矩阵论优秀课件

H-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则
AB = BA (kA)B = A(kB) A(B + C) = AB + AC (AB)C = A(BC) (AB)H = AH BH
Kronecker和Hadamard的关系：
定理6.3（P. 139） AB 可由AB的元素构成。
K-积与矩阵乘法 定理6.2（P. 138）设矩阵A，B，C，D使得 下列运算有意义，则有
对角矩阵
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN， 其中 H N H H N N //2 2 H H N N /2 /2 ,N 2 n,n 1 ,2 , ,H 1 [1 ]. 于是有 H N 1 1 1 1 H N /2H 2 H N /2 H 2 n . H N H N /2H N /2 I IN N / /2 2 II N N /2 /2 (I2 H N /2 )H ( 2 IN /2 )
K-积，H-积的基本结果：
A和B中有一个为零矩阵，则 AB=0，AB=0 II=I，II=I 若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为 对角矩阵。
K-积的基本性质
定理6.1（P. 138）设以下矩阵使计算有意义，则 • (kA)B = A(kB) • A(B + C) = AB + AC • (AB)C = A(BC) • (AB)H = AH BH • AB BA
的行列式为 |AB| = |BA| = |A|n |B|m • 若A，B是Hermite矩阵，则AB 和BA均是
Hermite矩阵 • 若A，B是酉矩阵，则AB和BA均是酉矩阵。
Kronecker与矩阵等价、相似关系
定理6.5（P. 141）
设矩阵A，B，为等价矩阵，则(AI)等价于(BI)
设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB) 相 似于(JAJB)
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
例题3 快速Walsh(Hadamard)变换 yN = HNxN， 其中 H N H H N N //2 2 H H N N /2 /2 ,N 2 n,n 1 ,2 , ,H 1 [1 ]. 于是有 H N 1 1 1 1 H N /2H 2 H N /2 H 2 n . H N I IN N / /2 2 II N N /2 /2 H N /2H N /2 (H 2 IN /2 )I2 ( H N /2 )
例题1 设
A
1 2
3 4,
B
3 0
01，计算
AA BB[[aaiijbjBij]]
AB，BA，I2B，AB，I2A
3 0 0 0
B I2 B 0
0 B
0 0
1 0
0 3
0
,
0
0 0 0 1
分块对角矩阵
AB2 1 3 043 ( 01)0 3 04, ABBA
I2A0 1 1210 4 11 00 4.
AA BB[[aaiijbjBij]]
3 0 3 0 3 0 9 0 AB101 3010 1 0 3,
A B
20301 40301
6 0 120 02 0 4
B
B A A312
3 4
1 3 3 9 0 02 46120
0 0,
01243 11243
0 0 1 3 0 0 24
6.1 K-积和H-积的定义
Kronecker与矩阵等价、相似关系
定义6.1（P. 136）
设矩阵 A=[aij]mn和 B=[bij]st ，则A和B的
Kronecker被定义为 AB： a11B a12 B a1n B
AB=[aijB]msnt
a21B
a22 B
a2
n
B
Baidu Nhomakorabea
a
m1
B
am2B
a
mn
B
设A =[aij]mn和 B=[bij]mn为同阶矩阵，则A和B的
Hadamard被定义为 AB： a11b11
AB= [aijbij]m n
a21b21
a12b12
a22b22
a1nb1n
a2nb2n
am1bm1
am2bm2
amnbmn
6.1 K-积和H-积的定义
例题1 设
A
1 2
3 4,
B
3 0
0 ，计算
1
AB，BA，I2B，AB，I2A
(AB) (CD) = (AC) (BD)
意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：设 AFmm ，B Fnn，则
AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB) = (ImB) (AIn) = (AIn) (ImB)
(AB) k = Ak Bk (A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2)
矩阵论优秀课件
概述：
主要内容： 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论
K-积，H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积，H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系
应用：求解矩阵方程
向量化算子
重点：K-积及其应用
6.1 Kronecker积和Hadamard积的定义
K-积特征值和特征向量
定理6.6（P . 142）设AFmm 的特征值、特征向量
分别是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分别 是 j ， yj，则
(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。
(AIn) +(ImB) 的特征值是i + j ，特征向量是
(xiyj)
Kronecker和，记为AB
(A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
6.2 Kronecker积和Hadamard积的性 质
Kronecker积的矩阵性质
定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则 • 当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为
可逆矩阵，而且有 (AB)–1 = A–1 B–1 • 当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn