定积分及其应用ppt课件
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定积分及其应用ppt课件
n
xi 0, f (i )xi 0, i 1
|| T || max{x1, x2 , , xn }
n
b
lim
||T ||0
i 1
f (i )xi
f ( x)dx 0.
a
性质5的推论：（定积分不等式性质）
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx.
(a b)
证明 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
(a b)
即
b
g( x)dx
b
f ( x)dx 0,
a
a
于是
b
a f ( x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
b
a 1 dx a
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
证明 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
前
积取负号．
a
y f (x)
b
b
特别，当 f (x) 1 时，有a 1 dx (b a)1 b a .
定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
定积分的应用93820-PPT文档资料59页
y1 f1(x)
所围成，则其面积公式为：
b
A f1 ( x ) f 2 ( x ) d x .
a
o
y2 f2(x)
a
b
x
3 、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、
右曲线 x2 g2( y) 、下
y
直线 y a 、上直线y b b
所围成, 则其面积公式为：
2
或
22
2
A 2 0
2x2 x2
dx
1 2
1 x2
dx
2
练习写出下列给定曲线所围成的图形面来自的定积分表达式。（7）
y2 42x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A202(2y42)(1y42)dy
4
2 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4x1
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积f (函 x) 数1在[a，b]
上连续，f且 (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分积的为面A badx
y
f(x)=x2
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x (1 ) 2 1 ] dx
授新课：一、直角坐标系情况
1 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
b
y
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
第5章 定积分及其应用(共132页)
22
10:31:46
23
课后作业
课前预习
5.2 定积分的计算
书面作业
P128: 2；3；计算
5.2.1 变上限积分 5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 知识回顾与小结
10:31:46
25
5.2.1 变上限积分
设函数 f ( x ) 在闭区间
变上限积分动态演示
上述和式的极限，即得曲边梯形的面积
A lim f ( i ) x i
0
i 1 n
7
变速直线运动的路程
设某物体的运动速度 v v ( t )是时间 t 的连续函数，
T2 ]内所走过的路程 s . 求物体在时间间隔 [ T1 ，
第一步 分割
T2 ]中任意插入 n 1 个分点， 在时间间隔 [ T1 ，
微积分学基本定理
b]上连续， F ( x )是 f ( x ) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a ， b] 上的一个原函数， 则 在 [a ，
b a
f ( x )d x F (b) F (a )
称为牛顿-莱布尼兹公式，或称为 N-L 公式.
32
N-L 公式表明：
b ]上的定积分等于它的 一个连续函数在区间 [ a ，
第三步
求和，即
求和
把 n 个子时间段内物体所走过的路程
s v ( i ) t i
i 1 n
第四步
取极限
记 max { t 1 ， t2 ， ， t n } ，取
上述和式的极限，即得变速直线运动的路程
s lim v ( i ) t i
0
与 u x 2 复合
而成的，所以
10:31:46
23
课后作业
课前预习
5.2 定积分的计算
书面作业
P128: 2；3；计算
5.2.1 变上限积分 5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 知识回顾与小结
10:31:46
25
5.2.1 变上限积分
设函数 f ( x ) 在闭区间
变上限积分动态演示
上述和式的极限，即得曲边梯形的面积
A lim f ( i ) x i
0
i 1 n
7
变速直线运动的路程
设某物体的运动速度 v v ( t )是时间 t 的连续函数，
T2 ]内所走过的路程 s . 求物体在时间间隔 [ T1 ，
第一步 分割
T2 ]中任意插入 n 1 个分点， 在时间间隔 [ T1 ，
微积分学基本定理
b]上连续， F ( x )是 f ( x ) 设函数 f ( x ) 在闭区间 [a ， b] 上的一个原函数， 则 在 [a ，
b a
f ( x )d x F (b) F (a )
称为牛顿-莱布尼兹公式，或称为 N-L 公式.
