网络图论
1网络图论
§1-2 树和树余·树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G
的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。
连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。
基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。 基本回路是唯一的。
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部 分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
B [E Il ]
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
12 3
b1 b2
C1 1 0 QBT C2 0 1
C3 0 0
b3 0 0 1
b4 b5 10 1 1 01
b6 1
1 1
1
1
0 1
0
0 1 1 0 1
1 b1 1 b2
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。
连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :
图论在计算机网络中的应用
图论在计算机网络中的应用图论作为离散数学的重要分支，被广泛应用于计算机科学和网络领域。
图论通过研究图结构和图算法，可以有效地解决计算机网络中的诸多问题。
本文将探讨图论在计算机网络中的应用，并举例说明其在网络拓扑设计、路由算法和网络安全等方面的重要作用。
一、网络拓扑设计在计算机网络中，拓扑结构决定了数据传输的路径和效率。
图论提供了一种有效的方式来描述和分析网络拓扑。
通过图论，可以利用图模型来抽象网络中的节点和连接，并对网络的结构进行可视化。
基于图论理论，网络管理员可以设计出高性能和可靠性的网络拓扑。
例如，最短路径算法是图论中的一个重要概念，在网络拓扑设计中具有重要作用。
通过最短路径算法，可以寻找两个节点之间最短的通信路径，提高数据传输的效率。
此外，最小生成树算法也被广泛用于网络拓扑设计中，通过选择最小的边集将所有节点连通，以使得网络更加稳定和高效。
二、路由算法图论在计算机网络中的另一个重要应用是路由算法。
路由算法的目标是找到网络中最佳的数据传输路径，以实现高效的数据传输。
图论中的路径查找和最短路径算法为路由算法提供了理论基础和实现方式。
根据图模型建立的网络拓扑，路由算法可以通过遍历图中的路径来确定最佳路由路径。
常见的路由算法包括最短路径优先算法（例如Dijkstra算法）和距离矢量路由算法（例如RIP算法）。
这些算法利用图论的思想，解决了计算机网络中的路由选择问题，提高了网络的传输效率和稳定性。
三、网络安全图论在网络安全领域也有广泛的应用。
网络攻击和入侵检测是当今网络面临的重大挑战，图论提供了一种分析和识别网络攻击的方法。
通过建立攻击图模型，可以将网络中的各个节点和攻击路径以图的形式表示，从而更好地理解和分析潜在的威胁。
此外，图论也可用于网络拓扑的弱点分析。
通过构建拓扑结构图，可以识别网络的薄弱环节，并采取相应的安全措施。
例如，通过追踪网络中的关键节点和连接，可以有效地发现并防止任何潜在的攻击行为。
图论在网络分析中的研究进展
图论在网络分析中的研究进展在当今数字化和信息化的时代，网络已经成为人们生活和工作中不可或缺的一部分。
从社交网络到交通网络，从电力网络到通信网络，各种各样的网络无处不在。
而图论作为一门研究图的性质和关系的数学分支，为深入理解和分析这些网络提供了强大的理论工具。
本文将探讨图论在网络分析中的研究进展。
一、图论的基本概念在深入研究图论在网络分析中的应用之前，让我们先回顾一下图论的一些基本概念。
图由顶点（或节点）和边组成。
顶点代表网络中的个体或元素，边则表示顶点之间的关系或连接。
例如，在社交网络中，用户可以被视为顶点，而用户之间的好友关系则可以用边来表示。
图的性质包括顶点的度数（与该顶点相连的边的数量）、图的连通性（是否可以从一个顶点到达另一个顶点）、最短路径（两个顶点之间经过边的数量最少的路径）等。
这些基本概念为分析网络的结构和行为奠定了基础。
二、图论在社交网络分析中的应用社交网络是图论应用的一个重要领域。
通过将用户表示为顶点，用户之间的关系（如好友、关注、共同兴趣等）表示为边，可以构建出社交网络图。
利用图论的方法，可以分析社交网络的结构特征。
例如，计算顶点的度数可以了解某个用户在网络中的影响力或活跃度；发现社交网络中的社区结构（即紧密相连的子图），有助于理解用户的群体行为和兴趣分类；研究最短路径和中心性指标（如介数中心性、接近中心性等）可以找出社交网络中的关键人物或信息传播的重要路径。
