习题解答_现控理论_第2章

2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出

量。试列写状态空间模型。

题图2-1

解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

()()()

1()()()()()

i L C L C R C C d U t L

i t U t dt

d i t i t i t C

U t U t dt R

=+=+=+

(2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0

时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C

(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有

12212

1111i

dx x U dt L L dx x x dt

C RC

=-+

=-

经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程

11i 22110

110x

x L U L x

x C

RC ??

-

??

????????=+????????

-????????

????

(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

12211

10C x y U x x R R R ??

??=

=

=????????

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

2 11i 2212110

11010

x

x L U L x

x C R C x y x R ??

-

??

????????=+????????

-????????????

???

?=?????

???

2-2 如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中1()v t 为输入电压,2()v t 为输出电压。试列写状态空间模型。

题图2-2

解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

1121d d d d d d d d C L L C C C L

u i L R i C u t t u u u R C R i

C t t ???

+-=?

???

?

?

???+=- ?

???

?

(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分

方程组--状态方程

12

1

121211122112121()()1

0()()R R R R R L R R L x

x u L x x R R R C

R R C --??

??

??++????

???

?

=+???????

?-???????

?

++??

(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

()1121

2111221212d d ()

()C L x u R R R y u R i C R x C x x t R R R R ????

?

?==-=-=????

?

++????

??

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

3

12

1

12121112211212112

1

212121()()1

0()()()

()R R R R R L R R L x

x u L x x R R R C R R C x R R R y x R R R R --??

??

??++????

???

?

=+???????

?-???????

?

++??????=?

???

++??

??

2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u 和y 为分别为小车和质量体的位移,k 、b 和m 分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u 为输入,y 为输出的状态空间模型。

题图2-3

解：下面推导安装在小车上的弹簧－质量－阻尼器系统的数学模型。假设0

不动,并且安装在小车上面的弹簧－质量－阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,()u t 是小车的位移,并且是系统的输入量。当0t =时,小车以定常速

度运动,即u = 常量。质量的位移()y t 为输出量（该位移是相对于地面的位移）。在此系

统中,m 表示质量,b 表示黏性摩擦系数,k 表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与y

u - 成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与y u -成正比。 对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：

m a F =

∑

式中,m 为质量,a 为质量加速度,F ∑为沿着加速度a 的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：

2

2()

d y dy du m b k y u dt

dt

dt ??=---- ???

即： 22

d

y

d y d u m

b

k y b k u d t

d t d t

++=+ 这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得

到：

)()()()(2

s U k bs s Y k bs ms

+=++

取)()(s U s Y 与之比,求得系统的传递函数为：

4 2

()()()

Y s bs k G s U s m s bs k

+=

=

++

下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程

b k b k y y

y u

u

m m m m +

+=

+

与下列标准形式比较：

1212o y a y

a y

b u b u b u ++=++

得到：

1b a m

=

, 2k a m

=

, 0o b =, 1b b m

=

, 2k b m

=

即而得到：

0011102

2211200b b b a m

k

b b a a m m ββββββ===-=

??=--=- ?

??

并定义：

102111x y u y b x x

u x u

m ββ=-==-=-

可得到：

12122

22112212b x

x u x u

m k

b

k b x a x a x u x x u

m m m m ββ=+=+??

??=--+=--+-?? ???????

输出方程为：

1y x =

即：

[]11222120

11

0b x x m u k b x

x k b m m m m x y x ??

????????????=+????????--????????-???? ?????

??=????

2-4 题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m 为登月舱质量,g 为月球表面重力常

5

数,m k -项为反向推力,k 为常数,y 为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态变量组m x y

x y x ===321 , 和 ,输入变量 m u = ,试列出系统的状态方程。

题图2-4

解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。

对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组

m x y

x y x ===321 , 和 。 基此,利用力学定律并考虑到输入变量m

u =,先来导出 12233

3

3x y x k gm g k x y m

x u

m m

x x x

m u ====

-=-

+

==

在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：

?????

???????+??????????????????

????-=??????????1 0 0 0 0 0 00 1 033321321x k

x g x x x x x x

且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。

2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩

擦,其摩擦系数为f ;电动机轴上的转动惯量为J 。设输入为电枢电压u a 和激磁电压u f ,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。

6

题图2-5

解 设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为

2

2d d d d d d a a a a f f f f f u R i E i u R i L t M J

f

t

t

θθ=+=+=+

式中,E a 和M 分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且

d d d d a

e e f

E C k i t

t

θθ=Φ

=, m a m f a

M C i k i i =Φ= 式中,C e 和C m 分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；Φ为磁场的磁通量，其正比于励磁

回路电流i f ；k e 和k m 分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为

2

2

d d d d d d d d a

a a e f f f f f f

m f a u R i k i t

i u R i L t k i i J f t t θθθ

?

