定积分及其应用ppt课件

ti ti ti1, 令 Tma t1x , t2 {, , tn}，
（2）近似代替 i [ti 1 ,ti],i 1 ,2 , ,n .
n
si v(i)ti
（3）求和 S v(i )ti
i1
n
（4）取极限
S
lim
T 0 i1
v(i
即
b
f (x)dx
b
b
f (t )dt f (u)du .
a
a
a
2o.当 T 0, 分点n个 ;数 但反之 . 不
3o.若f 在[a,b]的某一个积分和 不存的 在 极 ，限
或若f 在[a,b]的某两个积分和都的存极在限但 极限值 不相等 ，则f(x)在[a,b]上不可 . 积
f (i )xi
积分和 或黎曼和
[a,b] 称为
积分下限
被
被
积
积分区间 .
积 函 数
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b]上不可积.
n
若
lim
T 0 i1
f(i )xi
不存在 则，称 f(x)在 27
注意:
1o. 定积分是积分和， 的其 极结 限果是一个数 它只与被积函 f 和 数积分区[a间 ,b]有关，而与 所用的积分变量无 的关 记 . 号
播放 6
曲边梯形如图所示：
（1）分割 T : a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
把 区 [a,b间 ]分n 成 个 小[x区 i1,xi间 ]， 长 度
xi xi xi1;
y
y f(x)
（2）近似代替
i [ xi1, xi ] ,
点 i怎 样 的 取 法 ， 只要当|| T || 0 时，和 S总 趋 于
确 定 的 极 限 I， 我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x )
在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分上限
n
b
a
f
( x)dx

I
lim ||T ||0
i 1
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
24
设一物 M以 体变v 速 v(t)作直线 , 运 求 该 物 体 a到 从时 时 b的 刻 刻运 动S.路 程
（1）分割 T : a t0 t 1 t2 tn 1 tn b
一 点 i （ i x i） ， 作 乘 积 f ( i ) x i( i 1 , 2 , )
n
并 作 和 Sf(i)xi，
i1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如 果 不 论 对 [a,b]
26
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上
n
曲边梯形面积为
A l i m T 0 i1
f (i )xi
求曲边梯形面积所用的方法步骤：
分割、近似代替、求和、 取极限 .
23
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
28
4 o .如 果 f(x )在 [a ,b ]上 可积 ， 则
b f (x)dx 某特殊积分和 的极限 . a
若 取 T:把 [a,b]n等 分 ,则 xi
xi
xi1
ba, n
取i xi ab nai, (i1,2, ,n)
则当 T 0 n ,
b
n

i 1, 2, , n.
oa x1
b xi1 i x i xn1
x
以[xi1,xi]为 底f(， i)为 高 的 小 矩 形
A i f (i )xi
22
n
n
（3）求和 A Ai f(i)xi
i1
i1
（4）取极限 当分割无限加细 ,
即 Tm a x 1x , x { 2, x n} 0时 ，
)ti
25
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把区间[a, b]分成n个小区间，各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲 边梯形面积．
4
例 如 ，y求 x2,由 直y曲 线 0,x线 0,x1所 围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a
f
( x)dx lim T 0 i1
f (i )xi
n
ba ba
lim f(a
i)
.ຫໍສະໝຸດ Baidu
n i1
n
n
29
例1
利用定义计算定积分
1 x 2dx . 0
解 xi
T x把 i [0 x,i1 1]n等 n1， 分 ， x 取i i n i x(i i， (i1 , 1,,2n ,),, n)
第五章 定积分及其应用
本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变 上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分 法、分部积分法、广义积分。
数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大 门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理 学和社会科学。会有这样一天，经济的争执 能够用数学以一种没有争吵的方式来解决， 现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。
伽德纳
1
Archimedes
2
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形:由连续曲线
yf(x)
y f ( x) ( f ( x) 0)、
A?
x轴 与 两 条 直 线 xa、 o a
bx
x b 所围成的平面图形 .
3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积