概率论公式总结

概率公式整理

1．随机事件及其概率吸收律：A

AB A A A A =⋃=∅⋃Ω

=Ω⋃)(

A

B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-

反演律：

B

A B A =⋃

B

A A

B ⋃=

n i i

n

i i

A A

1

1

===

n

i i

n

i i

A A

1

1

===

2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-

加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃

)()

1()()()()(211

111

1

n n n

n

k j i k j i

n

j i j i

n

i i

n

i i A A A P A A A

P A A

P A

P A P -≤<<≤≤<≤==-+++

-

=

∑∑∑

3．条件概率 ()=A B P

)

()(A P AB P 乘法公式

())0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()()

)

0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P

全概率公式

∑

==

n

i i AB P A P 1

)

()(

)

()(1

i n

i i B A P B P ⋅=

∑

=Bayes 公式

)

(A B P k )

()(A P AB P k =

∑==

n

i i i

k k B A

P B P B A P B P 1

)

()()

()(

4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()

()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<

5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k

k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n

k p p

C k X P k

n k

k n

,,1,0,

)

1()( =-==-

*Possion 定理 0lim >=∞

→λn n np

有

,2,1,0!

)

1(lim ==---∞

→k k e

p p C k

k

n n k n

k n n λ

λ

(3) Poisson 分布

)

(λP

,2,1,0,!

)(===-k k e

k X P k

λ

λ

6．连续型随机变量 (1) 均匀分布

),(b a U ⎪⎩

⎪

⎨⎧<<-=其他

,0,1

)(b x a a

b x f ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧--=1,

,0)(a b a

x x F

(2) 指数分布 )(λE

⎪⎩⎪⎨

⎧>=-其他

,

00,

)(x e x f x

λλ

⎩⎨⎧≥-<=-0

,

10,

0)(x e x x F x

λ

(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )

+∞

<<∞-=

--

x e x f x 22

2)(21)(σ

μσ

π

⎰

∞

---

=

x t t e

x F d 21)(2

2

2)(σ

μσ

π

*N (0,1) — 标准正态分布

+∞

<<∞-=

-

x e

x x

2

2

21)(π

ϕ

+∞

<<∞-=

Φ⎰

∞

--

x t e

x x

t

d 21)(2

2

π

7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞

-∞

-=x y

dvdu v u f y x F ),(),(

边缘分布函数与边缘密度函数

⎰⎰∞

-+∞∞

-=

x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞

∞

-=dv v x f x f X

),()(

⎰⎰∞

-+∞

∞

-=y

Y

dudv v u f y F ),()( ⎰+∞

∞

-=du y u f y f Y

),()(

8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U

( G )

⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他

,

0),(,

1),(G y x A

y x f

(2)二维正态分布

+∞

<<-∞+∞<<∞-⨯-=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+------

y x e

y x f y y x x ,121

),(2

22221212121

2

)())((2)()1(212

2

1

σμσσμμρσμρ

ρ

σ

πσ

9. 二维随机变量的 条件分布

0)()

()(),(>=x f x y f x f y x f X X

Y

X

0)()()(>=y f y x f y f Y

Y

X Y

⎰

⎰

+∞

∞

-+∞

∞

-=

=

dy

y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(

⎰

⎰

+∞

∞

-+∞

∞

-=

=dx

x f x y f dx y x f y f X X

Y

Y )()(),()(

)(y x f Y X )

(),(y f y x f Y =

)

()()(y f x f x y f Y X X

Y =

)(x y f X

Y

)

(),(x f y x f X =

)

()

()(x f y f y x f X Y Y X =

10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞

==1

)(k k

k

p x

X E

⎰

+∞

∞

-=

dx

x xf X E )()(

随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(k

X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k

X E

X 的 k 阶中心矩 )))(((k

X E X E - X 的 方差 )()))(((2

X D X E X E =-

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(l

k

Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l

k

Y E Y X E X E ))(())((--

X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --

X ,Y 的相关系数

XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--)()())())(((

X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(2

2

X E X E X D -=

协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=

()

)()()(2

1Y D X D Y X D --±±

=

相关系数

)

()

(),cov(Y D X D Y X XY =

ρ