专题复习存在性问题

存在性问题

一、探索等腰（边）三角形的存在性

1．（09年十堰25题第2问）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）

与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边

形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

【解法指导】：本题第(2)问只要求△CMP 是等腰三角形，并没有指出哪条是腰，故应分类讨论。 要使△CMP 为等腰三角形，可以按CP=CM （以C 为圆心，CM 为半径）或MP=MC （以M 为圆心，MC 为半径）或PC=PM （P 在线段MC 的中垂线）分类讨论。

2．（09年中考题改编）如图，已知抛物线y=-2(x+m)2+k 的顶点坐标

为M(-2,18)， 且与y 轴交于C 点.

（1）求抛物线与x 轴的交点A,B （点A 在点B 的左边）的坐标； （2）在抛物线上存在点P ，使S △PAB =

9

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S △MAB ,求出P 点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使三角形DOC 是以DO 、DC 为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

二、探索直角三角形的存在性

1．（09年营口26题第4问）如图，正方形ABCO 的边长为5，以O

为原点建立平顺时针旋转α后得到正方形A 1B 1C 1O (α＜45º)，B 1C 1交y 轴 于点D ，且D 为B 1C 1的中点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A 1、B 1、C 1． (1)求tan α的值；

(2)求点A 1的坐标，并直接写出．．．．点B 1、点C 1的坐标；

(3)求抛物线的函数表达式及其对称轴； (4)在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使 △PB 1C 1为直角三角形？若存在，直接写出．．．． 所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解法指导】：本题应该分三种情况讨论： （1）、当∠PB 1 C 1=90°时，延长A 1B 1与对称轴的交点即为点P 1; （2）、当∠PC 1 B 1=90°时，延长C 1O 与对称轴的交点即为点P 2; （3）、当∠B 1 PC 1=90°时，以B 1C 1与为直径的圆与对称轴的交点即为点P 3，P 4。

2．（09年湛江28题第3问）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，

以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重

B

A y

O

C

x

A 1

B 1

C 1 D

合．

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三 点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y 取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标

【解法指导】：第（3）问以PD 为直角边的直角三角形PDQ 的直角 有两种情况:一是∠DPQ=90°，二是∠PDQ=90°，由(1)可知∠ CPD=90°，故知点C 符合条件。而当∠PDQ=90°时，DQ ∥PC ， 故由直线PC 的解析式可求直线PQ 的解析式，再由抛物线和直线PQ 的解析式联立的方程组，可求点Q 的坐标。

3.（2009白银市）如图（1），抛物线

2

2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点

C （0，3-）．［图（2）、图（3）为解答备用图］

（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）设抛物线

2

2y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积； （3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线

22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC

为直角边的直角图①

图②

三角形．

解：（1）3k =-，

A （-1，0），

B （3，0）．

（2）如图（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．

则 △AOC 的面积

=23，△MOC 的面积=

23

，

△MOB 的面积=6， ∴ 四边形 ABMC 的面积

=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．

（3）如图（2），设D （m ，322

--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322

--m m ＜0．

且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m

23

， △DOB 的面积=-23

（322

--m m ），

∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积

=6

29

232++-m m

图（1） 图（2） 图（3）