碗米饭，那你肯定是饱了，没错吧？所以“吃三碗米饭”就是“饱”的充分条件。
但反过来呢？如果你饱了，未必是因为吃了三碗米饭，可能你只是喝了一大碗汤，或者吃了十个包子。
这就说明“饱”并不是“吃三碗米饭”的必要条件。
2.2 生活中的例子再举个例子，咱们常说“下雨了，地就湿了”。
这里“下雨”就是“地湿”的充分条件。
可如果你看到地湿了，未必就能判断一定是下雨了，可能是有人洒水，或者上面有个小猫在洗澡，哈哈！所以，充分条件让我们知道，某个结果肯定会发生，但不一定能推导出原因。
3. 集合与包含的关系3.1 集合的概念那么，集合包含又是个什么鬼呢？想象一下，一个集合就像是一袋零食。
你这袋子里可能装着薯片、巧克力、糖果等，而每一样零食都可以看作是这个集合的元素。
如果我们说“薯片是这个集合的一个元素”，那就是在说薯片包含在这袋零食里。
这样理解是不是简单多了？3.2 充分条件与集合包含的联系那么，充分条件和集合包含之间又有什么关系呢？很有趣哦！可以把“充分条件”看作是“集合”的一个特别元素。
比如说，A 是 B 的充分条件，我们可以把它想象成一个小集合里的一个元素，而 B 则是一个更大的集合。
也就是说，只要你拿到 A 这个元素，B 这个大集合就一定会有，但反过来可就不一定了。
这个想法很像是“上天给我开了一扇窗”，只要有 A，B 就会自然到来。
4. 生活中的运用4.1 工作与学习在生活中，这样的逻辑其实处处可见。
比如在工作中，如果你提前完成了任务（A），那么你可以放假（B）。
中职数学集合与充要条件知识归纳
中职数学集合与充要条件知识归纳嗨，小伙伴们！今天咱们就来唠唠中职数学里的集合与充要条件那些事儿。
集合呢，就像是一个大篮子，把具有某种共同属性的东西都放在一起。
比如说，所有的偶数就可以构成一个集合。
那集合里的元素啊，那可是独一无二的，就像每个小伙伴都有自己的特点一样。
你不能把相同的东西在一个集合里放好几个，这就好比你不能有两个一模一样的你，多奇怪呀。
再来说说集合的表示方法。
有列举法，就像数家珍一样，把集合里的元素一个一个列出来。
比如说{1, 2, 3}，这就是一个用列举法表示的集合。
还有描述法呢，就像是给这个集合里的元素画个像，用一个式子或者一句话来描述它们。
像{x x是大于5的整数}，这就是描述法。
集合之间的关系也很有趣。
有子集，就像是大集合里面包含着小集合。
比如说自然数集包含着偶数集，那偶数集就是自然数集的子集。
真子集呢，就是小集合比大集合少点东西，不能完全一样。
就像{1, 2}是{1, 2, 3}的真子集。
空集可是个特别的存在，就像一个空的盒子，里面什么都没有，用∅来表示。
但可别小瞧它，在集合的运算里，它可有特殊的作用呢。
说到集合的运算，有交集、并集和补集。
交集就像是两个人共同的爱好，把两个集合里相同的元素拿出来组成一个新的集合。
并集呢，就是把两个集合里的所有元素都放在一起，不管有没有重复的。
补集就像是在一个大集合里，除了某个小集合剩下的部分。
现在咱们再聊聊充要条件。
充要条件就像是一把钥匙和一把锁的关系。
如果有一件事情A能推出另一件事情B，而且B也能推出A，那A就是B的充要条件。
比如说，一个三角形是等边三角形，这就能推出这个三角形的三个角相等，反过来，三个角相等的三角形就是等边三角形，这就是充要条件。
如果A能推出B，但是B推不出A，那A就是B的充分不必要条件。
就像下雨地面会湿，下雨能推出地面湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，可能是有人泼水呢。
要是B能推出A，但是A推不出B，那A就是B的必要不充分条件。
集合与充要条件
������−������ ������−������
, ������ =
������, ������ | ������������ − ������ ������ +
������ − ������ ������ = ������������ 为 。
若 ������ ∩ ������ = ∅ ， 则 a 的 取 值 集 合
1、在△ ABC 中， “ A B ”是“ sin A sin B ”的 条件； 2、设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面α 内，则“l⊥ m 且 l⊥n”是“l⊥α ”的 件; 4、 “a>2”是“直线 y=k(x-a)可以是圆 x 切线”的 条件
2
条件； 条
3、 “两条直线的斜率相等” 是 “两条直线平行” 的
