人教A版高中数学必修四课件平面向量

答案：λ=－1，μ=0
(四)数量积
1、平面向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义：
等于a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律:（1） ab ba O
∴ a 7 同理可得
b 7
4、设e1, e2为两个单位向量， 且夹角为60o， 若a 2e1 e2,b 3e1 2e2， 求a与b的夹角.
a b 2e1 e2 3e1 2e2

2
6e1 cos
e1 e 2
ab


2
7
2
e2
6，| b
|
8，| a

b
|
10，则
|
a

b
|—
—
—
B
—
3、已知 a （1，2），b （ 3，2），当 k 为何值时， （1）ka b与a 3b 垂直？ （2）ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是 同向还是反向？
4、设e1, e2为两个单位向量， 且夹角为60o，
其实质就是向量的伸长或缩短！
坐标运算： 若a=(x,y),则λa=
λ(x,y)
=(λx,λy)
非零向量平行（共线）的充要条件
向量表示： a∥b
a=λb（λ∈R且b≠0）
坐标表示： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则
a∥b
x1y2－x2y1=0
平面向量复习
平面向量的基本定理
设e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面
例3
求证：A、B、D三点共线。 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到
λ
解： ∵BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=a+5b
∴AB=2BD
AB∥BD
且AB与BD有公共点B
∴A、B、D三点共线
平面向量小复习
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c=（－10） 求λ和μ，使c=λa+μb.
2
2
2
2
；ab ab a b a b
a b
2

2
a

2a b b2
2
a
2a b
2
b
;
练习
1、根据图示，在下列横线上填上适当的向量
D
（1）AB ——— DB DC
C
（2）AB ——— DC DA
A
2、已知
|
a
|
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
（3）（a b）c a c b c
四、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）a // b b a（a 0） 向量表示
内的任何一个向量a，有且只有一对实数λ 1、λ 2使 a=λ 1e1+λ 2e2
不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底
向量相等的充要条件
λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2
λ1=λ2 μ1=μ2
例2已知a=(1,2),b=(－3,2),当k为何值时,ka+b与 a－3b平行?平行时它们是同向还是反向?
D 其中正确的有( )
A.(1), (2) B.(2), (3) C.(3), (4) D.(2), (4)
例2.已知 a 4, b 3
(1)若a与b的夹角是600，求(a 2b) (a 3b) a 2b 呢? a 3b 呢? (a 2b)(a 3b)呢?
(2)若(2a 3b) (2a b) 61,求a与b 的夹角
例1化简（1）（AB+MB）+BO+OM （2）AB+DA+BD－BC－CA 分析 利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0 进行变形.
解：（1） 原式= AB+（BO+OM+MB） =AB+0 =AB
（2） 原式= AB+BD+DA－（BC+CA） =0－BA=AB
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
向量的表示
几何表示 :有向线段
字母表示 : a 、AB 等
坐标表示 :(x，y)
若A(x1,y1),B(x2,y2) 则AB= (x2－x1,y2－y1)
平面向量复习
向量的模（长度）
1.设a=(x,y),
则 a x2 y2
2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则
2
2
∴又
m
×n
=
|m
×||n|cosπ 3
=
cosπ 3
=
且c为△ABC-内角∴C=
1 2
1
∴cosC=

2
3
→
→
→→
→
→
例3、已知 a = 2, b = 1,a 与 b 的夹角为π3 ，求向量2 a+ 3 b
→→
与3 a- b 的夹角的余弦值;

2

a
3

b

2

2
4a

2
12 a b 9 b
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m. 答案：m=±12
三、向量的运算
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则：AB BC AC a + b
平行四边形法则：
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，yA2） a
可以考虑两向量垂直的充要条件的应用， 也可考虑面图形的几OA何O性B 质，下面给 出此题的三种证法OC: BA
证O法A一O：B (根据平面图形的几何性质) 设＝a，＝b，
证法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜
∴(a+b)2=(ab)2∴a2+b(m2+ 2p)2a·(bn =qa)2 2+b2-2a·b
（2）b
//
a