32
N-L 公式表明：
b ]上的定积分等于它的 一个连续函数在区间 [ a ，
第三步
求和，即
求和
把 n 个子时间段内物体所走过的路程
s v ( i ) t i
i 1 n
第四步
取极限
记 max { t 1 ， t2 ， ， t n } ，取
上述和式的极限，即得变速直线运动的路程
s lim v ( i ) t i
0
与 u x 2 复合
而成的，所以
( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
A.b[f(x)－g(x)]dx a
C.b|f(x)－g(x)|dx a
B.b[g(x)－f(x)]dx a
D.b[fx－gx]dx
a
解析：因为 f(x)，g(x)两条曲线上下位置关系不确定，故选 C.
答案：C
2．曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的图形面积为( )
A．5
9 B.2
C．4 解析：如图，解方程组y＝x2，
t 0，12
1 2
12，1
S′ －
0
＋
S
极小值
所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题？ 解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边 图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积 分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程进行求解．
x
∴S＝
2 x2dx＋
x0 x0
[x2－(2x0x－x02)]dx
0
2
＝112x30.
∴112x30＝112，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意，作出简图(如图)并解方程组y2＝8xy＞0 x＋y－6＝0 得 x＝2， 所以 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时，正确分析图形特征，将复杂的面积问题分为
几部分来求解，若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
《定积分及其应用》课件
在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积， 我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的 价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
定积分的应用ppt课件共37页PPT
例 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
三、定积分在医学中的应用举例
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
特别地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x(t) y(t), (T1 t T2)
给出时,则此曲边梯形的面积为:
A T2(t)(t)dt T1
其中T1和T2是对应于曲线的起点及终点的 参数值.
x (y)、直线y c、y d及y轴所围
成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
cox源自例 4 证 明 底 半 径 为 r , 高 为 h 的 圆 锥 的 体 积 公 式 .
66定积分的应用 共15页PPT资料
8
(2) 总收益函数
已知边际收益函数 R (Q ), 则产品未销售前的收益 R0 R(0)0,
从而总收益函数
Q
R(Q)0 R'(Q)dQ.
(3) 总利润函数
总利润函数 L ( Q ) 为 L (Q )R (Q )C (Q ).
例7 设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为 C(Q) 3 1Q 与 R(Q)6Q 2
1 .
3 练习：P184 ,1(1).
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
4
1,(1)由曲线 y x2 3在区间[0,1]上的曲边梯形的面积
解：作图
S 1(x2 3)dx 0
(1 3
x3
3x)
|10
(1 3) 3
10 . 3
y
3
0
1x
2019/9/18
微积分II 第六章定积分
1/3
x
1
(3xln|x|)|1 1/3(3x1 2x2)|1 3
4ln3.
2019/9/18
微积分II 第六章定积分7Βιβλιοθήκη 二、定积分在经济分析中的应用
1.已知边际函数求总函数.
在经济问题中, 经常都要涉及到各种经济量的总量. 这些总量,
在一定条件下, 也可用定积分来进行计算.
由牛顿——莱布尼兹公式知：若 f ( x ) 连续，则
x2
x 0
y
, 0
x 1 y 1
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及
(1, 1). 从而知道所求图形在
直线 x = 0 及 x = 1 之间.
则
定积分的应用9411954页PPT
0
0
2 02
3) 旋转体体积
定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。
这直线叫做旋转轴。如圆柱、圆锥体，球体等。 特点：与旋转轴垂直的横截面都是圆
圆柱
圆锥
圆台
1）：体积元素为小圆柱体：dV=底面积×高
取积分变量为x， y
yf(x)
x[a,b]
在[a,b]上任取小区 o
(2)A=
d
[g(y)f(y)]dy
c
例 3 计 算 由 曲 线 y22x和 直 线 yx4所 围
成 的 图 形 的 面 积 .