1 1 1 n a1a 2 a2 a3 an an1 a1an1 。
1.如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知 小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的． 某商家按上述投 球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 l，2， 3 等奖． （I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为 50％，70％，90％．记 随变量 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率， 求随机变量 望 ； (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动， 记随 机变量 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P( 2) ．
相同。B：������ = ������ = ������
������ ������
������������
������������
������������
������
集合与充要条件的知识点总结
集合与充要条件的知识点总结集合是数学中的基本概念之一，它可以用来描述一组具有共同特征的事物。
在实际问题中，我们经常需要将事物进行分类或者归纳，这时就需要用到集合的概念。
本文将围绕集合的定义、运算、关系和应用等方面进行总结，同时介绍充要条件的概念及其在数学证明中的应用。
一、集合的定义集合是由若干个元素组成的整体，可以用大括号{}来表示。
例如，集合A={1,2,3}就表示A是由元素1，2，3组成的集合。
集合的元素可以是任意类型的对象，如数字、字母、图形等等。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用符号“x∈A”表示，反之则用“xA”表示。
二、集合的运算1.并集：给定两个集合A和B，它们的并集是由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，用符号“A∪B”表示。
2.交集：给定两个集合A和B，它们的交集是由既属于A又属于B的元素组成的集合，用符号“A∩B”表示。
3.差集：给定两个集合A和B，它们的差集是由属于A但不属于B的元素组成的集合，用符号“A-B”表示。
4.补集：给定一个全集U和一个集合A，A在U中的补集是由U 中不属于A的元素组成的集合，用符号“Ac”表示。
三、集合的关系1.包含关系：给定两个集合A和B，如果A的所有元素都属于B，那么称B包含A，用符号“AB”表示。
反之，如果B的所有元素都属于A，那么称A包含B，用符号“AB”表示。
如果A和B既包含又不包含彼此，那么称A和B相等，用符号“A=B”表示。
2.互斥关系：给定两个集合A和B，如果它们没有交集，即A∩B=，那么称A和B互斥。
3.互补关系：给定一个全集U和一个集合A，A在U中的补集Ac就是A的互补集合。
由于A和Ac的元素构成全集U，因此它们互为补集。
四、集合的应用1.分类和归纳：集合可以用来描述一组具有共同特征的事物，从而进行分类和归纳。
例如，我们可以将人群分为男性和女性两个集合，从而对人群进行分类。
2.概率论：在概率论中，集合被用来描述随机事件的结果。
集合与充要条件的知识点总结
集合与充要条件的知识点总结集合是数学中一个非常基础的概念，也是其他数学分支的基础。
在数学中，集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是数、字母、图形等等。
集合的概念可以用来描述许多数学问题，如函数、关系、拓扑等等。
在本文中，我们将介绍集合的基本概念和一些重要的定理，以及如何使用充要条件来解决数学问题。
一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是数、字母、图形等等。
集合的元素可以是无限个，也可以是有限个。
我们通常用大括号{}表示一个集合，集合中的元素用逗号分隔开来。
例如，{1,2,3,4,5}是一个有限集合，{1,2,3,...}是一个无限集合。
1.2 集合的表示法集合可以用不同的方式来表示。
下面是一些常见的表示法：（1）列举法：用大括号{}将集合中的元素列举出来。
