数值分析插值拟合

题库分类 填空题

1. 绪论部分

(1). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =y x -

, 请

给出一个精度较高的算式u = . u=

y

x y x +-

(2). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,

令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误差限的估计式为:

| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2| (3). 要使20的近似值的相对误差限

0.1%, 应

至少取_______位有效数字？

20＝0.4…10, a 1=4,

r

1

21a 10-(n-1)<

0.1%

故可取n

4, 即4位有效数字。

(4). 要使17的近似值的相对误差限

0.1%, 应

至少取_________位有效数字？

17＝0.4…10, a 1=4,

r

1

21a 10-(n-1)<

0.1%

故可取n

3.097, 即4位有效数字。

(5). 对于积分I n =e

-1

⎰

1

x n e x dx 试给出一种数值稳

定的递推公式_________。

I n -1=(1-I n )/n , I n 0 易知 I 0=1-e -1 I n =1-nI n -1 故I n -1=(1-I n )/n 0

选择填空

(6). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算

式，那个得到的结果最好？(C) (A)

6

121)

(-, (B) (3-22)2,

(C)

3

2231

)

(+, (D) 99-702

2. 方程的根

(1). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，

取初值x 0= 1.5, 则x 1= (3) x 1=1.5970149

(2). 迭代公式x k +1=x k (x k 2+3a )/(3x k 2+a )是求a 1/2的

(12) 阶方法 (3).

3. 方程组直接解法

4. 迭代解法

(1). 设线性方程组的系数矩阵为

A =⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-6847153131483412,全主元消元法的第一次

可选的主元素为 (13) ，第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小数表示) (16) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为B G =(a ij )44，则a 23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5；

第 1 章 插值

§1. 填空

(1). 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的

5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是 ______ 。 y =x 2-3x +1

(2). 设x 0, x 1,x 3是区间[a , b ]上的互异节点，f (x )在[a ,

b ]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： ______ .

R 2(x )= )(!3)(2

)3(k k x x f -∏=ξ

(3). 设

)

())(()()())(()()(110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=

+-+-ΛΛΛΛ (i =0,1,…,n )，则∑=n k k k x l x 0

)(＝ ______ , 这里（x i x j ,i j , n 2）。 x

(4). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的

区别是_____

三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。

(5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某

个函数f (x )的一种逼近，二者的侧重点分别为 ________ 。

用1n +个作不超过n 次的多项值插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插

值方法所得多项式 相等 (相等, 不

相等) (6).

§2. 计算题

(1). (a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次

的x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3

解：基函数分别为

l 0(x)=-

81x 3+87x 2-47

x+1 l 1(x)=x x x 3823123+-

l 2(x)=x x x -+-234

5

41

l 2(x)=x x x 1218124123+-

Lagrange 插值多项式 L 3(x)=

∑

=n

k k k x l x f 0

)()(=12

144541123+-+-

x x x . (2). (b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)

构造的3次插值多项式P 3(x)的x 3的系数为6，试确定数据y.

解：P 3(x)＝∑=n

k k k x l x f 0

)()(

故最高次项系数为

)

)()(()

()

)()(()

())()(()

()

)()(()

(2313033321202231210113020100x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x f ---+

+---++---++

---

带入数值解得y=4.25.

(3). (c15分)设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的

Lagrange 插值基函数，证明

⎪⎩⎪

⎨⎧+=-===∑=1

11,2,..., 0,0 10100n j x x x n j j l x n n

n

k k j k ...)(,)( 证明： 1110

1)()!

()

()()()(x w n f x l x x f n n k n

k n k ++=+++=∑

ξ

其中，w n +1(x )=

∏=-n j j x

x 0

)(