此外，图论还可以用于预测社交网络中的关系形成和信息传播。
通过分析现有网络的结构和用户的行为模式，可以预测新的好友关系的建立，以及信息在网络中的扩散速度和范围。
三、图论在交通网络分析中的应用交通网络也是图论发挥重要作用的领域之一。
道路、铁路、航线等可以看作边，而城市、车站、机场等则是顶点。
通过图论的算法，可以计算交通网络中的最短路径，为出行者提供最优的路线规划。
同时，分析交通网络的连通性和可靠性对于保障交通的流畅和应对突发事件至关重要。
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
通风网络图论教案
通风网络图论教案一、教学目标1. 让学生理解通风网络图的基本概念和作用。
2. 培养学生掌握通风网络图的绘制方法和技巧。
3. 使学生能够运用通风网络图解决实际工程问题。
二、教学内容1. 通风网络图的基本概念1.1 通风网络图的定义1.2 通风网络图的类型1.3 通风网络图的特点2. 通风网络图的绘制方法2.1 节点和箭线的表示方法2.2 通风网络图的绘制步骤2.3 通风网络图的优化3. 通风网络图的应用3.1 通风网络图在工程设计中的应用3.2 通风网络图在工程管理中的应用3.3 通风网络图在其他领域的应用三、教学过程1. 导入：通过实际案例，让学生了解通风网络图在工程中的重要性。
2. 讲解：详细讲解通风网络图的基本概念、绘制方法和应用。
3. 实践：让学生动手绘制简单的通风网络图，并分析其中的问题。
4. 讨论：分组讨论通风网络图在实际工程中的应用，分享心得体会。
5. 总结：总结本节课的重点内容，布置课后作业。
四、教学评价1. 课后作业：检查学生对通风网络图的理解和应用能力。
2. 课堂练习：评估学生在课堂上的参与度和动手能力。
3. 课程报告：评估学生对通风网络图在实际工程中的应用能力。
五、教学资源1. 教材：通风网络图相关教材或参考书籍。
2. 课件：通风网络图的讲解课件。
3. 案例资料：实际工程中的通风网络图案例。
4. 绘图工具：如绘图软件或手工绘图工具。
六、教学活动设计6.1 课堂讲解：教师通过PPT或板书，详细讲解通风网络图的基本概念、绘制方法和应用案例。
6.2 学生练习：学生在课堂上跟随教师的步骤，动手绘制简单的通风网络图，并尝试分析其中的问题。
6.3 分组讨论：学生分组讨论通风网络图在实际工程中的应用，分享自己的心得体会和解决方案。
6.4 案例分析：教师提供一些实际工程中的通风网络图案例，学生分析并解释其中的问题和解决方案。
七、教学方法与策略7.1 讲授法：教师通过讲解通风网络图的基本概念、绘制方法和应用案例，传授知识给学生。
第17章 网络图论基础
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17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式
一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
Aa={aij}n b
节点数 支路数
用回路矩阵表示时
it BtTil
可见，回路矩阵和割集矩阵有 Ql BtT 的关系。
4
矩阵形式的KVL 5
QTut=u
3
1 0 0
u4
u4
2
6 1
0
0
1
1
1 0 1 1
0
1
0
1
u4 u5 u6
u4
u5 u6 u4 u5
u5
u6
u5
u6
u1
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17.1 网络的图
一、网络图论
网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几 何结构及其基本性质的理论。
研究对象 实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。
电路中的应用 应用图论的基本概念建立便于计算机识别的列写电路
方程的系统方法。
二、网络的图
网络拓扑（topological graph）: 泛指线段和点之 间的连接性质。
0.5W 3A 5W 1W
①
（2） 1 1 0 0 0 1
A 0 1
1
10
0
0 0 1 0 1 1
6
②
③
2
3
14
i1 i2 i3
i1 i2 i3
抽象
i1 i2 i3
+ 抽象
网络科学中的图论与复杂网络
网络科学中的图论与复杂网络网络科学是研究网络结构和网络行为的学科，而图论和复杂网络是网络科学中的重要分支。
图论是一门数学学科，研究图及其性质，而复杂网络则是研究由大量节点和边连接而成的网络。
本文将探讨网络科学中的图论与复杂网络，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、图论图论是研究图及其性质的数学学科。
