第1章 典型方程与定解问题
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21
u 0
2
u0
2
波动方程 描述现象：声波、电磁波 等波动过程 输运方程 描述现象：热扩散、物质 扩散等扩散过程 稳定场方程 描述现象：电势、稳定温 度场分布等与时间无关的 稳定场。
utt a u 0
2 2
u 2 2 a u 0 t
2u 0
22
一般情况 输运 方程
初始位移分布 初始速度分布
24
边界条件
第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在
边界上的数值。
u |S = f1
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界外法线方向上方向导数的数值。 ¶u = f2 ¶n S
第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所
研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边 界上的数值。 é ¶u ù êu + H ú = f3 êë ¶n úû S
单位矢量： er , ef , e z
e e ez e ez e ez e e
e e e ez ez e 0
ez 为常矢量 e , e 为变矢量
圆柱坐标系
ez
sin sin cos sin cos
cos sin
0
16
§1.2 典型方程与定解问题
许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来 表述。
质点 质点组 • • • • u ( t •) •
i
连续体
u(t )
常微
•
u(r , t )
偏微、积 分方程
场（电、 磁、温度 ）
9
位置矢量： r e e e z z e e z z 线元矢量：
d r d (e ez z ) e d e d ez dz
长度元：d、d、dz 面积元：
长度元：dr、rd、rsind 面积元：
dSr r 2sin d d dS rsin drd dS rdrd
体积元：
P
P/
dV r 2sin drd d
球坐标系中的线元、面元和体积元 12
五、 坐标系之间的关系
直角坐标系与圆柱坐标系的关系
x
ez
P ex
ey
o
x=x0平面 直角坐标系
y y=y0平面
单位矢量的方向不随点位置的变化而变化，为常矢。
7
位置矢量： 线元矢量：
z P( x , y, z)
y ay
r ex x e y y ezz
ea zz ea xx
x O
r
d r d (e x x e y y e z z ) d (e x x ) d (e y y ) d (e z z )
d S y d xd z d S z d xd y
x
dz
P
P/
d S y = e y d xd z
o
dy
dx d S x = e x d yd z
y
8
体积元
dV = dxdydz
三、圆柱坐标系
坐标变量：0 、0 2、- z + 坐标面： 坐标曲线：
方向作为正方向；
一个正交坐标系的坐标单位矢量按顺序满足右
手螺旋法则。
e u1 e u 2 e u3 e u 2 e u3 e u1 e u3 e u1 e u 2
e e e
6
二、直角坐标系
坐标变量： 坐标面：平面 坐标曲线：直线
er e e e e er 0 er e e e e er e er e
e r , e , e 均为变矢量
11
球坐标系
位置矢量： 线元矢量：
r er r dr d (er r ) er dr e rd e r sin d
M
x
14
六、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标系与圆柱坐标系
y
e
ey
e
e
ez
e
ex cos sin
0
ey sin cos
0
ez
0 0 1
o
ex
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
圆柱坐标系与球坐标系
er
z
-< x, y, z < +
z z=z0平面 P(x0,y0,z0)
单位矢量： e x , e y , e z e x e y e y e z e z e x 0
e x e y ez a y az ex ez e x e y
25
¶u 2 例1：热传导方程 - k u = 0 ¶t
初始条件： u t =0 = j( x , y , z ) ( x , y , z ) Î V 边界条件： 1、u S = j(S, t )
初始时刻各点 的温度 边界上各点的 温度
¶u 1 2、 = j(S, t ) 单位时间内通过单位面积的 ¶n S k 边界流入的热量为(,t)
ez
e
sin cos
e
0
0
ez
cos
sin
单位圆
er
e
e e
e
o
0
1
0
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系 15
直角坐标与球坐标系
ex
ey
e e
er
sin cos cos sin sin
4
坐标面：坐标变量为常数时，分别代表的空
间三组曲（平）面。 坐标曲线：每两组坐标面的交线。 正交坐标系：若过空间任意点的三条坐标曲 线都两两相互正交（相应的坐标面也两两相 互垂直）。
e e e
5
单位矢量：经过空间任意一点三条坐标曲线