（2）描述法：用条件语句描述集合中的元素。
例如，描述集合{1,2,3,4,5}的方式可以是：{ x | x 是自然数，且 1≤x≤5 }表示集合中的元素是自然数，且在1到5之间。
1.3 集合的关系集合之间有三种基本的关系：包含关系、相等关系和不相交关系。
（1）包含关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称B包含A，或者说A是B的子集。
用符号AB表示。
（2）相等关系：如果两个集合A和B有相同的元素，则称它们相等。
用符号A=B表示。
（3）不相交关系：如果两个集合A和B没有共同的元素，则称它们不相交。
用符号A∩B=表示。
1.4 集合的运算集合之间有三种基本的运算：交、并和补。
（1）交：如果一个元素同时属于两个集合A和B，则称该元素属于A和B的交集。
用符号A∩B表示。
（2）并：如果一个元素属于集合A或者属于集合B，则称该元素属于A和B的并集。
用符号A∪B表示。
（3）补：如果一个元素属于集合A，但不属于集合B，则称该元素属于A的补集。
用符号A-B表示。
二、集合的定理2.1 集合的基本定理（1）空集是任何集合的子集。
充分条件必要条件与集合的关系
充分条件必要条件与集合的关系充分条件与必要条件是数学中用来描述集合之间关系的概念。
在集合论中，我们经常需要判断某个条件是否能够成为某个集合的充分条件或者必要条件。
本文将详细介绍充分条件与必要条件，并探讨它们与集合之间的关系。
一、充分条件与必要条件的定义在数学中，充分条件和必要条件都是用来刻画命题之间的关系。
给定两个命题P和Q，如果P能够推出Q，那么我们说P是Q的充分条件；而如果Q能够推出P，那么我们说P是Q的必要条件。
具体来说，充分条件和必要条件是通过蕴含关系来定义的。
对于命题P和Q，如果P蕴含Q，即P→Q成立，则我们说P是Q的充分条件；如果Q蕴含P，即Q→P成立，则我们说P是Q的必要条件。
二、充分条件与必要条件的关系充分条件与必要条件是相互依存的关系。
一方面，如果P是Q的充分条件，那么P蕴含Q，即P→Q成立；另一方面，如果P是Q的必要条件，那么Q蕴含P，即Q→P成立。
换句话说，充分条件与必要条件是一对“两可逆”的关系。
如果我们知道了P是Q的充分条件，那么我们可以推出P蕴含Q，即P→Q 成立；反过来，如果我们知道了P蕴含Q，那么我们可以说P是Q的充分条件。
同样地，如果我们知道了P是Q的必要条件，那么我们可以推出Q蕴含P，即Q→P成立；反过来，如果我们知道了Q蕴含P，那么我们可以说P是Q的必要条件。
三、充分条件与必要条件的例子为了更好地理解充分条件和必要条件的概念，我们来看几个具体的例子。
例子一：假设P表示一个正整数是偶数，Q表示该正整数能够被2整除。
显然，P是Q的充分条件，因为如果一个正整数是偶数，那么它必然能够被2整除。
另一方面，Q也是P的必要条件，因为如果一个正整数能够被2整除，那么它必然是偶数。
例子二：假设P表示一个三角形是等边三角形，Q表示该三角形的三条边长相等。
显然，P是Q的充分条件，因为如果一个三角形是等边三角形，那么它的三条边长必然相等。
另一方面，Q也是P的必要条件，因为如果一个三角形的三条边长相等，那么它必然是等边三角形。
第一章集合充要条件
交集 • 一般地，给定两个集合A,B，由既属 于A又属于B的所有共同元素组成的集 合，叫做集合A与集合B的交集，记作 A B （读作“A交B”）
由交集的定义可知，交集具有以下性质：
A B B A A A A A
A B A
A B B
并集 • 一般地，对于两个给定的集合A,B， 由集合A和集合B的所有元素组成的 集合叫作集合A与集合B的并集，记 作 A B （读作“A并B”）
由并集的定义可知，交集具有以下性质：
A B B A A A A A A
A A B B A B
思考：集合A={1,2,3}，集合B满足 A∪B={1,2,3 }的集合B的个数是多少？
练习：
1 已知A=-1,0,1,2， 3,B=1,3,5,7.求A 2 已知A = x -2<x 1 ,B = x 0<x 4.求A
CU A= x x U ,且x A
6.设全集U = x x是小于10的自然数 ,集合A= 2,5,6,7 , B= 1,3,5,7 .求： (1) CU A和CU B； (2) (CU A) (CU B)； (3) CU (A B)；
7.设全集为R,集合A= x x >2 ,B= x x -3. 求： (1)CR A和CR B； (2)CR (A B)； (3)CR (A B).