解 两曲线的交点
yx4
y2 2x
y x4
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
如选x为积分变量，图形需分成两块。
选 y为积分变量 y[2,4]
S022sin 2tdt8
（极坐标）
曲线弧为 rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
弧长
s
x2y2dt4023asintcotds t
y
6a.
a o
ax
例 求摆线 x 1 cost
y
t
sint
一拱（0≤t≤2π）的弧长S。
解 dxsitn, dy1cots
dt
dt
d S s2 t i ( n 1 ct) o 2 d s t 2 ( 1 ct) d o 2 圆的参数方程
x y
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
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i 1, 2, , n.
oa x1
b xi1 i x i xn1
x
以[xi1,xi]为 底f(， i)为 高 的 小 矩 形
A i f (i )xi
22
n
n
（3）求和 A Ai f(i)xi
i1
i1
（4）取极限 当分割无限加细 ,
即 Tm a x 1x , x { 2, x n} 0时 ，
)ti
25
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把区间[a, b]分成n个小区间，各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
a
f
( x)dx lim T 0 i1
f (i )xi
n
ba ba
lim f(a
i)
.
n i1
n
n
29
例1
利用定义计算定积分
1 x 2dx . 0
解 xi
T x把 i [0 x,i1 1]n等 n1， 分 ， x 取i i n i x(i i， (i1 , 1,,2n ,),, n)
即
b
f (x)dx
b
b
f (t )dt f (u)du .
a
a
a
2o.当 T 0, 分点n个 ;数 但反之 . 不
3o.若f 在[a,b]的某一个积分和 不存的 在 极 ，限
或若f 在[a,b]的某两个积分和都的存极在限但 极限值 不相等 ，则f(x)在[a,b]上不可 . 积
播放 6
曲边梯形如图所示：
（1）分割 T : a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
把 区 [a,b间 ]分n 成 个 小[x区 i1,xi间 ]， 长 度
xi xi xi1;
y
y f(x)
（2）近似代替
i [ xi1, xi ] ,
28
4 o .如 果 f(x )在 [a ,b ]上 可积 ， 则
b f (x)dx 某特殊积分和 的极限 . a
若 取 T:把 [a,b]n等 分 ,则 xi
xi
xi1
ba, n
取i xi ab nai, (i1,2, ,n)
则当 T 0 n ,
b
n
伽德纳
1
Archimedes
2
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形:由连续曲线
yf(x)
y f ( x) ( f ( x) 0)、
A?
x轴 与 两 条 直 线 xa、 o a
bx
x b 所围成的平面图形 .
3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
24
设一物 M以 体变v 速 v(t)作直线 , 运 求 该 物 体 a到 从时 时 b的 刻 刻运 动S.路 程
（1）分割 T : a t0 t 1 t2 tn 1 tn b
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲 边梯形面积．
4
例 如 ，y求 x2,由 直y曲 线 0,x线 0,x1所 围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
n
曲边梯形面积为
A l i m T 0 i1
f (i )xi
求曲边梯形面积所用的方法步骤：
分割、近似代替、求和、 取极限 .
23
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
第五章 定积分及其应用
本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变 上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分 法、分部积分法、广义积分。
数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大 门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理 学和社会科学。会有这样一天，经济的争执 能够用数学以一种没有争吵的方式来解决， 现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。
一 点 i （ i x i） ， 作 乘 积 f ( i ) x i( i 1 , 2 , )
n
并 作 和 Sf(i)xi，
i1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如 果 不 论 对 [a,b]
26
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上
ti ti ti1, 令 Tma t1x , t2 {, , tn}，
（2）近似代替 i [ti 1 ,ti],i 1 ,2 , ,n .
n
si v(i)ti
（3）求和 S）取极限
S
lim
T 0 i1
v(i
f (i )xi
积分和 或黎曼和
[a,b] 称为
积分下限
被
被
积
积分区间 .