=+??

?

=+??

?=+??

(2-13)

对于上述微分方程组,若已知电枢电流i f (t )、角位移θ(t )及其导数t t /d )(d θ在初始时刻t 0

的值,以及电枢电压u a 和励磁回路电压u f ,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为

123d ()()(),

()(),

()d f t x t i t x t t x t t

θθ===

因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为

7

11231331313

1---f f f f m m a e a a R x x u L L x x k k u k x x f f x x i x x x J J J R J ?=+???

=??

??-?== ?????

输出方程为

y =θ=x 2

由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为

11

23231133

2

1

--f f f f m m e a a a

R x x u L L x

x k k k f

x u x x x x JR JR J y x ?=+??

?

=???=-??= 2-6 题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率

常数为k 的一级吸热反应

A k →B

该化工反应生产过程为:温度为常量θf ,含A 物质浓度为常量C Af 的料液以Q(t )的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q (t ),保持单元内液体体积为V ;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q (t )。试以料液的流量Q (t )和蒸汽加热量q (t )为输入,容器内的液体的温度θ(t )和物质B 的浓度C B (t )为输出,建立状态空间模型。

题图2-6

参见2.2小节例题

2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。

8 (1) 2635y y y y u +++= (2) 23y y u u -=-

(3) 45222y y y y u u u u +++=+++ 解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=2, a 2=6, a 3=3,

b =5

当选择输出y 及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为

10000103625[1

00]????

????=+????

????---????

=x

x u y x

(2) 先将方程变换成y 的首项的系数为1,对方程两边除以2，得

311222y y u u

-

=

-

由所求的系统输入输出方程,有

a 1=0, a 2=0, a 3=-3/2,

b 0=1/2, b 1=0, b 2=0, b 3=-1/2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221301/200

1/4

b b a b a a b a a a ββββββββββ===-==--==---=

因此,当选择状态变量

102103210121212x y u y u

x y

u u y

u

x y u u u y u

ββββββ?

=-=-???

=--=-???

=---=-

??

时,可写出状态空间模型为

9

010000103/20

01/41[1

0]2u

????

????=+????

????????=+

x

x u y x (3) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=4, a 2=5, a 3=2,

b 0=2, b 1=1, b 2=1, b 3=2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221302719

43

b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-=--==---=-

因此,当选择状态变量

1021032102721972x y u y u

x y

u u y u u x y u u u y u u u ββββββ=-=-??

=--=+-??=---=-+-?

时,可写出状态空间模型为

1070011925

443[1

00]2u

-????

????=+????

????----????

=+x

x u y x

2-8将下列传递函数转换为状态空间模型

(1) 2

32

21840()6116s s G s s s s ++=+++ (2) 2

2

21()56

s s G s s s ++=

++

(3) 2

3(5)()(3)(1)

s G s s s +=

++

解 (1) 由系统特征多项式611623+++s s s ,可求得系统的极点为

s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

于是有

3

32

21

1)(s s k s s k s s k s G -+

-+

-=

其中,

10 112233

[()(1)]12[()(2)]12[()(3)]

2

s s s k G s s k G s s k G s s =-=-=-=+==+=-=+= 故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

100102010031[12

12

2]-????

????=-+????

????-????=-x

x u y x

(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下

2

22

2135()11()56

56

s s s G s G

s s s s s ++--=

=+

=+++++ 由系统特征多项式256s s ++,可求得系统的极点为

s 1=-2, s 2=-3

于是有

121

2

()1k k G s s s s s =+

+

--

其中,

12

23

[()(2)]1[()(3)]4

s s k G

s s k G

s s =-=-=+==+=-

故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

2

01031[1

4]-??