特殊情况：空集
空集：一般地称不含任何元素的集合叫空集。 记作
思考： 0 ？
集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
集合的分类：根据集合所含有元素个数 可以将其分为有限集和无限集两类.
练习：（口答）下列给定集合各有那些元素？
方程 x-2=3 的解构成的集合 小于10的正奇数构成的集合
充分条件和必要条件和集合的关系
充分条件和必要条件和集合的关系我们来看充分条件。
在逻辑学中，充分条件指的是一个条件语句中的前提部分。
如果一个陈述的真值为假，则这个条件语句的真值为真。
换句话说，充分条件是保证条件语句真值为真的条件。
举个例子，如果今天下雨，那么地面就会湿润。
在这个例子中，下雨是充分条件，湿润的地面是必要条件。
也就是说，只要下雨了，地面一定会湿润。
接下来，我们来看必要条件。
必要条件是指一个条件语句中的结论部分。
如果一个陈述的真值为真，则这个条件语句的真值为真。
换句话说，必要条件是条件语句成立所必须具备的条件。
继续使用上面的例子，湿润的地面是必要条件，只有地面湿润了，才能说明当天下过雨。
充分条件和必要条件之间存在着一种特殊的关系，即充分条件是必要条件的充分条件，而必要条件是充分条件的必要条件。
这意味着如果一个条件是充分条件，那么它也是必要条件；反之亦然。
回到前面的例子，下雨是湿润地面的充分条件，也是必要条件；而湿润地面则是下雨的必要条件，也是充分条件。
这种关系在逻辑学中被称为充要条件。
我们再来看看充分条件和必要条件与集合的关系。
在集合论中，我们可以将条件语句中的陈述看作集合中的元素，而条件语句则是包含这些元素的集合。
充分条件可以被看作是一个集合的子集，而必要条件则是包含这个子集的集合。
以前面的例子为例，下雨可以看作是一个集合，而湿润地面则是包含在这个集合中的子集。
换句话说，下雨的集合是湿润地面集合的子集。
总结一下，充分条件和必要条件是逻辑学中的重要概念，它们描述了条件语句中的前提部分和结论部分之间的关系。
充分条件是条件语句成立的充分条件，而必要条件是条件语句成立的必要条件。
充分条件和必要条件之间存在着充要条件的关系，即两者互为充分条件和必要条件。
在集合论中，充分条件可以被看作是一个集合的子集，而必要条件则是包含这个子集的集合。
这些概念的理解对于逻辑思维和问题解决能力的培养非常重要。
充分必要条件和集合的关系
充分必要条件和集合的关系在数学中，充分必要条件是一种逻辑关系，用来描述引导某个结论的前提或条件。
而集合则是由一些确定的元素所构成的整体。
本文将探讨充分必要条件与集合之间的关系。
一、充分必要条件的定义充分必要条件是指一个命题或陈述如果成立，则另一个命题或陈述也必然成立。
换言之，两个命题之间的充分必要条件是相互依存的，缺一不可。
通常用“如果且仅如果”来表达这种关系。
二、集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任意事物，如数字、字母、图形等。
例如，自然数的集合可以表示为N={1, 2, 3, 4, ...}，表示集合N包含了所有的自然数。
三、充分必要条件与集合的关系充分必要条件与集合之间存在着密切的关系。
在数学中，我们常常使用充分必要条件来定义集合。
例如，假设A和B是两个集合，我们可以通过充分必要条件来定义A和B之间的关系。
1. A是B的充分必要条件：如果A是B的充分必要条件，那么只有当A成立时，B才能成立。
换言之，A是B的一个必要条件，同时也是B成立的充分条件。
这种关系可以用符号“A⟺B”来表示，表示A是B的充分必要条件。
2. A是B的充分条件：如果A是B的充分条件，那么只要A成立，B就一定成立，但是即使A不成立，B仍然可能成立。
这种关系可以用符号“A⇒B”来表示，表示A是B的充分条件。
3. A是B的必要条件：如果A是B的必要条件，那么只有当B成立时，A才能成立。
换言之，A是B成立的一个必要条件，但不一定是B成立的充分条件。
这种关系可以用符号“A⇐B”来表示，表示A是B的必要条件。
通过以上的关系可以看出，充分必要条件与集合之间存在着相互联系。
在数学中，我们常常使用充分必要条件来定义集合，从而使得集合的定义更加准确和严谨。
四、充分必要条件和集合的应用举例充分必要条件和集合的关系在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 奇数和偶数的关系：奇数可以定义为一个整数加上1的结果，而偶数可以定义为一个整数加上2的结果。
充分必要条件和集合的关系
充分必要条件和集合的关系充分必要条件与集合的关系引言:在数学中，充分必要条件是一种重要的概念，它与集合的关系密切相关。
充分必要条件是指一个条件对应于另一个条件的情况，即两者是等价的。
本文将介绍充分必要条件的概念，并探讨它与集合的关系。
一、充分条件和必要条件的概念在数学中，充分条件和必要条件是描述一个命题成立的条件。
