二维电阻率成像的有限元解法

岩石力学与工程学报

CHINESE JOURNAL OF ROCK MECHANICS AND

ENGINEERING

1999年 第18卷　第3期 Vol.18　No.3 1999

二维电阻率成像的有限元解法*

底青云　王妙月

摘要　为了研究电流线追踪电阻率成像的可靠性， 首先开展了二维电阻率成像的有限元方法研究， 在传统有限元成像的基础上，做了三方面的研究工作： 一， 推导了有限元反演方程， 从理论上对比了有限元方法和电流线追踪方法获得反演系数矩阵元素的优缺点； 二， 采用分块压缩的方式求反演系数， 节省计算机内存和计算机时间； 三， 用改进的塞德尔方法快速求解反演方程。 从试算的数值模型实例来看， 结果比较可靠。

关键词　有限元， 电阻率成像

分类号　O242.1

TWO DIMENSION RESISTIVITY TOMOGRAPHY USING

THE FINITE ELEMENT METHOD

Di Qingyun　Wang Miaoyue

(Institute of Geophysics, The Chinese Academy of Sciences,　Beijing　100101) Abstract　In order to verify the reliability of resistivity tomography by tracing the electric current ray, the research of 2D resistivity tomography using the finite element method is completed. The work is done from three aspects. First, the reverse FEM equations with artificial boundary terms are derived, and their advantages and shortages are pointed out compared with the method of tracing electric current ray. Second, through solving the reversed coefficient using the method of section by section and using the sparse and symetrial property of the coefficient, the computing time and computer memory are saved. At last, the reverse equations are solved by the improved Gauss-Sadal iteration method. The results of model simulation are much reliable.

Key words　FEM, resistivity tomography

1　引　言

直流电法勘探一直是资源勘探、水文工程、地质勘察以及地下埋设物调查的一种有效方法［1,2］。反演求解中最常用的方法有一维自动反演；对于二维地电结构主要是采用有限元法、有限差分法和边界元法等技术进行模拟分析；对三维地电结构的求解

方法则较少见［3,4］。这些传统的方法主要是对地表的观测资料进行处理求解。近年来，随着高密度电法采集系统的发展，采用阵列式布极，需要发展能够对跨孔、孔～地、以及地表的观测结果进行反演求解的方法。因此，借鉴地震波和电磁波的层析成像技术，不少学者开始了对电阻率的重建成像研究，并取得了可喜的成果［5,6］。

电阻率成像兼顾了地震波和电磁波成像的优点，野外作业不但方便，而且穿透深度也较大，可产生比常规电阻率勘探方法更高的分辨率，电阻率成像对于解决识别断层、破碎带、油气层、地下水及其污染等问题非常有用。

随着高密度电阻率成像仪的引进，高密度电阻率野外观测可以顺着地形面，涉及的深度可以从米的量级直到1km的深度，采用二维电阻率有限元成像方法可以获得这个深度范围内电性细结构图像，这对解决岩土工程中的岩土力学问题及工程设计问题非常有用。

国外二维和三维电阻率成像技术［7～9］，在广义环境勘探以及地质调查的众多领域已经取得重要进展。发表的方法主要是有限元方法，电流线方法极为少见。在国内，利用直流电场的观测结果对地下电阻率结构进行成像的研究则刚刚起步。本文借鉴前人的工作经验，试图就电阻率成像问题的原理、方法及实现过程作一探讨。文中首先从方程的推导出发，给出了电阻率成像的有限元反演公式和电流线反演公式。通过对有限元成像与电流追踪成像方法的理论对比，表明两种方法各有优缺点。考虑到有限元成像国外已有比较多的文章发表，其可靠性已经得到了论证，本文重点讨论2D 有限元成像方法的实现过程。通过几个数值模拟的实例，进一步论证有限元方法的有效性及可行性，为电流线追踪等其他电阻率成像方法的可靠性研究提供了资料基础和方法对比的研究基础。

2　电阻率反演方程的推导

设2D研究区域可以分割成N个矩形网格块，每个网格块内电阻率均匀，则待求的2D研究区域内的电阻率分布是一个N维矢量ρ

设ρ0为ρ的初值，则稳定电流场中任一点R的电位U k(ρ)可以表示成ρ0点的泰勒级数，取一次项有

写成矩阵形式是

［A］δρ=δU (1)

式中：δU为一系列观测点的电位矢量与这些点初始模型为ρ0时的理论电位矢量的差

值；A是系数矩阵，它的元素是；δρ为待求的电阻率分布的修正值。一旦δρ求得，则

ρ=ρ0+δρ (2)

式(2)中的ρ即为所求的解答。

可见为了求得ρ，求得系数矩阵A是关键，电阻率反演方程的推导归结为求得可靠的。下面从二个方面阐述求解的方法，并比较它们的优缺点。

2.1　电流线方法

稳定电流场中电位分布满足

U=-ρJ　即　U=-E (3)

式中：U为电位，ρ为电阻率，J为稳定电流场的电流密度。取n0为J的方向，亦为等位面U的法线方向。沿着电流线则有

(4)

S为电流线弧长。于是在标量形式下结合式(3)，(4)成为

(5)

对于第i个网格，电阻率为ρi，δS i为第k条电流线在第i个网格内的长度，则由式(5)，