??=+????-????=-+x

x u y x u

(3) 由系统特征多项式2(3)(1)s s ++,可求得系统的极点为

s 1=s 2=-3, s 3=-1

于是有

3

311

122

111)

()(s s k s s k s s k s G -+

-+

-=

其中

11

2

1122

122

311

[()(3)]3,

d [()(3)]

3,

d [()(1)]

3s s s k G s s k G s s s

k G s s =-=-=-=+=-=

+=-=+=。

故当选择状态变量为G (s )分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为

310003010011[3

3

3]????-????=-+????????-????=--x

x u

y x

2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。

+U (s )1

1K s K K p +s

K s K p 1

+s

J 11

2

2s

J K b s

K n )

(s θ+

_

_

+

_

题图2-9

解： 系统方框图变换成：

u

p

K

K 1

+

_

s

1

p

K

K 1K 1

s

1K p s

11

1J K n

s

1

2

J K b s

1s

1x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

_

_

x 6θ_

则状态空间表达式x

Ax Bu y Cx Du

=+??

=+? 中：

12 ??????????

??

???

??

?

?

?-----=0

1

0001000000/00/

00//1/00000/000/2

111

1

11

11J k J k J k J J k k k k k k k A b n p p p

p ???

???

???

?

?????????

?=00000

/1

p k k B , []01

=C , 0=D

2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为y u 和,试列出系统的一个状态空间模型。

题图2-10

解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一

阶环节的输出取为状态变量1234,,,x x x x 。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出变换

域变量关系式：

()()()(){}12

310

????52x s u s x

s x s s =--????+

()()()()(){}21

2

3

4

2?????x s x

s x s x s x s s

=-++ ()()()()(){}31

2

3

4

2?????1x s x

s x s x s x s s =-+++ ()()(){}42

3

1

???3

x

s x

s x s s =-+ 基此,可以导出变换域状态变量方程：

()()()()()1123?????2505010sx

s x s x s x s u s =--++ ()()()()()21234?????2222sx

s x s x s x s x s =-++

13

()()()()()31234?????222sx

s x s x s x s x s =-++ ()()()()4234????23sx

s x s x s x s =-- 将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用(){}1i i L sx s x

-= ,就定义此方块图的状态变量方程：

112321234312344234250501022222223x

x x x u x

x x x x x

x x x x x

x x x =--++=-++=-++=--

再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：

112233442 50 50 010 2 -2 2 2 0 2 -2 1 2 0 0 1 -1 -3 0x

x x x

u x x x x --????????????????????????=+????????????????????????

????

进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程：

[]12

340 1 1 0x x y x x ??

????

=-????????

2-11已知系统的状态空间模型为

3

001

015220021053016

2

0????????=+???

?????????

??=?

???

x

x u y x

现用 x

=P x 进行状态变换,其变换矩阵为 1

000

200

3P ??

??=??????

试写出状态变换后的状态方程和输出方程。

解 本题的线性变换为 x

=P x ，因此相应的各个矩阵的变换公式为

14 11,,,A PAP B PB C CP D

D --==== P 的逆矩阵为

1

1

0001/200

1/3P

-??

??=??????

因此有

1

13

001

0254/3

400

3

10

153

01/36

10A

PAP B

PB C C P --??

??

????====????????????

??==?

???

故系统在新的状态变量x ~

下的状态空间模型为 3

0010254/34

0031015301/36

1

0????????=+????????????

??=?

???

x

x u y x

2-12 求下列各方阵A 的特征值、特征向量和广义特征向量。

(1) 1

30

2A ???

???

＝

(2) 1

2221222

1A ??

??=?????? (3) 0

100012

5

4A ??

??=????-??

(4) 0100018

12

6A ??

??=????---??

解 (1) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=1, λ2=2

计算对应于λ1=1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

15

111203001v v -??

??=????-????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(λ1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]

T

T

111

11

00v v v ==

令v 11=1, 可得如下独立的特征向量

[]

T

11

0v =

再计算对应于重特征值λ2= 2的特征向量。按定义有

(λ2I -A )v 2=0

将A 、λ2和v 2代入上式,有

21221

300

0v v -??

??=?

???????

由于 n -rank(λ2I -A )=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]

T

T

221

2222

223v v v v v ==

因此,令v 22=1,解之得

[]

T

23

1v =

(2) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=-1, λ3=5

即-1为系统的二重特征值,其代数重数为2。

计算对应于二重特征值-1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

11121322222202

2

2v v v ---??

????

??---=????????---????

由于 n -rank(λ1I -A )=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为

[][]T

T

111

12

2311

12

1112()v v v v v v v v ==-+

16 因此,令v 11=1,v 12=0或1,解之得

[]

T

11

1v =- 和 []

T

2112v =-

即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。

再计算对应于重特征值λ3=5的特征向量。按定义有

(λ3I -A )v 2=0

将A 、λ3和v 3代入上式,有

31323342224202

2

4v v v --??