x1 y2

x2
y1

0
，其中a
（x1，y1），b
（x2，y
）
2
坐标表示
六、向量的长度
2
（1） a a | a |2 ， | a | a
（2）设 a （x，y），则 | a | x2 y 2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 | AB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
分析：对于线段的垂直，可以联想到 两个向量AC垂直AB的充AD要条BD件，A而B 对A于D 这 一AC条件B的D应用A，B可A以D考虑向AB量式A的D 形 式，也|可AD以|2考 | 虑AB坐|2 标形式的充要条件。
证法AC一：B∵D＝＋， ＝－，
证法来自百度文库：以OC所在直线为x轴，以B为原 点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a， b)，ACC B（C cB，A 0）
答案：（1）AB=（－3，4），AC=（－4，－4）
（2）AB+AC=（－7，0） （3）AB－AC=（1，8）
实数λ与向量a的积
定义： λa是一个 向量.
它的长度|λa|= |λ||a|；
它的方向 (1)当λ>0时,λa的方向 与a方向相同；
(2)当λ＜0时,λa的方向 与a方向相反.
(3)λ=0呢?
例3.已知 a 4, b 3, a与b的夹角为120,
且c a 2b, d 2a kb,问k为何值时
(1) c d
(2) c∥ d
(3)c与d的夹角为锐角 ?
注 : a b 0不能保证向量a与b的夹角为锐角.
还要考虑向量 a与b同向的情况!
例4已知：如图所示，ABCD是菱形， AC和BD是它的两条对角线。求证： AC⊥BD
a b c a c b c c a b
特别注意：
（1）结合律不成立：a； b c a b c
（2）消去律不成立不a 能b 得 a到 c
b c
（3）a=0b不能得到=或=a 0 b 0
(4)但是乘法公式成立：
分析 先求出向量ka+b和a－3b的坐标，再根据向量平行 充要条件的坐标表示,得到关于k方程,解出k,最后 它们的判断方向.
解:ka+b=k(1,2)+(－3,2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1,2)－3(－3,2)= (10,－4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
七、向量的夹角
cos a b
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
向量数量积的运算律
①交换律成立：a b b a
②对实数的结合律成立：
a b a b a b R
③分配律成立：
例1.设a, b, c是任意的非零平面向量 且它们相互不共线，有下列命题
(1)(a b) c (c a) b 0 (2) a b a b
(3)(b c) a (c a) b不与c垂直
2
2
(4)(3a 2b) (3a 2b) 9 a 4 b
则由｜AB｜＝｜BC｜得a2+b2=c2 ∵B＝D（ BcC，0B）A －（AaC，bB)D＝（c－a，－
b）AC， B＝D （a，b）＋（c，0）＝（c ＋a，b）
· ∴ ＝c2-a2-b2＝0
∴⊥，即AC⊥BD
例5若非零向量a和b满足｜a＋b｜＝｜a －b｜,
证明：a⊥b
分析：此题在综合学习向量知识之后， 解OA决途径O较B多，

2
1

7 2
ab 7 7 2
∴θ=120°
5.在△ABC中m = (cosC ,sin C ),n = (cosC ,- sin C )
2
2
2
2
（1）解∵
m
且m ×n夹角为π , 3
求C；
= (cosc ,sin c),n = (cosc ,- sin c)
22
2
2
∴m ×n = cos2 c - sin 2 c = cosC
练习2如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、 AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.
答案： AD=2b BE=2c BF=c－a FC=2a
思考：a、b、c有何关系？
A
B
C
b=a+c
F E
D
平面向量小复习
练习3 已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5）求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3）AB－AC的坐标.
高中数学课件
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平面向量复习
学校： 教师：
表示 运算
平面向量复习
向量的三种表示
向量加法与减法
三角形法则 平行四边形法则
实数与向量的积
向量平行的充要条件 平面向量的基本定理
向量的数量积
向既量有定大义小：又有方向的量叫向量。 （重1要）概零念向：量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量： 长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也反叫 的共 非线 零向 向量 量，. 方向相同或相 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
∴a·b＝0 (m， p即)2 a(n⊥ q)b2
证法三：设a＝（ｍ，ｎ），b＝
若a 2e1 e2,b 3e1 2e2， 求a与b的夹角.
2
2
2
解：∵ a = 2e1 + e2 = 2e1 + e2
= 4e1 2 + 4e1 e 2 + e 2 2
2
2
= 4 e1 + e2 + 4 e1 × e2 ×cos60°
= 4×1+ 4×1×1×1 + 1 = 7 2
K=－ 1
3
∵ka+b=
10 3
,
4 3

=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向 思考:此题还有没有其它解法?
练习4 n为何值时,向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且 方向相同?
答案：n=2
思考:何时n=±2?
平面向量复习
设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，
37

2a 3b

37



3

a

b

2

9a
2

6 a b

b
2
31

2a 3b

31;



2

a
3

b

3

a

b



6a
2

7 a b 3 b
2

28



cos 28 28 1147
3137
1147
典例讲解
则 a b （x1 x2，y1 y2）
D
（二）向量的减法
b a +b
1、作图 平行四边形法则：
Aa
AB AD DB
2、坐标运算：
设a
（x1，y1），b
（x
2，y
）
2
则
a

b
（x1

x2，y1

y
）
2
C
b
B
C
B
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a O
B A
2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)