非线性控制系统(1)

x1 = θ ,
& x2 = θ
状态方程为：
& x1 = x2 & x2 = − g k sin x1 − x2 l m
单摆方程
( nπ , 0), n = 0, ±1, ±2,L
解方程得平衡点： 实际平衡点：
(0, 0)和(π , 0)
单摆可以停留在平衡点（0，0）上， 几乎不可能停留在平衡点（π，0）上。 设k=0：
& x = f (t , x , u )
& x = f (t , x, u) y = h(t , x, u)
状态方程 输出方程
状态空间模型
无激励状态方程： 自治系统/时不变系统：
& x = f (t , x)
& x = f (x)
非自治系统/时变系统
对于状态空间中的点x*只要状态从点x*开始，在将来的任何时刻都将 保持在点x*不变，那么这点称为系统的平衡点。
变量代换： τ = t
CL
d 2v d 2v = CL 2 dτ 2 dt
dv dv = CL , dτ dt
& v=
dv dτ
&& & v + ε h' (v)v + v = 0, ε = L C
&& & v + f (v )v + g (v ) = 0 Lie′nard 方程
当h(v ) = −v + 1 v 3时 3
1.1 非线性模型和非线性现象 一阶常微分方程组：
& x1 = f1 (t , x1 ,L , xn , u1 ,L , u p ) & x2 = f 2 (t , x1 ,L , xn , u1 ,L , u p ) M M & xn = f n (t , x1 ,L , xn , u1 ,L , u p )
& x1 = x2 g & x2 = − sin x1 l
1.2.2 隧道二极管电路
通过结点c的电流代数和为零： iC + iR − iL = 0 电压定律： vC − E + RiL + vL = 0 取状态变量： x1 = vC ,
x2 = iL , u = E
iC = − h( x1 ) + x2 vL = − x1 − Rx2 + u
& x1 = 1 [ −h( x1 ) + x2 ] C 1 & x2 = [ − x1 − Rx2 + u ] L
& x1 = 0.5 [ − h( x1 ) + x2 ]
& x2 = 0.2 [ − x1 − 1.5 x2 + 1.2]
h( x1 ) = 17.76 x1 − 103.79 x12 + 229.62 x13 − 226.31x14 + 83.72 x15
非线性控制系统
硕士研究生课程 2007年 2007年5月
参考书目：
《非线性系统》（Biblioteka Baidu三版），Hassan K. 非线性系统》 第三版）， Khalil ，电子工业出版社
《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明 编 著，国防工业出版社 《非线性系统的分析与控制》，洪奕光 程代 展 著，科学出版社
第一章 绪论
&& & v − ε (1 − v 2 )v + v = 0 Van der Pol方程
& x1 = v, x2 = v
& x1 = x2 & x2 = − x1 − ε h′( x1 ) x2
z1 = iL , z2 = vC
1 z2 L 1 & z2 = − [ z1 + h( z2 ) ] C & z1 =
•混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，也 不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。 •特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。
1.2 示例 1.2.1 单摆方程
摆锤沿切线方向的运动方程： （k为摩擦系数）
&& & mlθ = −mg sin θ − klθ
取状态变量：
1.2.4 负阻振荡器
h( ) 满足以下条件：
h(0) = 0, h' (0) < 0 & h(v) → ∞ 当v → ∞, h(v) → −∞ 当v → −∞
iC + iL + i = 0
C dv 1 t v( s ) ds + h(v) = 0 + dt L ∫−∞
d 2v dv CL 2 + v + Lh' (v) = 0 dt dt
1 [ −h( x1 ) + x2 ] C 1 & x2 = [ − x1 − Rx2 + u ] L & x1 =
隧道二极管电路
0 = [ −h( x1 ) + x2 ]
0 = [ − x1 − Rx2 + u ]
h( x1 ) =
E 1 − x1 R R
的根为系统的平衡点
1.2.3 质量 弹簧系统 质量-弹簧系统
线性坐标变换：
z2 = cz1λ2 λ1 ,
c = z20 ( z10 )λ2
λ1
1. λ2 < λ1 < 0时
x = 0 称为稳定结点
2. λ2 > λ1 > 0时
x = 0 称为非稳定结点
3. λ2 < 0 < λ1时
x=0
称为鞍点
第二种情况
特征值为复数， 特征值为复数，λ1,2 = α ± j β
忽略高阶项：
雅可比矩阵在p点的计算值
向量形式表示： 其中：
& y = Ay
a A = 11 a21
对于中心的实Jordan型扰动：
µ 1 −1 µ
当μ>0，则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点。 当μ<0，则被扰动系统的平衡点是稳定焦点。
如果A没有实部为零的特征值，那么原点x = 0 & 就称为x = Ax的一个双曲平衡点。
当A有多重非零特征值时，无穷小的扰动会产生一对复特 征值，因此稳定（或非稳定）结点会继续保持为稳定（或 非稳定）结点，或者变为稳定（或非稳定）焦点。 当A有一个零特征值时，零特征值的扰动会得到一个实特征值 λ1=μ， µ可正可负。则此时被扰动系统有两个不相等的实数特征 值，平衡点的类型取决于λ2和µ的符号。
z1 (t ) = z10 + z20t z2 (t ) = z20
对于给定的任何正数ε，总存在一个正数δ，使得如果A的每一个 元素的扰动幅度都小于δ ，那么扰动矩阵A+ΔA的特征值都将在 以A的特征值为圆心，以ε为半径的开圆盘内。