的切向单位矢量，称为该点在坐标上的单位 矢量。
单位矢量的模为1，并以各坐标变量正的增加
3
§1.1 常见坐标系
一、基本概念
坐标系：将空间的点的位置用一组有顺序的，
一一对应的数值表示的数学模型。坐标系是相 对于参考原点确定空间位置的一种方法。 意义： 1. 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投 影形式分解为标量，可简化分析与计算； 2. 虽然问题的解答与所选用的坐标系无关，但根 据物理问题的边界形状适当的选择坐标系，往 往可以使问题简化。
稳定态
u 不随 t 变化
¶u - k 2 u = f ¶t
u =-f / k
2
泊松方程
f = 0 : 2 u = 0
u 不随 t 变化
拉普拉斯方 程
u =- f / a
2
2
泊松方程 拉普拉斯方 程
波动 方程
¶ u 2 2 a u= f 2 ¶t
2
f = 0 : 2 u = 0
u( x, y, z, t ) = v( x, y, z, t )e iwt
e
y
e x dx xd e x e y dy yd e y e z dz zd e z e x dx e y dy e z dz d S = e d xd y z
z z
长度元：dx、dy、dz 面积元： d S x d yd z
18
一、常见的偏微分方程
波动方程
均匀弦的微小横振动 均匀杆的纵振动 均匀传输线方程 均匀薄膜的微小横振动 流体力学和声学方程 电磁波方程
utt a u 0
2 2
19
输运方程
传导方程：由于温度不均匀，热量从温度高
的地方向温度低的地方传导。
扩散方程：由于浓度不均匀，物质从浓度高
z rsin rcos O
r
P (r, , ) y
M
x
13
圆柱坐标系与球坐标系的关系
r sin z r cos
r 2 +z 2 arctan z
z rsin rcos O
r
P (r, , ) y
例2：长为 l 的均匀杆的导热问题
（1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热
设 u(x, t) 为杆 的温度函数
试写出三种情况下的边界条件。
（1） u x=0 = 0, u x=l = 0
¶u （2） ¶x ¶u = 0, ¶x x =0
¶u ¶x
=0
x =l
dS d dz dS d dz dS z d d
P/ P
体积元：
dV d d dz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 10
四、球坐标系
坐标变量：0 r 、 0 、 0 2 坐标面： 坐标曲线：
单位矢量： er , e , e
下 篇
数学物理方程
1
学习要点：本篇联系物理实际讲述数学方法。介
绍如何将物理问题化成数学问题；要 求具有应用各种数学方法求解物理问 题，并阐述解物理意义的能力。
2
第一章
典型方程与定解问题
讲授内容：常见坐标系；典型方程与定解问 题 基本要求：掌握三种常见坐标系的建立，坐 标轴、坐标面、坐标变量、长度 微元、体积元和面积元。掌握几 种常见的偏微分方程的形式；掌 握常见的定解条件；了解偏微分 方程的适定性。
u(r , t )
偏微、积 分方程
常微分方 程组
常微分方程
偏微分方程
17
根据物理规律建立方程 ——泛定方程（共性） 根据边界及初始状况建立定解条件（个性） ——--- 边界条件：物理系统与外部的相互作用 初始条件：物理系统过去的历史 定解问题 (泛定方程＋定解条件)：求一个微分方程 的解使之满足一定的初始条件和边界条件的问题称 为定解问题。
（3） u x=0 = 0,
x =l
¶u = 0或 ¶x
x =0
= 0, u x=l = 0
以上均为齐次边界条件。
27
¶ u 2 2 例3：弦振动问题 2 - a u = 0 ¶t
2
初始条件：
u( r , t ) |t =0 = j( r ) ¶u( r , t ) = y( r ) ¶t t =0
即 u 随 t 周期的变化
亥姆霍兹方 程
2v + k 2v = 0
k=w/a为波数
23
二、定解条件
初始条件：
输运方程：
u( r , t ) |t =0 = j( r )
波动方程：
初始分布
Βιβλιοθήκη Baidu
u( r , t ) |t =0 = j( r ) ¶u( r , t ) = y( r ) ¶t t =0
：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。 n u 0 若边界绝热，则=0，有 n
¶u 3、 -k = h( u S - u0 ) 介质通过边界按牛 顿冷却定律散热。 ¶n S
牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量 正比于介质表面温度u|与外界温度u0之差，h为比例系数。 26
x cos y sin z z
x2 y2 y arc tan( ) x zz
z z az
r O
P (, , z)
a
y
x a
直角坐标系与球坐标系的关系
r x2 y2 z2 2 2 x y x r sin cos arctan( ) z y r sin sin z z r cos ) = arccos( 2 2 2 x y z y tan( ) arc x
的地方向浓度低的地方转移。
u a 2 2 u 0 t
20
稳定场方程
稳定的浓度、温度分布
2 u 0或 2 u f
静电场
E
0
E 0
