十大模板方法解决所有排列组合问题(解析版)

十大模板方法解决所有排列组合问题

一．题型

（一）至少变恰好（二）插空法（三）特殊元素优先（四）捆绑法（五）不在问题的间接法 （六）走街道问题（七）隔板法（八）回归原始的方法（九）涂色（十）平均分堆与不平均分堆 二．【题型方法归纳】 （一）至少变恰好

例1.某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144

【答案】D

【解析】根据题意，分3步进行分析：

①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，

③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1

2

2C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案； 故选：D ．

练习1. 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84 B ．48 C ．36 D ．28

【答案】A

【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有

11

428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分

配方案总数共有3

31484A =,故选A.

（二）插空法

例2.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）

A ．542

4A A ⋅ B ．542

4C C ⋅ C ．42

67A A ⋅ D ．42

67C C ⋅

【答案】A

【解析】先排4个商业广告，有4

4A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广

告，有2

5A 种排法，根据分步计数原理，所以共有542

4A A ⋅种排法.

故选：A.

练习1.．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．32 D ．64

【答案】B

【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列3

3A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列3

3A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列3

3A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列3

3A ，

总上可知，共有不同的排列法3

3424A ⨯=种结果．

所以选B

（三）特殊元素优先

例4. 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．24

【答案】B

【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：12

22C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：12

22C A 4=种，则一共有：8种.

故选：B.

（四）捆绑法

例4. 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种

【答案】D

【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法， 第二步，丙、丁内部排列用2

2A 种方法，

第三步，其他三人共3

3A 种方法，共2

3

234A A 42648=⨯⨯=种方法；

第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共2

3

233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=. 故选D.

练习1．某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种 B ．156种 C ．188种 D ．240种

【答案】A

【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，

将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25

252120240A A =⨯=，

利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有240

1202

=种，故选：A.

（五）不在问题的间接法

例5.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．

320

B ．

313

C ．

79

D ．

1778