图由节点和边组成，节点代表网络中的个体，边代表节点之间的连接。
图论主要研究图的结构、性质和算法等问题。
1. 图的基本概念在图论中，有一些基本概念需要了解。
首先是无向图和有向图。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
其次是度数，度数指的是与一个节点相连的边的数量。
还有连通性，如果在一个图中，任意两个节点之间都存在路径，则称该图是连通的。
2. 图的算法图论中有许多重要的算法，如最短路径算法、最小生成树算法和最大流算法等。
最短路径算法用于寻找两个节点之间最短的路径，最小生成树算法用于寻找一个连通图的最小生成树，最大流算法用于计算网络中最大的流量。
3. 图的应用图论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，社交网络可以用图来表示，节点代表人，边代表人与人之间的关系。
通过分析社交网络的结构，可以研究社交网络中的信息传播、影响力传播等问题。
此外，图论还可以应用于交通网络、电力网络和物流网络等领域。
二、复杂网络复杂网络是由大量节点和边连接而成的网络。
与传统的简单网络不同，复杂网络具有许多独特的性质，如小世界效应、无标度性和社区结构等。
1. 小世界效应小世界效应是指在复杂网络中，任意两个节点之间的距离很短。
也就是说，通过很少的步骤，就可以从一个节点到达另一个节点。
这一性质在社交网络中尤为明显，因为人与人之间的联系往往通过共同的朋友来实现。
2. 无标度性无标度性是指复杂网络中节点的度数呈幂律分布。
也就是说，只有少数节点具有非常高的度数，而大部分节点的度数相对较低。
这种性质在许多现实网络中都存在，如互联网、社交网络和蛋白质相互作用网络等。
网络图论
主讲 骆建
第三章 电路方程法 （网络分析的一般方法）
（电路分析方法之二）
主讲
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
骆建
1
2
第三章
网络分析的一般方法
3.1 网络图论的基本概念 3.2 有向图的矩阵表示
了解支路电流分析法 重点掌握回路（电流）分析法 重点掌握节点（电压）分析法
3.3 KCL与KVL方程的矩阵表示 3.4 支路电流分析法 3.5 节点电压分析法 3.6 回路电流分析法
6
支路j属于网孔i ，方向与i一致 支路j属于网孔i ，方向与i相反 支路j不属于网孔i
Bf = 1L F
(b-n+1) 单位矩阵 树支对应的 子矩阵
2、内网孔是一组独立回路
31 32
3-2-5 有向图矩阵间的关系 1.A与Bf（或M)的关系 要求:各矩阵序号相同的列对应同一支路 则： ABfT=0 支 节 1 A= 2 3 或
支 节 1 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1 1 1 -1 0
4 -1 0 0 1 2 0 -1 1
5 0 1 0 -1 3 0 0 1
6 1 0 -1 0 4 -1 0 0 5 6 0 1 1 0 0 -1
Aa={aij}n b
节点数 支路数
aij
Ub=AT Un
1 1 0 0 0 -1 -1 2 0 1 0 -1 -1 0 3 0 0 1 1 1 1
• 独立、完备的节点电压变量Un 。
39
u2 u4 0 u6 0 u1 = 0 u3 u5 和
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
4 保留4支路，图不连通的。
电路第十章 网络图论及网络方程
8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1
[C
f
]
0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系
Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:
Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:
Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；
电网络理论-第二章
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
电网络理论2013第二章图论
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2
1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b
u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
