高中数学-从零开始集合间的基本运算

当
C
时，
m
1，此时
C
=
x
|
x
=
1 m −1
CB，
；解得： m = 2或 3 2
综上所述：实数
为元素所构成的集合 M
=
1, 2,
3
2
14．【解析】
（1）因为 A B = B ，即 B A . A = x −2 x 4
因为集合 B = x x2 − 3ax + 2a2 = 0 = x ( x − a)( x − 2a) = 0 ，
阴影部分所表示的集合为（ ）
A． R
B． (−,1)
C． (−,1]
D． ( −1,0]
9．由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连 续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建 立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年
故 m (−1,1
13．【解析】
试题分析：（1）交集并集定义易知结果；（2）
，注意对集合 C 为空集
和非空集合两种情况讨论．
试题解析：（1） A = x | x是小于6的正整数 = 1, 2,3, 4,5 ， B = 1, 2
A B = 1, 2 ， A B = 1, 2,3, 4,5
（2） B C = C ，C B 当 C = 时，此时 m = 1，符合题意
{x |1 x 2} ,故选 A.
2．【解析】
全集U = 0,1, 2,3, 4,5, 6，集合 B = 2,3, 6 ，则 U B = 0,1, 4,5 ，
又 集合 A = 0,1,3,5 ，因此， A ( U B) = 0,1,3, 4,5 .
故选：C. 3．【解析】
A = x | y = lg(6 − x) = x x 6， B = x 2x 1 = x x 0 ，
因为 a=2，所以 B = x x2 − 3x + a = 0 = 1, 2
（2）①当 B = 时， m −1 3m − 2 ，m 1 ． 2
②当
B
时，
m −1 3m m −1 −3 3m − 2 4
−
2
m m m
1 2 −2 2
1 2
m
2
，
综上： m 2 ．
12．【解析】
解：函数
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x)
=
log2
x
−
a
在区间
1 4
,
4
内有解时，即 a
=
log2
x
在区间
kt
k
∴
Ak
=
x
x
=
kt
+
1 kt
,
1 k2
t
1 =
2, k
+
1 k
，
又对勾函数 y = k + 1 (k 2) 是增函数， k = 2 时， y = k + 1 取最小值 5 ，
k
k
2
∴A2 A3
A 2020 ，∴ A 2 A 3
A
2020
=
A
2
=
2,
5 2
．
答案第 1 页，总 5 页
y = 1或 2，即 B = {1, 2}，∴ ( N A) B = {1, 2} ．
故选：A．
5．【解析】
由题意， 1 ≤ kt ≤ k ， k
因为 k 2 ，所以由对勾函数性质得 kt = 1时， x = kt + 1 取得最小值 2， kt = k 或 1 时，
kt
k
x = kt + 1 取得最大值 k + 1 ，
A． M 没有最大元素, N 有一个最小元素 B． M 没有最大元素, N 也没有最小元素 C． M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D． M 有一个最大元素, N 没有最小元素
二、填空题 10．若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之 和，则 x 的值为______ . 三、解答题
最小元素，故 B 正确；
对 C ， M 有一个最大元素， N 有一个最小元素不可能，故 C 错误； 对 D ，若 M = {x Q | x 0}， N = {x Q | x 0}； M 有一个最大元素， N 没有最小元 素，故 D 正确； 故选： C ．
答案第 2 页，总 5 页
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（2）因为 A B ， A = x −2 x 4，
答案第 4 页，总 5 页
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所以① a = 0 时， B = x x = 0 ，此时 A B 成立，所以 a 0 ，
② a 0 时， 0 x1 x2 ，若 A B = ，则 a 4 ，
故选：A．
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6．【解析】
由题意，集合 P = {x | x2 − 2x − 3 0} = {x | x −1 或 x 3}，Q = {x |1 x 4} ，
所以 P Q = {x | x −1 或 x 1} ，所以 CR (P Q) = {x | −1 x 1} .
所以 = (−3a)2 − 41 2a2 = a2 0 ，所以 x1 = a, x2 = 2a ，
①当 = 0 时， a = 0 ， x1 = x2 = 0 ，所以 B = x x = 0 ， B A 成立，所以 a = 0 ，
−2 a 4 ②当 0 时， a 0 ，由 B A ，得 −2 2a 4 ，所以 −1 a 2 且 a 0 ， 综上， −1 a 2 .
B = y∣y 0， A B = (−,1) .