如果一个命题的成立需要满足某个条件，那么这个条件就是该命题的必要条件；而如果满足某个条件就能够保证该命题成立，那么这个条件就是该命题的充分条件。
例如，对于一个数是正数的命题，数大于零是充分条件，因为只要数大于零，就可以确定它是正数；而数是正数是必要条件，因为只有当数大于零时，才能确定它是正数。
二、充分必要条件的关系充分必要条件是指两个条件相互对应，互为充分条件和必要条件。
当一个命题的充分条件与另一个命题的必要条件相等时，可以称它们互为充分必要条件。
举例说明，对于命题“一个数是偶数的充分必要条件是它能被2整除”，这个命题的充分条件是该数能被2整除，必要条件是该数是偶数。
这两个条件是等价的，即一个数能被2整除的充分必要条件是它是偶数。
三、充分必要条件与集合的关系在集合论中，充分必要条件和集合的关系也是十分重要的。
集合是由一些具有共同特征的元素组成的整体，而充分必要条件则是对于某个元素是否属于集合的判断条件。
充分必要条件与集合的关系可以用逻辑符号表示。
假设A为一个集合，P(x)为一个命题，x∈A表示x是集合A的一个元素。
那么P(x)是A的充分必要条件可以表示为：∀x(x∈A→P(x))且∀x(P(x)→x∈A)。
即对于集合A中的每一个元素x，如果满足P(x)，那么x属于集合A；反之，如果x属于集合A，则满足P(x)。
例如，假设A为所有大于0的实数的集合，P(x)为一个命题，“x 是正数”。
那么P(x)是A的充分必要条件可以表示为：∀x(x>0→x 是正数)且∀x(如果x是正数，则x>0)。
《集合与充要条件》课件
必要条件
2
个陈述的真值，但不一定能推导出反 过来的真值。
一个陈述的必要条件可以推导出另一
个陈述的真值，但不一定能推导出反
过来的真值。
例子
成年人是投票的充分条件，但不是必 要条件。
严格（弱）充分条件与必要条件
充分条件
当某个陈述的真值为真时，另一个陈述的真 值也为真。
严格充分条件
当某个陈述的真值为真时，另一个陈述的真 值也为真，并且不能反过来。
《集合与充要条件》PPT 课件
本课件将帮助您深入了解集合与充要条件的概念，掌握常见的集合运算，并 通过举例帮助您理解充要条件的含义。
集合的定义
什么是集合？
集合是由一组确定的元素所组成的整体。元素可以是数字、字母、词语等。
集合的表示
集合通常用大括号 {} 括起来，并列举其中的元素。
集合的特性
集合中的元素不重复，没有顺序。
常见的集合运算
并集
将两个集合中的所有元素合 并成一个新的集合。
交集
取两个集合中共同存在的所 有元素组成的集合。
补集
对于一个给定的参考集合， 找出不属于另一个给定集合 的所有元素。
充要条件的概念
1 什么是充要条件？
2 如何判断充要条件？
充要条件是一个数学逻辑上的概念，表示 两个陈述之间互相推导的关系。
必要条件
当另一个陈述的真值为假时，某个陈述的真 值也为假。
严格必要条件
当另一个陈述的真值为真时，某个陈述的真 值也为真，并且不能反过来。
误区与注意事项
1 懂得充要条件的重要性
2 仔细阅读题目
在数学推理中，充要条件是非常重要的， 它能够帮助我们准确地推导数学结论。
四种条件与集合间的包含关系
四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、 充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。
从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。
思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。
解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p q ΘA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、 必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。
从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？ 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。
解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或 由032032122>-+>-+x x x x 得 即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、 充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。
第一章 集合与充要条件
第二节 集合的基本运算
知识解读
实操演练
巩固练习
知识解读
一、交集
对于 A、B 两个给定的集合，由既属于 A B 又属于 的所有公共元素所构成的集
合，叫做
、 的交集，记作
AB
，即
A B
.
