提升小波变换及其在图像处理中的应用

0引言

小波变换是20世纪80年代后期发展起来的应用数学分支，并在近些年里得到了快速的发展。由于它具有良好的时频局部特性和多分辨分析特性，因此成为当前信号研究的主要方向之一，尤其在图像处理方面得到了广泛应用。但在实际应用过程中，由于计算机的计算精度是有限的，所以经过小波变换后的图像会产生部分的信息损失。1994年Sweldens 等学者提出了一种新的小波构造方法——“提升”格式。这给使用小波变换进行图像处理提供了一种新的思路。为和以往的小波变换相区别，这种基于提升格式构造的小波变换被称为“第二代小波变换”。所以本文尝试使用这种新的小波变换方法，结合图像处理中会遇到的一些实际问题，对提升小波变换在图像中的一些比较重要的应用分别做了详细的介绍。

1提升小波变换的基本原理

第一代小波的研究工具主要是傅立叶分析，即从频域来

分析问题。在实际应用中，传统小波变换的实现是通过卷积完成的，它计算复杂，运算速度慢，对内存的需求量较大，不适于实时实现。信号经过传统小波变换后产生的是浮点数，由于计算机有限字长的影响，往往不能精确的重构原始信号。

而且传统小波对原始图像的尺寸有严格的要求，一般要求图像的长和宽都必须是2的整数次幂的倍数。而提升小波则直接在时(空)域分析问题，使问题变得更加简单，并且可以将所有传统小波都通过提升方法构造出来。基于提升方法的小波变换既保持了传统小波的时频局部化等特性，又克服了它的局限性。提升算法给出了双正交小波简单而有效的构造方法，它使用了基本的多项式插补来获取信号的高频分量

(

系数)。提升

算法的基本思想在于通过一个基本小波，逐步构建出一个更具有良好性质的新小波，这就是提升的基本含义。一个标准的提升算法包含3个步骤：分裂；预测；修正。它的实现步骤如图1所示。

由于数据之间有某种相关性，可以将它用更为紧凑的格式来表示，也就是说，寻找原数据列的一个子集，使它能够表示原始信号所包含的信息。下面按照提升小波的分解和重构

收稿日期：2006-04-17E-mail ：sohugaosw@

作者简介：高世伟(1980－)，男，湖南岳阳人，博士研究生，研究方向为小波变换、图像处理、目标识别；郭雷(1956－)，男，教授，博士生导师，研究方向为神经计算理论、图像处理、计算机视觉技术；杜亚琴(1972－)，女，博士研究生，研究方向为图像处理、目标识别；杨宁(1977－)，女，博士研究生，研究方向为图像处理；陈亮(1980－)，男，博士研究生，研究方向为图像处理、目标识别。

提升小波变换及其在图像处理中的应用

高世伟，郭

雷，杜亚琴，杨宁，陈亮

(西北工业大学自动化学院，陕西西安710072)

摘

要：提升算法是一种新的双正交小波构造方法，此方法大大降低了计算的复杂程度，因此该算法可以有效地减少程序运行时间。详细说明了提升算法的原理及实现步骤，并结合该算法介绍了它在图像处理中的一些应用。实验表明基于提升算法设计的图像处理系统有很好的性能。

关键词：小波变换;提升算法;图像去噪;图像压缩;图像融合中图法分类号：TP391.41

文献标识码：A

文章编号：1000-7024(2007)09-2066-04

Lifting wavelet transform and its application in image processing

GAO Shi-wei,

GUO Lei,

DU Ya-qin,

YANG Ning,

CHEN Liang

(College of Automation,Northwestern Ploytechnical University,Xi'an 710072,China )

Abstract ：Lifting Scheme is a new method to construct biorthogonal wavelet,this method decrease complexity of count greatly,and reduce runtime effectively.The basic principle of lifting scheme is explained in detail,and some applications in image processing using this scheme are introduced.Experimental results indicate that image processing systems designed based on lifting scheme have good per-formance.

