高中数学统计学 PPT 课件

b
P(aXb)af(x)dx
f(x)
ab
x
分布函数
• 连续型随机变量的概率也可以用分布函数 F(x)来表示
• 分布函数定义为
x
F (x ) P (X x ) f(t)d t ( x )
• 根据分布函数，P(a<X<b)可以写为
b
P (aX b ) af(x )d x F (b ) F (a )
• 将一个一般的转换为标准正态分布 • 计算概率时 ，查标准正态概率分布表
• 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到
• 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
• P (a X b) b a • P (|X| a) 2 a 1
• 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
一. 随机变量的概念 • 离散型随机变量的概率分布 • 连续型随机变量的概率分布
2.1 随机变量的概念
随机变量的概念
• 一次试验结果的数值性描述 • 一般用 X、Y、Z 来表示 • 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 • 根据取值情况的不同分为离散型随机
变量和连续型随机变量
离散型随机变量
• 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐 个列举出来 X1 , X2，…
2.3.1 均匀分布 Rectangular Distribution
均匀分布
• 若随机变量X的概率密 度函数为
f(x)
1 f (x) ba
aX b
1 ba
0 其他
称X在区间[a ,b]上均匀
a
分布

• 数学期望和方差分别为
ab
(ba)2
E(X) ; D (X)
2
12

σ2= D( X ) xi E( X )2 pi i 1
计算方差的简化公式
σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2
标准差：
σ= D(X )
离散型随机变量的方差
——实例3.2.4
【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机 变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差
解：数学期望为：E (X)i 61xipi 11 661 63.5
的概率，即
Cnx
pxqnx
xe
x!
• 实际应用中，当 P0.25，n>20，np5时， 近似效果良好
2.3 连续型随机变量的 概率分布
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
均匀分布 正态分布 指数分布 其他分布
连续型随机变量的概率分布
• 连续型随机变量可以取某一区间或整个 实数轴上的任意一个值
•f(x) = 随机变量 X 的频数 •2 = 总体方差
• =3.14159; e = 2.71828 •x = 随机变量的取值 (- < x < )
• = 总体均值
正态分布函数的性质
• 概率密度函数在x 的上方，即f (x)>0
• 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众
数
• 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值 和标准差来区分。 决定曲线的高度，决定曲线的平
方差为：D(X) 6 xi E(X)2pi i1
(13.5)21(63.5)212.9167
6
6
2.2.2 几种常见的离散型 概率分布
常见的离散型概率分布
离散型随机变 量的概率分布
二项分布 泊松分布 超几何分布
• 二项分布与贝努里试验有关
• 贝努里试验(Bernoulli trials)具有如下属性
（1）X 的均值及标准差
（2）在给定的某周一正好产5只蛋的概率
解：(1) E(X)==2.5；D(X) =,σ=2.5=1.581
(2) PX5(2.5)5e2.50.067
5!
泊松分布
——作为二项分布的近似
• 当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小
时，可用泊松分布来近似地计算二项分布
x ab
标准正态分布的重要性
• 一般的正态分布取决于均值和标准差 • 计算概率时，每一个正态分布都需要有自
己的正态概率分布表，这种表格是无穷多 的 • 若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表
标准正态分布函数
• 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
X
Z ~N(0,1)
• 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
• 标准正态分布的分布函数
x
(x)
(t)dtx
1
t2
e2dt

2
标准正态分布
一般正态分布

Z X
标准正态分布
1

x
0
Z
标准正态分布表
标准正态分布表的使用
• 它取任何一个特定的值的概率都等于0 • 不能列出每一个值及其相应的概率 • 通常研究它取某一区间值的概率 • 用数学函数的形式和分布函数的形式来
描述
概率密度函数
• 设X为一连续型随机变量，x 为任意实数， X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
(1) f (x) 0