A B x | x A且xB
由交集的定义可知：① A A A；② A ；③ A B B A；
把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫 做描述法．
一般形式为 语言描述 或 * *具有的属性 .
（四）特殊的集合
不含有任何元素的集合叫做空集，用表示．
只含有一个元素的集合叫做单元素集．记为 a .
（五）常见数集
全体自然数的集合叫做自然数集，常用 N 表示．
32xx
y y
1, 2
的解集．
解 （1） 0, 1, 2, 3 ；
解题方法
（2） x | x | 3 ；
（3）x x 2n 1, nZ ；
（4）x,
y
32xx
y y
1 2
3,
8 .
有限集常用列举法表示，无 限集常用描述法表示，用描述法 表示集合过程中需要注意书写格 式问题．
④
若
A
B，则 A
．
BA
二、并集
A B 对于 、 两个给定的集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做
、 A 的B并集，记作
，即
AB
AB
x
|
x
A或x
.
B
由交集的定义可知：① A A A ；② A A ；③ A B B A；
④ 若 A B ，则 A B B ．
湖北技能高考总复习数学1集合与充要条件
【知识精讲】
4．常用数集符号：N表示自然数集，N＋或N*表示 正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实 数集．
3．要明确元素与集合的“属于(∈)”和“不属于(∉)”的关系．
【同步训练】
一、选择题 1．已知集合M＝{x∈N|－3≤x<3}，下列关系正确的是 ( B )
A．0∉M
B. 5 ∉M C．－1∈M
D．3∈M
【提示】 M＝{0，1，2}．故选B.
【同步训练】
2．集合A＝{(x，y)|x－y>0，xy<0，x∈R，y∈R}表示的是( D ) A．第一象限内的点的集合 B．第二象限内的点的集合 C．第三象限内的点的集合 D．第四象限内的点的集合
【典例剖析】
【例1】 能够满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d}的集合的个数
是 A．8
B．6
C．4
D．3
( C)
【分析】 由关系式知，集合M中必须含有元素a，b，且M为{a， b，c，d}的子集，所以M中元素就是在a，b元素的基础上，把{c，d} 的子集中元素加上即可．从而M中元素的个数应该为4个，即M＝{a， b}，M＝{a，b，c}，M＝{a，b，d}．M＝{a，b，c，d}．
【知识精讲】
2．真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属 于B，那么把B叫作A的真子集，记作B A(读作B真包含于A)或A B(读作A 真包含B)．
性质：①空集是任何非空集合的真子集，即∅ A(A≠∅)； ②传递性，即A B，B C⇒A C. 3．集合的相等：一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这 两个集合相等，记作A＝B.
第一章集合充要条件
的区别？
真子集
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B 的子集，且集合B中至少有一个元素不属于 集合A,则集合A叫做集合B的真子集。
记作A B. B A
读作A真包含于B.
空集是任何集合的子集
集合的相等
对于两个集合A,B,如果集合A与集 合B的元素是完全一样的，那么集合A 与集合B相等.记作A=B
B,A B.