????

??--=????????--????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(λ1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T

T

331

32

3331

31

31v v v v v v v ==

令v 31=1, 可得如下独立的特征向量

[]

T

11

1

1v =

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=1, λ3=2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=1的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][]

T

T

2

1,111

1T

T

1,2111110

1

20

1

2v v v λλλ??===??==

对应于λ3=2的特征向量和广义特征向量分别为

[]

T

T

233

31

1

2

4v λλ??==??

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=λ3=-2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=λ3=-2的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][]

[][]

T

T

21,111

1T

T

1,21T

T

1,311

240120140

10

1v v v v λλλ??===-??==-==

2-13 试将下列状态方程变换为约旦规范形(对角线规范形)

17

(1) 2117010202130

0112

0u y ?--????

?

????=-+?????

?

??????????

?

?

?=?????

?

x x x

(2) 8822

3432153

4

171u --????

????=--+???

?????-????

x

x

解 (1) 先求A 的特征值。由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=-1, λ2=1, λ3=2

求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值λ1,λ2,和λ3所对应的特征向量分别为

p 1=[0 1 -1]τ

, p 2=[1 0 1]τ

, p 3=[-1 0 0]τ

取系统的特征向量组成线性变换矩阵P 并求逆矩阵P -1,即有

1

1101

01

00,0111

1

011

1P P

--??

??

???

?==????????--??

??

计算A ~、B ~和C ~

111

002010,500221

102

1

1A

P AP B

P B C C P ---????

????====????????-??

??

-??==?

?-??

故系统在新的状态变量x ~

下的状态空间模型为 1

002010500221102

1

1-????????=+????

????-????-??=?

?-??

x

x u y x

(2) 先求A 的特征值。由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=-1, λ2=1, λ3=2

求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值λ1,λ2,和λ3所对应的特征向量分

18 别为

p 1=[-4 -3 -2]τ , p 2=[3 2 1]τ , p 3=[2 1 1]τ

取系统的特征向量组成线性变换矩阵P 并求逆矩阵P -1,即有

1

4321

113

21,1022

1

11

2

1P P

----??

??

????=-=-????????--??

??

计算A ~、B ~

111

006

3020,1210

37

6A

P AP B

P B ----??

??

????

====-????????-??

??

故系统在新的状态变量x ~

下的状态空间模型为 1

006

30201210

376--????

????=+-???

?????-????

x

x u 2-14状态空间模型为

[]0

100230111320

01u y ????

????=--+????????--????

= x

x x

(1) 画出其模拟结构图;

(2) 求系统的传递函数。

解：(i) 系统的模拟结构图如下：

u

y

x 1

x 2

s

1-3

s

1-1

s

1-3

2

x 3

-2

19

(ii) 传递函数()G s 由下式给出： D B A sI C s G +-=-1)()( 对于该问题,矩阵A,B,C 和D 为： ????????

??----=31

1

032

010A , ??

?

?

?

?????=210B , []10

0=C , 0=D

因此：

[]????

?

?????????

?

?????+-+-=-21031

1

0320110

)(1

s s s

s G 6

1163722

3

2

+++++=

s s s s s

2-15 已知两系统的传递函数阵12()()W s W s 和分别为

11

1

1

2()102s s W s s s ??

??

++=?

?+????+?

?, 21

1

3

4()101

s s W s s ??

??

++=?

???

??+??

试求两子系统串联联结和并联联结时,系统的传递函数阵。

解： 串联联结时,

21()()()

W s W s W s =?

??

?

??

???????+++++++++++=??

???????

?++++??????

??

??+++=231

12124

2697

53

41210

21

1

101141

3

12

22

32

2

s s s s s s s s s s s s s s s s s s

20 并联联结时,

12()()()W s W s W s =+

?

??

?

?

?

?

??

?

+++++++=?

??

?

??

????++++????????

??++++=21

11861

34101

1

41

3121021

112

2s s s s s s s s s s s s s s

2-16 给定题图2-16所示的动态输出反馈系统,其中,

()()121111 1234 , 11 0 021s s s s G s G s s s s ????????

++++==????

+????????++????

试定出反馈系统的传递函数矩阵()G s 。

_

()

s G 1()

s G 2()s y

?()s u

?+

题图2-16

解：计算所依据的关系式为

()()()()[]()()()[]()s G s G s G I s G s G s G I s G s G 11

211

121 --+=+=或

采用前一个计算公式。对此,先行计算