故选：B 9．【解析】
对 A ，若 M = {x Q | x 0} ， N = {x Q | x 0}；则 M 没有最大元素， N 有一个最小 元素 0，故 A 正确； 对 B ，若 M = {x Q | x 2}， N = {x Q | x 2}；则 M 没有最大元素， N 也没有
( ) A U B = （ ）
A．3
B．0,1,3, 4
C．0,1,3, 4,5
D．0,1, 2,3,5, 6
3．若全集U = R ，集合 A = x | y = lg (6 − x) ， B = x | 2x 1 ，则图中阴影部分
表示的集合是（ ）
A． (2,3)
B． (−1,0
C．0, 6)
1 4
,
4
内有解，
因为函数
g
(
x)
=
log2
x
在区间
1 4
,
4
上单调递增，且
g
1 4
=
log2
1 4
=
−2
，
g (4) = log2 4 = 2
g ( x)(−2, 2)
则 a (−2, 2) 即 B = (−2, 2)
（1）当 m = 2 时， A = a | m −1 a m2 +1 = a |1 a 5 = (1,5) ， B = (−2, 2)
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7．设全集U = R ，已知集合 A = x x 3或 x 9 ，集合 B = x x a .若
(CU A) B ，则 a 的取值范围为（ ）
A． a 3
B． a 3
C． a 9
D． a 9
( ) ( ) 8．已知全集 I = R ，集合 A = x∣y = lg 1− x2 ， B = y∣y = lg 1− x2 ，则图中
10．【解析】
不妨设 x 0 ，可得最大、最小元素之差不超过 max{3, x} ， 而所有元素之和大于 max{3, x} ，不符合条件，所以 x 0 ，即 x 为最小元素， 于是 3 − x = 1+ 2 + 3 + x ，解得 x = − 3 .
2
11．【解析】
（1）当 m = 3 时 B = x | 2 x 7 ， A B = x | 2 x 4
,
4
内有
解时，实数 a 的取值范围记为集合 B．
（1）若 m = 2 ，求集合 B 及 A B ；
（2）若 A B ，求实数 m 的取值范围.
13．设集合 A = x | x是小于6的正整数， B = x | (x −1)(x − 2) = 0，
C = x | (m −1)x −1 = 0；
（1）求 A B ， A B ； （2）若 B C = C ，求由实数 为元素所构成的集合 ．
11．设集合 A = x | −3 x 4 ， B = x | m −1 x 3m − 2 ，
（1）当 m = 3 时，求 A B ； （2）若 A B = B ，求实数 m 的取值范围．
12．已知集合 A =
a | m −1 a m2 +1
，函数
f
(x)
=
log2
x
−
a
在区间
1 4
A B = (−2,5)
（2）因为
m2
+1−
(m
−1)
=
m2
−
m
+
2
=
m
−
1 2
2
+
7 4
0
所以 A
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m2 +1 2
若 A B ，
解得 −1 m 1
m −1 −2
当 m = −1时， A = B 不符题意，舍去
试卷第 3 页，总 4 页
14．设集合 A = x −2 x 4 ，集合 B = x x2 − 3ax + 2a2 = 0 ．
（1）求使 A B = B 的实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a ，使 A B 成立？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
集合的运算
一、单选题
1．已知全集U = R ,集合 A = {x |1 x 3}, B = x x 2 ,则 A ( U B) = （ ）
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D．{x |1 x 3}
2．已知全集U = 0,1, 2,3, 4,5, 6 ，集合 A = 0,1,3,5 ， B = 2,3, 6 ，则
15．设集合 A = x y = lg( x −1) − x + 2 ， B = x x2 − 3x + a = 0 .
（1）若 a = 2 时，求 A B ； （2）若 A B = A ，求 a 的取值范围.
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参考答案
1．试题分析：由U = R 及 B = x x 2 可得 U B = {x | x 2},所以 A ( U B) =
（）
A．
2,
5 2
B．
2,
17 4
C．
2,
10 3
D．[2, +)
6．已知集合 P = {x | x2 − 2x − 3 0} ， Q = {x |1 x 4} ，则 R (P Q) 等于
（）
A． (−1,1]
B． (3, 4]
C． (−, −1) [1, +)
D． (−, −1) (3, +)
D． (−, 0
( ) ( ) 4．已知 A = x N∣y = ln x2 − x − 2 ， B = y N∣y = e 1−∣x∣ ，则 N A B＝
（）
A．1, 2
B．0,1
C．1, 2,3
D．
11
5．
Ak
=
x
x
=
kt
+
kt
,
k2
t
1 ，其中 k
=
2, 3,
, 2020 ，则所有 Ak 的交集为
③ a 0 时， x2 x1 0 ，若 A B = ，则 a −2 ， 所以， A B = 时 a −2 或 a 4 ， 所以， A B 时 −2 a 4 ， 即存在实数 a ，使 A B 成立， −2 a 4 .
15．【解析】
（1）由题意得 A = x y = lg(x −1) − 2 + x = x x 1 ，
故选：A. 7.【解析】
∵ A = x x 3或 x 9 ，∴ CU A = x | 3 x 9 ，
若 (CU A) B ，则 a 9 ，
故选：C． 8．【解析】
A = x∣y = lg (1− x2 ) = x∣1− x2 0 = x∣−1 x 1，
( ) 0 1− x2 1， lg 1− x2 0
阴影部分表示的集合是 UB A = (−, 0 (−, 6) = (−, 0 .
故选：D. 4．【解析】
由 x2 − x − 2 0 得 x −1或 x 2 ，∴ A = {x N | x 2} ， N A = {0,1, 2}，
1− x 0 ， −1 x 1， 0 1− x 1，∴ 1 e 1− x e ，即1 y e ，又 y N ，∴
的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集
M 与 N ,且满足 M N = Q ， M N = ， M 中的每一个元素都小于 N 中的每一
个元素,则称 (M , N ) 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 (M , N ) ,下列选项中,不
可能成立的是（ ）