B,A B.
3 集合 A = x x <-1 ,B = x x 2. 求 A B,A B.
Hale Waihona Puke 4 已知A = ( x, y ) 4 x y 6 ,B = ( x, y ) x y 3.求A B.
5 求方程x2+4x-12=0的解集.
补集
设U是全集，A是U的一个子集（即A U） , 则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做 集合A在全集U中的补集.记作CU A, 读作“A在全集U中的补集”即
一年中有31天的月份构成的集合
集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规 律的无限集 ②描述法：{x|x具有的性质} ③字母表示法:常用数集的符号
如果集合中的元素是数，那么这样的集合称为数集。 自然数集 N 整数集 Z 实数集 R 正整数集
N 或N
*
有理数集 Q
例：写出下列集合
2 x 5 y 5 方程组 的解集 3x 2 y 0
练习：（口答）用属于“”或不属于“”填空：
8____N -4____N ____N ____N 0____N
方程x2+x-6=0的解集.
8____Z
8____Q 8____R
-4____Z
-4____Q -4____R
用集合来解决充分条件、必要条件
2020年我们一起考重点！【相关知识点】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B 1若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 必要条件。
即q x p x ∈∈∀都有,，也即B A ⊆.2若p ⇒q ，但反之不成立,则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件。
即p q q x p x x x ∉∈∈∈∀00,,,但存在都有，也即A ⊂B (真包含)3若p ⇒q 且q ⇒p,则p 是q 的充要条件。
即q x p x ∈∈∀都有,且p x q x ∈∈∀都有,，也即BA AB B A =⊆⊆，也就是且【例1】的取值范围的充分条件，求实数是若a a x x >>5分析：由题意知集合}{{}a x x x x >⊆>5，即5≤a （可用数轴表示）反思：直接做比较抽象，从集合的观点去思考比较直观，清晰。
练习1：”成立的（）是则“已知0232,2>+->∈x x x R x A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D 充要条件练习2：有实数解的是一元二次方程0412=++<m x x m 条件。
【例2】,043:q )(3)(22成立的必要不充分条件是：<-+->-x x m x m x P 则实m 的取值范围为分析：0)3()(3)(2>---->-m x m x m x m x ）整理的（由得P:3+><m x m x 或者,又q :14<<-x 由P 是q 成立的充分不必要条件得143≥-≤+m m 或者所以17≥-≤m m 或者（注意用数轴表示和端点值的取舍）反思：从集合的观点做这类题目，同时用数轴清晰，形象，直观。
练习3：{}{}”的”是“若“集合B x A x a x x B x y x A ∈∈<=-==,,)4lg(充分不必要条件，则实数a 的取值范围练习4：不充分条件是（）上恒成立”的一个必要在“不等式R m x x 02>+-A 41>m B 10<<m C 0>m D 1>m 【规律方法】1、把充分条件、必要条件或者充分必要条件转化为集合间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解。
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“集合”单元测试题
班级： 姓名： 得分：
一、选择题（每小题2分，共40分）
1、①“全体著名文学家”构成一个集合；②集合{0}中不含元素；③{1，2}，{2，1}是不同的集合；上面三个叙述中，正确的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
2、已知集合{|21}M x x =-<<，则下列关系式正确的是（
）
M A 、∈5
B.0M ∉
C.1M ∈
D.2
M π
-
∈
3、在下列式子中，①}210{1，，∈ ②}210{}1{，，∈ ③}210{}210{，，，，⊆ ④{0,1,2}⊂∅≠ ⑤{0，1，2}={2，1，0}，其中错误的个数是（ ） A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
4、}3,2,1,0{}1,0{⊆⊆A ，则集合A 的个数有（ ） A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
5、下列各式中，不正确的是（ ） A 、A A =
B 、A A ⊆
C 、A A ⊂≠
D 、A A ⊇