积 函 数
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b]上不可积.
n
若
lim
T 0 i1
f(i )xi
不存在 则，称 f(x)在 27
注意:
1o. 定积分是积分和， 的其 极结 限果是一个数 它只与被积函 f 和 数积分区[a间 ,b]有关，而与 所用的积分变量无 的关 记 . 号
点 i怎 样 的 取 法 ， 只要当|| T || 0 时，和 S总 趋 于
确 定 的 极 限 I， 我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x )
在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分上限
n
b
a
f
( x)dx
I
lim ||T ||0
i 1
oa x1
b xi1 i x i xn1
x
以[xi1,xi]为 底f(， i)为 高 的 小 矩 形
A i f (i )xi
22
n
n
（3）求和 A Ai f(i)xi
i1
i1
（4）取极限 当分割无限加细 ,
即 Tm a x 1x , x { 2, x n} 0时 ，
)ti
25
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把区间[a, b]分成n个小区间，各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
a
f
( x)dx lim T 0 i1
f (i )xi
n
ba ba
lim f(a
i)
.
n i1
n
n
29
例1
利用定义计算定积分
1 x 2dx . 0
解 xi
T x把 i [0 x,i1 1]n等 n1， 分 ， x 取i i n i x(i i， (i1 , 1,,2n ,),, n)
即
b
f (x)dx
b
b
f (t )dt f (u)du .
a
a
a
2o.当 T 0, 分点n个 ;数 但反之 . 不
3o.若f 在[a,b]的某一个积分和 不存的 在 极 ，限
或若f 在[a,b]的某两个积分和都的存极在限但 极限值 不相等 ，则f(x)在[a,b]上不可 . 积
播放 6
曲边梯形如图所示：
（1）分割 T : a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
把 区 [a,b间 ]分n 成 个 小[x区 i1,xi间 ]， 长 度
xi xi xi1;
y
y f(x)
（2）近似代替
i [ xi1, xi ] ,
28
4 o .如 果 f(x )在 [a ,b ]上 可积 ， 则
b f (x)dx 某特殊积分和 的极限 . a
若 取 T:把 [a,b]n等 分 ,则 xi
xi
xi1
ba, n
取i xi ab nai, (i1,2, ,n)
则当 T 0 n ,
b
n
伽德纳
1
Archimedes
2
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形:由连续曲线
yf(x)
y f ( x) ( f ( x) 0)、
A?
x轴 与 两 条 直 线 xa、 o a
bx
x b 所围成的平面图形 .
3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
24
设一物 M以 体变v 速 v(t)作直线 , 运 求 该 物 体 a到 从时 时 b的 刻 刻运 动S.路 程
（1）分割 T : a t0 t 1 t2 tn 1 tn b
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲 边梯形面积．
4
例 如 ，y求 x2,由 直y曲 线 0,x线 0,x1所 围
平面图形的面积。
公元前二百 多年前的阿 基米德就已 会用此法求 出许多不规 则图形的面 积
Aera=?
阿基米德
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
n
曲边梯形面积为
A l i m T 0 i1
f (i )xi
求曲边梯形面积所用的方法步骤：
分割、近似代替、求和、 取极限 .
23
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
第五章 定积分及其应用
本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变 上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分 法、分部积分法、广义积分。
数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大 门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理 学和社会科学。会有这样一天，经济的争执 能够用数学以一种没有争吵的方式来解决， 现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。
一 点 i （ i x i） ， 作 乘 积 f ( i ) x i( i 1 , 2 , )
n
并 作 和 Sf(i)xi，
i1
记||T|| max{x1, x2 , , xn } ，如 果 不 论 对 [a,b]
26
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上
ti ti ti1, 令 Tma t1x , t2 {, , tn}，
（2）近似代替 i [ti 1 ,ti],i 1 ,2 , ,n .
n
si v(i)ti
（3）求和 S）取极限
S
lim
T 0 i1
v(i
f (i )xi
积分和 或黎曼和
[a,b] 称为
积分下限
被
被
积
积分区间 .
积 函 数
积 表
分 变
黎曼积分
达 式
量
[a , b]上不可积.
n
若
lim
T 0 i1
f(i )xi
不存在 则，称 f(x)在 27
注意:
1o. 定积分是积分和， 的其 极结 限果是一个数 它只与被积函 f 和 数积分区[a间 ,b]有关，而与 所用的积分变量无 的关 记 . 号
点 i怎 样 的 取 法 ， 只要当|| T || 0 时，和 S总 趋 于
确 定 的 极 限 I， 我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x )
在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分上限
n
b
a
f
( x)dx
I
lim ||T ||0
i 1