初中数学相似三角形难题易错题(附详解)

2013初中相似三角形难题易错题

一．填空题（共2小题）

1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．

二．解答题（共17小题）

3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．

4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求

证：．

5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．

6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．

求证：．

11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．

12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．

求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．

15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．

16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．

17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）

18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．

19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．

20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证1

AB +1

AC

=1

BC

提示：要证明如1

a +1

b

=1

c

几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为a+b

ab

=1

c

或a+b

a

=b

c

，故构造成以a+b、b为边

且与a、c所在三角形相似的三角形。②通分法：将原等式变为c

a +c

b

=1，利用相关定理将两个个比通分即：c

a

=m

d

，

c b =n

b

，且m+n=d，则原式成立。

2013初中相似三角形难题易错题

参考答案与解析

一．填空题（共2小题）

1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

考点：平行线分线段成比例．

专题：计算题．

分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．

解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB，

所以EF：AB=CF：CB①，

同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，

①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．

设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

x：6+x：9=1，

解得x=．

故EF=厘米．

点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．

2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

专题：计算题．

分析：首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．

解答：解：取AB的中点M，连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OB=OD，

∴OM∥AD∥BC，OM=AD=c，

∴△EFB∽△EOM，

∴，

∵AB=a，AD=c，BE=b，

∴ME=MB+BE=AB+BE=a+b，

∴，

∴BF=．

故答案为：．

点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．

二．解答题（共17小题）

3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

专题：证明题．

分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．

解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E．

∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，

∴∠BAD=∠CAD=60°．

又∠BAD=∠EDA=60°，

所以∴△ADE是正三角形，

∴EA=ED=AD．①

由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，

∴===1﹣．②

由①，②得=1﹣，

从而+=．

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．

4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．