图论中的网络流与最小割
图论中的网络流与最小割网络流与最小割是图论中的重要概念，在许多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍网络流和最小割的概念及其在图论中的应用。
一、网络流网络流是指在一个网络图中，通过边的流动将某一资源从一个节点传输到另一个节点的过程。
在网络流中，每条边都有一个容量限制，表示通过该边的最大流量。
网络流还有两个关键概念：源点和汇点。
源点是网络中的一个节点，代表资源的起始位置；汇点是网络中的另一个节点，代表资源的目的地。
网络流可以用一个流量函数来表示，该函数将每条边上的实际流量映射成一个实数。
网络流满足以下两个性质：1. 容量限制：网络中的每条边上的流量不得超过其容量。
2. 流量守恒：除了源点和汇点外，其他节点的流入流量等于流出流量。
二、最小割最小割是指在网络图中切割源点和汇点之间的边集，使得割的容量之和达到最小。
割的容量是指割中各边容量的总和。
最小割问题可以形式化地描述为：找到一个割，使得割的容量最小。
最小割定理指出，网络中的最小割等于网络中的最大流。
也就是说，通过求解最大流问题，可以得到最小割的解。
最小割在网络设计、流量控制、通信网络等领域具有重要的应用。
三、网络流的应用网络流和最小割在图论中具有丰富的应用。
下面列举一些常见的应用场景。
1. 传输网络设计：如何设计一个传输网络，以最大限度地利用网络资源并满足流量需求，是一个典型的网络流问题。
通过求解最大流问题，可以得到传输网络的最优设计方案。
2. 电力网络优化：电力网络通常由多个发电站、输电线路和用户组成，如何使得电力从发电站到用户的传输最优，也是一个网络流问题。
通过求解最大流问题，可以得到电力网络的最优传输方案。
3. 媒体流媒体流是通过网络传输视频、音频等媒体数据的过程，如何通过网络流来优化媒体流的质量是一个重要的研究方向。
通过最大流算法，可以得到最优的媒体流传输方案。
4. 铁路调度问题：如何对一条铁路线路进行合理调度，使得列车流动顺畅并减少延误，也可以看作是一个网络流问题。
电网络 - 第一章网络理论基础(3)
全部非零大子式 2 2 （ A 的 非零大子式） ( 1 )
所有大子式
B与C 的对应大子式的乘积
②
1
①
2
5 4
④ ③
3 6
支 节 1 A= 2 3
{1，5，3，6} {2，3，6}
6
{1，2，6}
{3，4，5}
§ 1-9 图的矩阵表示及其性质
有向图拓扑性质的描述 ：
（1）关联矩阵(Incidence Matrix) （2）回路矩阵(Loop Matrix)
（3）割集矩阵(Cutset Matrix) （4）连通图的主要关联矩阵的关系
(1)关联矩阵A
•元件的图
i1 i2
1 2
1
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
•网络的图
网络拓扑 i1
连接性质 抽象
i1 i = 0
i1
i2 +
-
i3
i2
i3
支路 电路图 无 向 图
i2
i3 抽象图
抽象
抽象
L uS R1 R2 C 抽象
有 向 图
(1)图的基本概念(名词和定义)
1 2 3 7 5 6 8 4
2
3
1
7
2 8
5 9
5 回路
不是回路
(4) 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： 1)连通； •余树或补树：G中对应树T的余 2)包含G的所有节点； 子图称为余树或补树(Cotree). 3)不包含回路。
图论与网络
h
b
x
c
w
Euler型定理
定理2 设G是连通圈，则G是Euler型的充要 条件是G没有奇次数的顶点。
推论1 设G是一个连通图，则G有Euler链当 且仅当G最多有两个奇数次数的顶点。
连通性
图G称为连通的，如果在G的任意两个顶点u 和v中存在一条(u,v)路。
两点顶点u和v等价当且仅当u和v中存在一条(u,v)路。 不连通图至少有两个连通分支。 ω表示G的连通分支数。
网络规划概述
网络规划(Network Programming )是图论与 线性规划的交叉学科，具有广泛的应用背景， 比如，最短路问题、最小树问题、最大流问题、 最优匹配问题等。
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
M (G) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
d (v2 ) 3
d (v3 ) 3
0 0 0 1 1 2 0 d (v4 ) 4
2 22 2 222
4+3+3+4=14=2×7
e1
v1
e2
v2
e5
e7
e3
e6
v4
e4
v3