因此，存在标量势 u(x,y,z)
代入上式 如果 ( r)=0
E u
——泊松方程 ——拉普拉斯方程
u 0
2
u0
2
波动方程 描述现象：声波、电磁波 等波动过程 输运方程 描述现象：热扩散、物质 扩散等扩散过程 稳定场方程 描述现象：电势、稳定温 度场分布等与时间无关的 稳定场。
utt a u 0
2 2
u 2 2 a u 0 t
2u 0
22
一般情况 输运 方程
初始位移分布 初始速度分布
24
边界条件
第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在
边界上的数值。
u |S = f1
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界外法线方向上方向导数的数值。 ¶u = f2 ¶n S
第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所
研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边 界上的数值。 é ¶u ù êu + H ú = f3 êë ¶n úû S
单位矢量： er , ef , e z
e e ez e ez e ez e e
e e e ez ez e 0
ez 为常矢量 e , e 为变矢量
圆柱坐标系
ez
sin sin cos sin cos
cos sin
0
16
§1.2 典型方程与定解问题
许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来 表述。
质点 质点组 • • • • u ( t •) •
i
连续体
u(t )
常微
•
u(r , t )
偏微、积 分方程
场（电、 磁、温度 ）
9
位置矢量： r e e e z z e e z z 线元矢量：
d r d (e ez z ) e d e d ez dz
长度元：d、d、dz 面积元：
长度元：dr、rd、rsind 面积元：
dSr r 2sin d d dS rsin drd dS rdrd
体积元：
P
P/
dV r 2sin drd d
球坐标系中的线元、面元和体积元 12
五、 坐标系之间的关系
直角坐标系与圆柱坐标系的关系
x
ez
P ex
ey
o
x=x0平面 直角坐标系
y y=y0平面
单位矢量的方向不随点位置的变化而变化，为常矢。
7
位置矢量： 线元矢量：
z P( x , y, z)
y ay
r ex x e y y ezz
ea zz ea xx
x O
r
d r d (e x x e y y e z z ) d (e x x ) d (e y y ) d (e z z )
d S y d xd z d S z d xd y
x
dz
P
P/
d S y = e y d xd z
o
dy
dx d S x = e x d yd z
y
8
体积元
dV = dxdydz
三、圆柱坐标系
坐标变量：0 、0 2、- z + 坐标面： 坐标曲线：
方向作为正方向；
一个正交坐标系的坐标单位矢量按顺序满足右
手螺旋法则。
e u1 e u 2 e u3 e u 2 e u3 e u1 e u3 e u1 e u 2
e e e
6
二、直角坐标系
坐标变量： 坐标面：平面 坐标曲线：直线
er e e e e er 0 er e e e e er e er e
e r , e , e 均为变矢量
11
球坐标系
位置矢量： 线元矢量：
r er r dr d (er r ) er dr e rd e r sin d
M
x
14
六、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标系与圆柱坐标系
y
e
ey
e
e
ez
e
ex cos sin
0
ey sin cos
0
ez
0 0 1
o
ex
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
圆柱坐标系与球坐标系
er
z
-< x, y, z < +
z z=z0平面 P(x0,y0,z0)
单位矢量： e x , e y , e z e x e y e y e z e z e x 0
e x e y ez a y az ex ez e x e y
25
¶u 2 例1：热传导方程 - k u = 0 ¶t
初始条件： u t =0 = j( x , y , z ) ( x , y , z ) Î V 边界条件： 1、u S = j(S, t )
初始时刻各点 的温度 边界上各点的 温度
¶u 1 2、 = j(S, t ) 单位时间内通过单位面积的 ¶n S k 边界流入的热量为(,t)
ez
e
sin cos
e
0
0
ez
cos
sin
单位圆
er
e
e e
e
o
0
1
0
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系 15
直角坐标与球坐标系
ex
ey
e e
er
sin cos cos sin sin
4
坐标面：坐标变量为常数时，分别代表的空
间三组曲（平）面。 坐标曲线：每两组坐标面的交线。 正交坐标系：若过空间任意点的三条坐标曲 线都两两相互正交（相应的坐标面也两两相 互垂直）。
e e e
5
单位矢量：经过空间任意一点三条坐标曲线
的切向单位矢量，称为该点在坐标上的单位 矢量。
