第2讲 数列求和及综合应用

第2讲 数列求和及综合应用

高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，

所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.

所以S 6＝－1×（1－26）1－2

＝－63.

法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案 －63

2.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.

解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①

故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝2

2n －1

，

又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2

2n －1

.

(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a n 2n ＋1的前

n 项和为S n ，

由(1)知

a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1

2n ＋1

， 则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1

＝1－

12n ＋1＝2n

2n ＋1

. 3.(2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧1，n 为奇数，

b n 2，n 为偶数.求a 1

c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *).

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0). 依题意，得⎩⎨⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎨⎧d ＝3，

q ＝3，

故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .

所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n

＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )

＝⎣⎢⎡

⎦⎥⎤n ×3＋n （n －1）2×6

＋(6×31＋12×32＋18×33＋… ＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n ). 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1

＝－3（1－3n ）1－3

＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1

＋32.

所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1

＋3

2

＝

（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92

(n ∈N *

).

考 点 整 合

1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），

S n －S n －1 （n ≥2）.

(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 2.数列求和

(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵

消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的

等差数列，c 为常数)的数列.

温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.

热点一 a n 与S n 的关系问题

【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1

T n T n ＋1

. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－1

4a n ，