(2) f (x)dx 1
• 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数， X 取 x 的概率为
PXxCnxpxqnx (x0,1,2,,n)
式中 Cnx： x!(nn!x)!
二项分布
• 显然， 对于P{X=x} 0， x =1,2,…,n，有
n
Cnxpxqnx (pq)2 1
x0
• 同样有
m
缓程度，即宽度
• 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，
且理论上永远不会与横轴相交 • 正态曲线下的总面积等于1 • 随机变量的概率由曲线下的面积给出
和 对正态曲线的影响
f(x) A
σ=1/2
B
σ=1
C
σ=2
x
μ1
μ2
正态分布的概率
概率是曲线下的面积! f(x)
b
P(axb)a f(x)dx?
• P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 ▪ pi0
nBaidu Nhomakorabea
▪ 0 p i 1 i 1
离散型随机变量的概率分布
——实例3.2.1
【例】规定水稻害虫危害等级,100株水稻上 如有300-500只害虫为3级，100-299为2级， 50-99为1级，小于50为无害(记为0级)。今调 查100组水稻，调查结果有30组为3级，55组2 级，10组1级，5组0级。则考察危害等级为 0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为
离散型随机变量的概率分布
0—1分布
• 一个离散型随机变量X只取两个可能的值 • 例如，合格用 1表示，不合格用0表示； 存活用 1表示，死亡用0表示
• 列出随机变量取这两个值的概率
离散型随机变量的概率分布
0—1分布实例3.2.2
【例】运输一批水产品的死亡率为p＝0.05，
存 活 率 为 q=1-p=1-0.5=0.95 。 指 定 死 亡 用 0 表
生物统计学 第五章 概率与概率分布(2)
教学内容
• 第一节 概率基础 • 第二节 随机变量及其分布
学习目标
• 了解随机事件的概念、事件的关系和运算 • 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算
法则 • 理解随机变量及其分布，计算各种分布的
概率 • 用SPSS或Excel计算分布的概率
第二节 随机变量及其分布
P0 X m Cnx pxqnx x0 n
Pm X n Cnx pxqnx xm
• 当 n = 1 时，二项分布化简为
P X x p x q 1 x 1x 0 , 1
二项分布的数学期望和方差
• 二项分布的数学期望为 E ( X ) ＝ np
• 以确定的概率取这些不同的值 • 离散型随机变量的一些例子
连续型随机变量
• 随机变量 X 取无限个值 • 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取
数轴上某一区间内的任意点 • 连续型随机变量的一些例子
2.2 离散型随机变量的 概率分布
离散型随机变量的概率分布
• 列出离散型随机变量X的所有可能取值 • 列出随机变量取这些值的概率 • 通常用下面的表格来表示
• 方差为 D ( X ) ＝ npq
【例】某农庄饲养100只家禽,其中有5只鹅，现 从中任取一只，有放回地抽样3次。求在所抽取 的3只家禽中恰好有2只鹅的概率
解：设 X 为所抽取的3只家禽中鹅的数目，则 X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
泊松分布 Poisson Distribution
• 用于描述在一指定时间范围内或在一定的 长度、面积、体积之内某一事件出现次数 的分布
• 泊松分布的例子
• 一块稻田中水稻上害虫的密度 • 一个星期内某批植物种子发芽数量 • 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数
泊松概率分布函数
P Xxxe (x0,1,2,,n)
示，存活用1表示。则任抽取一条水产品为死
亡或存活这一离散型随机变量，其概率分布
为
P(x)
1
0.5
0
1
x
离散型随机变量的概率分布
——均匀分布
• 一个离散型随机变量取各个值的概率相同 • 列出随机变量取值及其取值的概率 • 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出
现各点数的概率
离散型随机变量的概率分布
——均匀分布实例3.2.3
【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散 型随机变量，其概率分布为
P(x) 1/6
0 1 2 3 4 5 6x
2.2.1 离散型随机变量的 数学期望和方差
离散型随机变量的数学期望
• 在离散型随机变量X的一切可能取值的完 备率p组i乘中积，之各和可能取值xi与其取相对应的概
• 描述离散型随机变量取值的集中程度
• f(x)不是概率
请多加注意啊！
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数
f(x)
(值, 频数)
x
a
b
值
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数
x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
概率是曲线下的面积， 哈哈！
x!
— 给定的时间间隔、长度、面积、 体积内事件出现的平均数
e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体
积内事件出现的次数
泊松概率分布的期望和方差
• 泊松分布的数学期望为 E(X)=
• 方差为 D(X)=
泊松分布
——实例3.2.6
【例】假定某人饲养了一群鸡，母鸡在周一产蛋的 个数X服从泊松分布，假设周一产蛋的平均数为2.5 个。试求
• 计算公式为
n
E(X) xi pi i1
(X取有限个值）

E(X) xi pi i1
(X取无穷个值）
离散型随机变量的方差
• 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方 和的数学期望，记为D(X)
• 描述离散型随机变量取值的分散程度 • 计算公式为
σ2= D( X ) E[ X E( X )]2 若X是离散型随机变量，则
• 试验包含了n 个相同的试验
• 每次试验只有两个可能的结果，即“成功” 和“失败”
• 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相 同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1
• 试验是相互独立的 • 试验“成功”或“失败”可以计数
二项分布
Binomial Distribution
• 进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数 的概率分布称为二项分布
x b
2.3.2 正态分布 Normal Distribution
正态分布的重要性
• 1. 描述连续型随机变量的最重要的分布 • 2. 可用于近似离散型随机变量的分布
– 例如: 二项分布
• 3. 经典统计推断的基础
f (x)
x
概率密度函数
f(x)
1
1
x2
e22
,
x
2
分布函数与密度函数的图示
• 密度函数曲线下的面积等于1 • 分布函数是曲线下小于 x0 的面积
f(x)
F ( x0 )
x0
x
连续型随机变量的期望和方差
• 连续型随机变量的数学期望为
E(X) x(fx)dx
• 方差为
D (X ) x E (X )2f(x )d x2
P (aXb ) b a
ZX6.21050.12
一般正态分布
10
标准正态分布
1
.0478
5 6.2 x