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元 素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所 有顶点的度之和，又等于边数的2倍。
定理 设G是一个图，则
d(v) 2
vV (G)
电路分析基础[第九章网络图论基础]课程复习
![电路分析基础[第九章网络图论基础]课程复习](https://img.taocdn.com/s3/m/d71478731711cc7931b71609.png)
第九章网络图论基础9．2．1 网络图论的基本概念(1)图：由“点(节点)”和“线(支路)”组成的图形称为图，通常用符号G 来表示。
(2)子图：图的一部分(允许孤立的节点，不允许孤立的支路)。
(3)有向图：若图G的每条支路都标有一个方向，则称为有向图，否则称为无向图。
(4)连通图：若图中的任意两个节点之间均至少存在一条由支路构成的路径，则称为连通图，否则称为非连通图，孤立的节点也是连通图。
(5)数、树枝、连枝：不包含回路，但包含图的所有节点的连通的子图为树；组成树的支路为树枝；其余支路为连枝。
(6)回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。
(7)基本回路：只含一个连枝的回路，也称单连枝回路。
(8)割集：割集是一组支路的集合，如果把这些支路全部移走(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分，而少移去任一条支路，图仍是连通的。
(9)基本割集：只含一个树枝的割集，也称单树枝割集。
9．2．2 图的矩阵表示图的支路与节点、支路与回路、支路与割集的关联性质均可以用相应的矩阵来描述。
一、关联矩阵A关联矩阵A又称为节点支路关联矩阵，它反映的是节点与支路的关联情况。
设一有向图的节点数为n，支路数为b，则节点与支路的关联情况可以用一个n×b的矩阵来表示，记为Aa ，称为图的增广关联矩阵，Aa的每一行对应一个节点，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素aij定义为：由于Aa 的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出，因此，若由矩阵Aa中任意划出一行，剩下的(n-1)×b阶矩阵称为降阶关联矩阵，用A表示，又称为关联矩阵。
被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。
二、回路矩阵B对于任一个具有n个节点，b条支路、c个回路的有向图，回路与支路的关联情况可以用一个(c×b)阶矩阵来描述，记为Ba ，Ba的每一行对应一个回路，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素bij定义为：若从矩阵Ba中取出独立回路所组成的(b-n+1)×b阶矩阵称为独立回路矩阵，简称回路矩阵。
08版电路基础第10章 网络图论与网络方程
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
基本回路：单连支回路
基本回路的方向 ：单连支方向 注：利用回路法求解电路时， 可选基本回路作为独立回路
②
任意两个节点间至少有一条路经
图G1中所有的支路和节点都在图G中 每个支路都表示该支路电流的方向
② ③ ① ④
①
③
④
② ③ ① ④
② ③
①
④
4、标准支路
Ik
Uk
4、标准支路
Ik
Uk
二、树、回路、割集 1、树（Tree): 连通图G的一个 子图，满足： 1）含有G全部节点
2）连通图
二、回路关联矩阵B
1、回路关联矩阵B 行：代表回路序号 列：代表支路序号 矩阵元素取值:
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 B 0 0 1 1 0 1
1 2
1 ——同向关联：支路j与回路i关 联,支路j方向与回路i方向一致。 ——反向关联：支路j与回路i关 bij 1 联,支路j方向与回路i方向相反。 0 ——无关联：支路j与回路i
第十章 网络图论及网络方程
网络分析主要问题： 1）选择独立变量 ——拓扑学理论
2）列写网络方程 ——矩阵代数方程 3）网络方程求解 ——计算机应用
10-1 基本定义和概念
一、网络拓扑图
1、支路(Branch)： 将每个元件用线段表 示，每条线段称为支路。
社交网络分析中的图论算法
社交网络分析中的图论算法社交网络的崛起，给人们的日常生活带来了极大的变化。
它让人们能够迅速地建立联系、分享信息和交换意见。
对于这些社交网络平台而言，数据分析已经成为了一个非常重要的话题。
这就是为什么图论算法如今成为了社交网络分析中的一个重要工具之一。
什么是图论算法？图论算法是一种数学算法，主要用于解决与图相关的问题。
