同济大学高等数学第四版 详解 习题九

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习题九

1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π

4

t

=

; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).

解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===-

曲线在点π

4

t

=

的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭

当π

4

t =时， ,,222a b c x y z ===

切线方程为

2220a b c

x y z a c

-

--==-.

法平面方程为

0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即 22

022

a c ax cz --

+=. （2）联立方程组

2226

x y z x y z ⎧++=⎨

++=⎩ 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得

d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x

y z x x

⎧

+⋅+⋅=⎪⎪⎨

⎪++=⎪⎩ 解

得

d d ,,d d y z x z x y

x y z x y z

--==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00

d d 0,1d d M M y z

x x ==-

所以切向量为{1，0，-1}.

故切线方程为

121

101

x y z -+-==- 法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0

即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d d 22,21d d y z

y

m z x x

==- 于是

d d 1,d d 2y m z x y x z

==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2m y z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

,故切线方程

为

000

00

,112x x y y z z m y z ---==-

法平面方程为

00000

1()()()02m x x y y z z y z -+

---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2

t

在相应点的切线垂直于平面0x y ++=，并求相应的切

线和法平面方程。

解：1cos ,sin ,2cos

2t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}

1cos ,sin ,2cos 2

t

T t t =-,

已知平面的法向量为{1,1,2n =

.

且T ∥n ,

故

2cos

1cos sin 11

t t t

-==解得

π2t =，相应点的坐

标为π1,1,2⎛- ⎝

.且

{1,1T =

故切线方程为

π

1

1211x y -

+-==

法平面方程为

π

1102

x y z -

++--= 即

π042x y ⎛⎫

++-=+ ⎪⎝⎭

.

3. 证明：螺旋线x = acost, y = asint, z = bt 的切线与z 轴形成定

角。

证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为

{sin ,cos ,}T a t a t b =-.

与z 轴同向的单位向量为

{0,0,1}k =

两向量的夹角余弦为

cos θ=

=

为一定值。

故螺旋线的切线与z 轴形成定角。

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4. 指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。 解：z x =y , z y =x . 曲面法向量为{}1

,,1n y x =-.

已知平面法向量为{}2

1,2,1n =-. 且1n ∥2n ，故有112

y x

==--

解得x =2,y =-1,此时，z =-2.

即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

212

121

x y z -++==

--. 切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0. 5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z = x 2+y 2,点M 0(1,2,5); (2)z = arctan y

x

,点M 0(1,1,

π4

); 解：（1）0

2, 4.22y

x

m m m m z z y x ====

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为

z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

125

241

x y z ---==

- （

2

）

2

2

2

2

1

1,.22

y

x

m m m m y

x z z x y x y -==-==++ 故曲面在点M 0(1,1,

π

4

)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1

2

(y -1). 法线方程为

π11411122

z x y -

--==--.

6. 证明：曲面xyz = a 3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。

证明：设 F (x ,y ,z )=xyz -a 3. 因为 F x =yz ,F y =xz ,F z =xy ,

所以曲面在任一点M 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程为

y 0z 0(x -x 0)+x 0z 0(y -y 0)+x 0y 0(z -z 0)=0.

切平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为3x 0,3y 0,3z 0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

33000000

1119132727.

3336622

V z x y z a a x y ⎡⎤=⋅==⨯=⋅⎢⎥⎣⎦

它为一定值。

7.解：平面∏与曲面22z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法

向量为

}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--

从而平面∏的方程为：2450x y z ---= 又l 的方向向量为

110(1)11

i j k

s i j a k a ==-++--

由0n s ⋅=求得5a =-

在

l

上取一点，不妨取

01

x =求得

00(1).53y b z b =-+=+

由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得

2b =-.

8. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为

πππ

,,343

αβγ===

的方向导数。 解

：

(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂

22(1,1,2)(1,1,2)ππ

cos cos (2)()(3)

34

xy xz y yz z xy =++---

9. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：

{4,3,12},13.AB AB ==

AB 的方向余弦为

4312

cos ,cos ,cos 131313αβγ===

(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u

yz x u

xz y u

xy z

∂==∂∂==∂∂==∂ 故4312982105.13131313

u l ∂=⨯+

⨯+⨯=∂

10. 求函数22221x y z a b ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22

221x y a b

+=在这点的内法线方向的方向导数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

222

2220,x y b x

y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为