单位矢量的模为1，并以各坐标变量正的增加
3
§1.1 常见坐标系
一、基本概念
坐标系：将空间的点的位置用一组有顺序的，
一一对应的数值表示的数学模型。坐标系是相 对于参考原点确定空间位置的一种方法。 意义： 1. 引入坐标系可以将矢量运算中的矢量按坐标投 影形式分解为标量，可简化分析与计算； 2. 虽然问题的解答与所选用的坐标系无关，但根 据物理问题的边界形状适当的选择坐标系，往 往可以使问题简化。
稳定态
u 不随 t 变化
¶u - k 2 u = f ¶t
u =-f / k
2
泊松方程
f = 0 : 2 u = 0
u 不随 t 变化
拉普拉斯方 程
u =- f / a
2
2
泊松方程 拉普拉斯方 程
波动 方程
¶ u 2 2 a u= f 2 ¶t
2
f = 0 : 2 u = 0
u( x, y, z, t ) = v( x, y, z, t )e iwt
e
y
e x dx xd e x e y dy yd e y e z dz zd e z e x dx e y dy e z dz d S = e d xd y z
z z
长度元：dx、dy、dz 面积元： d S x d yd z
18
一、常见的偏微分方程
波动方程
均匀弦的微小横振动 均匀杆的纵振动 均匀传输线方程 均匀薄膜的微小横振动 流体力学和声学方程 电磁波方程
utt a u 0
2 2
19
输运方程
传导方程：由于温度不均匀，热量从温度高
的地方向温度低的地方传导。
扩散方程：由于浓度不均匀，物质从浓度高
z rsin rcos O
r
P (r, , ) y
M
x
13
圆柱坐标系与球坐标系的关系
r sin z r cos
r 2 +z 2 arctan z
z rsin rcos O
r
P (r, , ) y
例2：长为 l 的均匀杆的导热问题
（1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热
设 u(x, t) 为杆 的温度函数
试写出三种情况下的边界条件。
（1） u x=0 = 0, u x=l = 0
¶u （2） ¶x ¶u = 0, ¶x x =0
¶u ¶x
=0
x =l
dS d dz dS d dz dS z d d
P/ P
体积元：
dV d d dz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 10
四、球坐标系
坐标变量：0 r 、 0 、 0 2 坐标面： 坐标曲线：
单位矢量： er , e , e
下 篇
数学物理方程
1
学习要点：本篇联系物理实际讲述数学方法。介
绍如何将物理问题化成数学问题；要 求具有应用各种数学方法求解物理问 题，并阐述解物理意义的能力。
2
第一章
典型方程与定解问题
讲授内容：常见坐标系；典型方程与定解问 题 基本要求：掌握三种常见坐标系的建立，坐 标轴、坐标面、坐标变量、长度 微元、体积元和面积元。掌握几 种常见的偏微分方程的形式；掌 握常见的定解条件；了解偏微分 方程的适定性。
u(r , t )
偏微、积 分方程
常微分方 程组
常微分方程
偏微分方程
17
根据物理规律建立方程 ——泛定方程（共性） 根据边界及初始状况建立定解条件（个性） ——--- 边界条件：物理系统与外部的相互作用 初始条件：物理系统过去的历史 定解问题 (泛定方程＋定解条件)：求一个微分方程 的解使之满足一定的初始条件和边界条件的问题称 为定解问题。
（3） u x=0 = 0,
x =l
¶u = 0或 ¶x
x =0
= 0, u x=l = 0
以上均为齐次边界条件。
27
¶ u 2 2 例3：弦振动问题 2 - a u = 0 ¶t
2
初始条件：
u( r , t ) |t =0 = j( r ) ¶u( r , t ) = y( r ) ¶t t =0
即 u 随 t 周期的变化
亥姆霍兹方 程
2v + k 2v = 0
k=w/a为波数
23
二、定解条件
初始条件：
输运方程：
u( r , t ) |t =0 = j( r )
波动方程：
初始分布
Βιβλιοθήκη Baidu
u( r , t ) |t =0 = j( r ) ¶u( r , t ) = y( r ) ¶t t =0
：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。 n u 0 若边界绝热，则=0，有 n
¶u 3、 -k = h( u S - u0 ) 介质通过边界按牛 顿冷却定律散热。 ¶n S
牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量 正比于介质表面温度u|与外界温度u0之差，h为比例系数。 26
x cos y sin z z
x2 y2 y arc tan( ) x zz
z z az
r O
P (, , z)
a
y
x a
直角坐标系与球坐标系的关系
r x2 y2 z2 2 2 x y x r sin cos arctan( ) z y r sin sin z z r cos ) = arccos( 2 2 2 x y z y tan( ) arc x
的地方向浓度低的地方转移。
u a 2 2 u 0 t
20
稳定场方程
稳定的浓度、温度分布
2 u 0或 2 u f
静电场
E
0
E 0
因此，存在标量势 u(x,y,z)
代入上式 如果 ( r)=0
E u
——泊松方程 ——拉普拉斯方程