图是由节点和边构成的数学结构，节点代表不同的对象，而边代表节点之间的关系。
在社交网络中，节点可以代表用户，边则代表他们之间的关系。
在社交网络分析中，图论算法通常用于探索不同的信息。
其中，一些算法强调社区检测，这意味着算法可以用来查找网络中不同的社区，而其他算法则可以用来帮助预测某些节点之间的关系。
常见的图论算法在社交网络分析中，以下算法是最常见的：1. 最短路径算法：最短路径算法可以帮助我们在图中找到两个节点之间最短的路径。
这对于研究社交网络中的用户之间的关系非常有用。
2. 中心性算法：中心性算法可以帮助我们查找网络中最重要的节点。
这些节点通常具有许多连接，且在网络中起着重要作用。
3. 社区检测算法：这类算法可以帮助我们在网络中查找不同的社区。
这些社区通常由相似的节点组成，这意味着他们分享着共同的特征（如兴趣、文化等等）。
4. 预测算法：这类算法可以帮助我们预测节点之间的连线，还能让我们了解某些节点之间发生联系的可能性。
这对于社交网络营销等领域非常有用。
将图论算法应用于社交网络分析中将图论算法应用到社交网络分析中会产生什么效果呢？以下是几个例子：1. 社区检测：通过社区检测算法，我们可以确定哪些用户具有相似的兴趣和文化背景。
这些信息可以帮助营销人员了解目标受众群体，并为其推荐产品。
2. 预测节点之间的连接：如果我们能够预测某些节点之间的连线，我们就可以预测用户会对哪些内容感兴趣并通过聚类算法优化用户体验，详情请了解用户聚类算法（User Clustering）。
3. 引导用户：通过链接分析算法，我们可以确定哪些用户是社交网络中最有影响力的用户。
图论中网络可达性的判定算法
图论中网络可达性的判定算法图论是研究图的性质和图的相关问题的一门学科。
在图论中，网络可达性是一个重要的概念。
网络可达性指的是在网络中，从一个节点到达另一个节点是否存在路径。
网络可达性的判定算法能够帮助我们确定一个节点是否可以通过网络到达另一个节点，为网络设计和优化提供了重要的理论支持。
本文将介绍几种常用的图论中网络可达性的判定算法。
一、深度优先搜索算法（DFS）深度优先搜索算法是图论中常用的算法之一，用于遍历图的所有节点。
在网络可达性的判定中，深度优先搜索算法可以通过递归或栈结构实现。
该算法从初始节点开始，一直向前搜索直到无法继续为止。
如果搜索过程中能够找到目标节点，则说明网络存在可达路径；反之，网络不存在可达路径。
深度优先搜索算法的优点是实现简单，但缺点是当图非常大时，可能会占用较多的内存空间。
二、广度优先搜索算法（BFS）广度优先搜索算法也是图论中常用的算法之一，与深度优先搜索算法类似，用于遍历图的所有节点。
不同之处在于广度优先搜索算法使用队列结构，每次从队列的头部取出一个节点进行搜索。
该算法从初始节点开始，逐层搜索直到找到目标节点或遍历完所有节点。
如果能够找到目标节点，则说明网络存在可达路径；反之，网络不存在可达路径。
广度优先搜索算法的优点是找到的路径一定是最短路径，但缺点是实现相对复杂。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算带权重的图的所有节点之间的最短路径。
该算法通过更新一个二维矩阵，记录任意两个节点之间的最短路径长度。
具体步骤如下：1. 初始化矩阵，对角线上的元素为0，其他元素为无穷大；2. 通过遍历所有节点，更新矩阵中的元素，找到更短的路径；3. 重复步骤2，直到更新完所有节点的路径。
最终，可以通过检查矩阵中的元素是否为无穷大来判断网络中是否存在可达路径。
四、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于计算带权重的图的单源最短路径。
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基本回路是唯一的。
§1-3 割 集
割集(cut set) ：
任一连通图G中，符合下列两个条件的支路集叫做图G 的割集。 (1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原连通图留下的图形将是两个彼此分离而 又各自连通的子图； (2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连通的。
Q [ I n F ]
§1-7 基本回路矩阵
基本回路矩阵(fundamental loop matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6 1 1 1 0 1 0 0 B 2 0 1 1 0 1 0 3 1 1 1 0 0 1
B [E I l ]
§1-5 关联矩阵
节点-支路关联矩阵(node-to-branch incidence matrix)
b1
b2
b3
b4
b5