Key words ：wavelet transform;lifting scheme;image denoising;image compress;image fusion

2007年5月计算机工程与设计

May 2007

第28卷第9期Vol.28

No.9

Computer Engineering and Design

图1

提升算法的实现步骤

分裂预测

修正

两部分分别进行讨论。

1.1

提升小波的分解(1)分裂：(又称惰性小波变换)它是将数据列

=

;=

+

1

;

(2)预测：利用数据间的相关性，

用

无关的预测算子使得：。

由于可以用

。则此时的小波系数

引入的

误差。此时，已经可以用较小的数据序列

更为紧凑的表示。可以对这个算法

进行周期重复。例如，将

之间的差值来代替

步，就可以用小波表

示{

,,

,,

£¬

ÀýÈçƽ¾ùÖµ£¬

具有相同的值：

=

²¢

½ø

ÐÐ

Èç

ÏÂ

µÄ

¸ü

ÐÂ

£º

。

重复这个算法，对低频分量递归的进行提升小波分解，创建了多分辨分解的多级变换，

从而得到了以下的小波变换公式

=

由此，得到了提升算法的有效的实现步骤，如图2所示。即任何有限长的滤波器都可以从基本小波开始，通过有限数目的预测和更新步骤得到。实现提升算法的关键是寻找合理的预测函数和更新函数。在实际中，我们往往知道的是小波滤波器的系数，下面将给出如何从小波滤波器的系数而得到小波变换的提升表示。

1.2提升小波重构

对于提升算法，如果得到了前向变换，就可以立即得到逆

向变换，需要做的只是改变加减的符号，这是提升算法的一个很优良的特性。如图3所示，它是分解的3个步骤倒过来。

重复这个过程，

从而得到了以下的逆向小波变换公式

＝

＋

实现提升方法的关键是寻找合理的预测算子和修正算子，Daubechies 和Sweldens 证明了：任意具有有限长滤波器的离散小波变换都可以通过对它的多相矩阵进行因式分解化为有限的提升步骤来解决。这里还要说明的是提升方案中的预测和更新算子不仅可以是线性的，也可以是非线性的。

2

提升小波变换在图像处理中的一些实际应用

2.1

图像去噪

降噪是信号处理领域的重要课题，图像的去噪是图像处

理中的一项重要内容。传统的线性滤波方法存在着保护信号局部特征与抑制噪声之间的矛盾。它是将被噪声干扰的信号通过一个滤波器，滤掉噪声频率成份，但对于脉冲信号、白噪声、非平稳过程信号等，传统方法存在一定的局限性。对这类信号，在低信噪比情况下，信号的信噪比无法得到较大改善。Donoho 等人提出的基于阈值决策的小波域去噪方法被证明是十分有效的信号去噪方法。这里我们从提升格式的结构出发，通过引入约束条件将它同软阈值消噪相结合，得到了完全自适应的消噪方法，通过这种方法PSNR (power signal-to-noise ra-tio )得到明显提高。

一般来说，图像本身是很平滑的或者是高相关的，那么小波分解格式将使图像处理十分有效。然而，在大部分图像中都常常是极度不连续、不平滑的。图像的这种不连续性区域就不能用平滑基函数很好地表达出来。解决这个问题的方法之一是引入自适应。下面采用一种基于提升格式的自适应算法。这种方法是对更新算子进行修正，在修正过程中引入自适应，

也就是说根据信号的局部信息选择更新算子

和局部信息有关，

引人一个新的更新算子

，

处决定的函数值。这里假定，对任意

的

×

，

使得自适应算法如下

,

1

>0,

,

1

<0,

,0

其它

式中：

=｛1,0,1｝，

取

＝０

通过这样的自适应来确定更新算子，

因为仅由

确定，

而细节信号在提升的过程中保持不变，所以是可逆的。并且根据信号(图像)局部信息对逼近信号进行了调整，其实质是使信号中保持了突变点，进而增强了对比。用Daubechies 双正交小波门限法和这里介绍的自适应提升小波域值法进行信号去噪时，当达到近似相同的信噪比和均方差时，用提升小波去

图2小波变换的提升表示

分解

预测

修正

预测修正

1

…

…

图3逆向小波变换的提升实现

预测

修正