6、已知集合*{|2}A x x x N =≥∈且，*{|6}B x x x N =≤∈且，则B A ⋂等于（ ） A 、{1，2，3，4，5，6} B 、{2，3，4，5，6} C 、{2，6}
D 、{|26}x x ≤≤
7、集合A={0，1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，A B ⋃=（ ）
A 、{0，1，2，3，4，5}
B 、{2，3，4}
C 、{0，1，2，2，3，3，4，4，5}
D 、{1，2，3，4}
8、
设{|A x x a =≤=，则下列关系式正确的是（ ） A 、{}a A ∉
B 、{}a A ∈
C 、a A ∉
D 、a A ∈
9、设{}()M 1{1,2},{1,2,3},S P M S P ===⋃⋂，则等于（ ） A 、{1，2，3}
B 、{1，2}
C 、{1}
D 、{3}
10、满足条件{}M 1{1,2,3}⋃=的集合M 的个数是（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
11、设全集{0,123456}U =，，，，，，集合{3456}A =，，，，则U C A =（ ）
A 、{0，3，4，5，6}
B 、{3，4，5，6}
C 、∅
D 、{0，1，2}
12、225x =的充分必要条件是（ ）
A 、55x x ==-且
B 、55x x ==-或
C 、5x =
D 、5x =-
13、设3
{|23},{|},2
A x x
B x x =-≤<=≥则A B ⋃=（ ）
A 、{|2}x x <-
B 、{|23}x x x <-≤或
C 、{|23}x x x <->或
D 、}2|{-≥x x
14、下列集合是无限集的是（ ）
A 、{|01}x x ≤≤
B 、2{|10}x x +=
C 、2{|60}x x x --=
D 、{|(1),}n x x n N =-∈
15、下列四个推理：①()a A B a A ∈⋃⇒∈ ； ② ()()a A B a A B ∈⋂⇒∈⋃； ③
A B A B B ⊆⇒⋃=； ④A B A A B B ⋃=⇒⋂=。
其中正确的个数为（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
16、若U ＝{三角形}，A ＝{直角三角形}，U C A ＝（） A 、{锐角三角形}
B 、{钝角三角形}
C 、{等腰直角三角形}
D 、{钝角三角形或锐角三角形}
17、若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是 （ ） A 、3.14
B 、 5-
C 、
3
7
D
18、平面内，与一条线段AB 的两个端点所构成的视角090APB ∠=的P 点的集合是 （ ） A 、一条直线
B 、一条线段
C 、一条射线
D 、一个圆（不包含点A ，B ）
19、若全集,{|2,},{|21,}U Z M x x k k Z N x x k k Z ===∈==+∈，则下列关系式成立的是 （ ）
A 、M N =
B 、 M N U ⋃=
C 、 M N ⊆
D 、M N ⊇
20、定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊗==+∈∈，设集合{0,1}{2,3}A B ==，则集合A B ⊗为 （ ）
A 、∅
B 、{0,1,2,3}
C 、{0,6,12}
D 、A 集合或B 集合
二、填空题（每小题2分，共10分） 21、用适当的符号（,,,,⊂⊃∈∉=≠≠）填空： (1) a {,}a b
(2) {a } {,}a b
(3) {2，4，6，8} {4，6}
(4) {2，3，4} {4，3，2}
22、已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，C={3，5，7}，则A B ⋃= ，A C ⋂= 。
23、对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈则(6)a A -∈那么a 的值 。
24、设{(,)|0},{(,)|4},A x y x y B x y x y =+==-=则A B ⋂= 。
25、已知集合{|13},{|2}A x x B x x =≤<=>，则A B ⋂= ，A B ⋃= 。
三、解答题（共50分） 26、（8分）若 ，求实数的值。
27、（8分）已知集合{,2,3,4},{1,3,5,}A a B b ==，若{1,2,3}A B ⋂=，求a 和b 。
28、（12分）设全集合U R =，
，
，求
，
，
，
29、（10分）设全集{,,,,,},{,,,},{,}U a b c d e f A a c e f B c d ===,求：（1）,U U C A C B ；
（2）()()U U C A C B ⋃；（3）()()U U C A C B ⋂
30、（12分）设全集1
{,5,3}3U =--，集合2{|350}A x x px =+-=与集合
，且1
{}3
A B ⋂=-，求，。