① 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 ② Aa ③ 0 0 0 1 1 ④ 1 0 1 0 1
若以节点④为参考节点
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。 回路 (loop): 如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。 连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :
在图G中，如果任意两个节点之间至少有一条路径存 在，则此图称为连通图，否则就称为非连通图。
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
1
b1 b2 b3 b4 C1 QB T C2 C3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0
2
3
1 0 1 b1 b5 b6 1 1 1 b2 0 1 0 1 1 b3 1 1 1 0 0 b4 1 1 0 1 0 b5 0 0 1 b6
§1-2 树和树余· 树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G 的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。 连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。 基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。
T
T
E F 0
T
F E
T
E F
T
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。 (1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以保 留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
Байду номын сангаас
对于具有nt个节点、b条支路、s个分离部分的非连通图， 在每一分离部分中选一树，则总树支数(即基本割集数) 为nt-s，总连支数(即基本回路数)为b-(nt-s)=b-nt+s。
平面图(planar graph)：
凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条支路在一 个非节点处交叉的图，称为平面图。 一个平面图的网孔数m等于图的基本回路数l 。
第一章 网络图论
本章主要介绍网络图论的基本知识
§1-1 网络的图
线形图 ：
将网络中的每一个元件(即支路)用一条线段代替，称之为支 路；将每一个元件的端点或若干个元件相联接的点(即节点) 用一个圆点表示，并称之为节点。如此得到的一个点、线 的集合，称为网络N的图，或线形图，用符号G代表。
网络的图只表明网络中各支路的联接情况，而不涉及 元件的性质。
0 (1) 1 0 (1) 1 (1) 1 1 (1) (1) 1 0 0 (1) 1 1 (1) 0
0 0 0 0 0 0 0
QB 0
T
BQ 0
T
E [ I n F ] [ E Il ] [ I n F ] [ ]0 Il
有向图 ：
标明各支路参考方向的图称为有向图。 子图(subgraph) ：
如果图Ga中的每一个节点和支路都是图G中的节点和支 路，即图Ga是图G的一部分，则Ga叫做G的子图。 补图（complement subgraph）：
如果图G的子图Ga和Gb包含了G的所有支路和节点， 而且Ga和Gb又没有公共的支路，则Ga和Gb互为补图。
1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 A 0 0 0 1 1
§1-6 基本割集矩阵
基本割集矩阵(fundamental cutset matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6 C1 1 0 0 1 0 1 Q C2 0 1 0 1 1 1 C3 0 0 1 0 1 1
§1-4 图的基本回路数和基本割集数
一个节点数为nt=n+1支路数为b的连通图G，无论如 何选树，恒具有n个基本割集和b-n个基本回路。 把n+1个节点全部连通以构成一种树时，至少需要n 条支路。若支路数多于n，则必形成回路，而不成其 为树。因为基本割集数等于树支数，所以，具有 nt=n+1个节点的图G，恒具有n个基本割集。 连支数等于全部支路数b减去树支数n，因基本回路的 数目等于连支数，所以，具有nt=n+1个节点、b条支 路的图G，恒具有(b-n)个基本回路。