& 如果x = Ax的平衡点x = 0是结点、焦点或鞍点， & 那么对于足够小的扰动，x = ( A + ∆A)x的平衡点 x = 0的类型将与之相同。 0的类型将与之相同。 如果平衡点是中心，情况则大不相同。
解：
Jr可取为：
λ1 0 0 λ 2
λ k 0 λ
α β
−β α
第一种情况
两个特征值都为实数， 两个特征值都为实数， λ1 ≠ λ2 ≠ 0
z = M −1 x
& z1 = λ1 z1 & z2 = λ2 z2
z1 (t ) = z10 eλ1t z2 (t ) = z20 eλ2t
x=0
称为非稳定焦点
3. α = 0时
x = 0 称为中心
第三种情况
多重非零特征值， 多重非零特征值， λ1 = λ2 = λ ≠ 0
& z1 = λ z1 + kz2 & z2 = λ z2
z1 (t ) = eλt ( z10 + kz20t ) z2 (t ) = eλt z20
z10 k z2 z1 = z2 + ln z20 λ z20
& x = f ( x)
f(x)看成状态平面的向量场
& x1 = x2 & x2 = −10sin x1
所有轨线或解的曲线称为系统的相图。
2.1 线性系统的特性
线性系统：
& x = Ax
x(t ) = M exp( J r t )M −1x 0
M −1AM = J r
M为实满秩矩阵 Jr为实Jordan型
(0.063, 0.758), (0.285, 0.61), (0.884, 0.21)
有摩擦力的单摆：
& x1 = x2 & x2 = −10sin x1 − x2
2.3 平衡点附近的特性
非线性系统：
& x1 = f1 ( x1 , x2 ) & x2 = f 2 ( x1 , x2 )
p=(p1,p2)是非线性系统的平衡点，并假设f1,f2连续可微。 在(p1,p2)处按泰勒级数展开：
当A有两个零特征值时，考虑四种可能的Jordan型扰动，四种情况 下被扰动系统的平衡点分别是中心、焦点、结点和鞍点。
0 −µ 2
1 µ , −µ 2 0
1 µ , 0 µ
1 µ , 0 µ
1 −µ
2.2 多重平衡点
隧道二极管电路：
, a12 =
x1 = p1 , x2 = p2
∂f1 ( x1 , x2 ) ∂x2 x = p ,x = p
1 1 2
2
∂f 2 ( x1 , x2 ) ∂f ( x , x ) , a22 = 2 1 2 ∂x1 ∂x2 x = p ,x = p x = p ,x
1 1 2 2 1 1
2 = p2
f1 ( p1 , p2 ) = f 2 ( p1 , p2 ) = 0
定义：
y1 = x1 − p1
y2 = x2 − p2
状态方程为：
& & y1 = x1 = a11 y1 + a12 y2 + H.O.T & & y2 = x2 = a21 y1 + a22 y2 + H.O.T
& y1 = a11 y1 + a12 y2 & y2 = a21 y1 + a22 y2
时间变量 状态变量
x1 x x = 2 M xn u1 u 2 u= M u p
输入变量
f1 (t , x, u) f (t , x, u) f (t , x, u) = 2 M f n (t , x, u)
& x1 = f1 ( p1 , p2 ) + a11 ( x1 − p1 ) + a12 ( x2 − p2 ) + H.O.T & x2 = f 2 ( p1 , p2 ) + a21 ( x1 − p1 ) + a22 ( x2 − p2 ) + H.O.T
a11 = a21 =
∂f1 ( x1 , x2 ) ∂x1
1. k = 0时
λ<0
λ >0
2. k = 1时
λ<0
λ >0
第四种情况
λ1 = 0, λ2 ≠ 0
一个特征值为零或两个特征值均为零
& z1 = 0 & z2 = λ2 z2
z1 (t ) = z10 z2 (t ) = z20eλ2t
λ1 = λ2 = 0
& z1 = z2 & z2 = 0
& z1 = α z1 − β z2 & z2 = β z1 + α z2
2 r = z12 + z2
θ = tan −1
z2 z1
& r = αr & θ =β
r (t ) = r0eα t
θ (t ) = θ 0 + β t
1. α < 0时
x = 0 称为稳定焦点
2. α > 0时
1.2.7 一般非线性问题
1, u > 0 sgn(u ) = 0, u = 0 −1, u < 0
u, sat(u ) = sgn(u ), u ≤1 u >1
作业： 作业：
第2章 二阶系统
二阶自治系统：
& x1 = f1 ( x1 , x2 ) & x2 = f 2 ( x1 , x2 )
自治系统的平衡点：
f ( x) = 0
本质非线性现象： 本质非线性现象：
•有限逃逸时间：非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷 •多孤立平衡点：非线性系统可以有多个孤立平衡点，其状态可能收 敛于几个稳态工作点之一，收敛于哪个工作点取决于系统的初始状 态。 •极限环：在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些 非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，这类振荡就是一个 极限环。 •分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激励 分频振荡、 下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产生 殆周期振荡。
&& my + F f + Fsp = F
Ff
为摩擦阻力
Fsp 为弹簧的回复力
位移较小时： 位移较大时：
Fsp = g ( y )
g ( y ) = ky
ay < 1
软化弹簧 硬化弹簧
g ( y ) = k (1 − a 2 y 2 ) y,
g ( y ) = k (1 + a 2 y 2 ) y
阻力Ff包括： 静摩擦力Fs 库仑摩擦力Fc 粘滞摩擦力Fv