最新7.2截尾的极大似然估计
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题熊雄;庹恒【摘要】设{X k,1≤k≤n}独立且均服从参数为μ,λ,A,B的双截尾Cauchy分布,得到了矩估计的性质并给出了当参数μ,λ已知时,参数A,B矩估计的数值解法,得出了参数A,B的极大似然估计并证明了其他参数极大似然估计的存在性和强相合性,最后利用极端顺序统计量的渐近分布得到了参数A,B的近似区间估计.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】6页(P19-24)【关键词】双截尾Cauchy分布;参数估计;顺序统计量【作者】熊雄;庹恒【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105;中南大学数学与统计学院,湖南长沙411000【正文语种】中文【中图分类】O21Cauchy分布[1]是概率统计问题中常用的分布，其密度为f(x)=λ/π(λ2+(x-μ)2)，其中μ，λ为参数，μ∈(-∞,+∞),λ>0.Cauchy分布在许多领域有广泛的应用.如在背景图像中，像素点观测的时序波动来源于白噪声，2帧图像中对应像素间的灰度比值的分布服从Cauchy分布.[2]但是因为Cauchy的各阶原点矩均不存在，所以难以深入研究与数字特征有关的问题.双截尾Cauchy分布的密度为其中常数当参数λ=1,μ=0时,也称之为标准双截尾Cauchy分布.双截尾Cauchy分布的应用也很广泛.如在统筹方法中，任务的完成时间应服从双截尾Cauchy分布[3].直观来说，双截尾Cauchy分布的各阶原点矩均存在，这让数字特征的研究得以继续.因此，对双截尾Cauchy分布的参数估计进行讨论是很有必要的.匡能晖等[4]研究了标准双截尾Cauchy分布顺序统计量的若干性质，笔者从参数估计的基本原理出发，结合极端顺序统计量的概率性质，拟研究非标准双截尾Cauchy分布的矩估计性质及其数值解法.1 准备工作引入如下记号：记随机变量X有分布函数F(x)，并记α(F)=inf{x:F(x)>0},ω(F)=sup{x:F(x)<1}.引理1[5] 设X1,n,X2,n,…,Xn,n为任意在[A,B]取值的连续型随机变量的顺序统计量，则对于∀ε>0，有引理2[6] 若向量函数Ψ(X)存在m(m>2)阶连续偏导数，X是方程Ψ(X)=0的单根，当初值X0充分接近精确解X时，Newton迭代法收敛且至少为二阶收敛.引理 3[7] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在实序列{an},{bn}(an,bn>0)，对于一切x，当存在时，成立.引理4[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，若ω(F)<+∞，假定存在常数γ>0，对于一切x>0，有则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：序列{bn}取为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.引理5[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，假定α(F)有限，并记分布函数F*(x)=F(α(F)-1/x)(x<0)，若存在常数γ>0，对于一切x>0，有则必有实序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中，{cn}，{dn}分别取为cn=α(F),dn=sup{x:F(x)≤1/n}-α(F)；引理6[9] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…,Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若对于∀x∈X(X为样本空间)，有h(x;θ)>0且存在，又若∀θ∈Θ，则当样本容量n充分大时，以概率1似然方程至少存在1个解引理7[10] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…，Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若ln h(x;θ)关于参数θ是可微的且分布族是可识别的(即对于∀θ1,θ2∈Θ，{x:h(x;θ1)=h(x;θ2)}不是零测集)，则以概率1似然方程在n→∞时有解，且此解关于θ是相合的.2 主要结果假设参数μ，λ已知，考虑A,B的矩估计，就是考虑如下方程组的解：(1)其中：设由方程组(1)得到A,B的矩估计分别为AM,BM.首先，对于矩估计的可靠程度，由大数定律容易得到如下结论:定理1 矩法估计量AM,BM分别是参数A,B的弱相合估计，即(2)要得到方程组(1)的公式解，其难度异乎寻常，因此笔者研究其数值解.下面以标准双截尾Cauchy分布为例，说明其矩估计的算法步骤.(ⅰ)待解方程组为其中(ⅱ)寻找初值点.由引理2和引理2，可以取(X1,n,Xn,n)作为计算(A,B)的初值点. (ⅲ)利用Newton迭代法计算.将fj在初值点(X1,n,Xn,n)进行一阶Taylor展开，得(3)忽略方程组(3)中的余项，得(4)易知方程组(4)的解即为方程组(1)的近似解.现考虑线性方程组(4)的解，其系数矩阵就是函数对于未知参数的Jacobi矩阵：令f=(f1,f2)T,X=(A*,B*)T,X0=(X1,n,Xn,n)T，那么(2)式可以写成f(X0)+J(X0)(X-X0)=0,其解为X1=X0-J-1(X0)f(X0).重复这个步骤，便得到如下Newton迭代法的公式：Xk+1=Xk-J-1(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….Newton迭代法的优势在于平方范数收敛性，即‖Xk+1-X‖≤C‖Xk-X‖ .鉴于Newton迭代法的特性，剩余量范数不一定递减.为了保证剩余量范数递减，即‖f(Xk+1)‖≤‖f(Xk)‖(k=0,1,2,…)，考虑加入一个修正因子ωk，ωk>0，将解改写为Xk+1=Xk-J-1ωk(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….选择合适的ωk使得范数递减，这个办法被称为阻尼Newton迭代法.(ⅳ)确定算法的终止条件.由于阻尼Newton迭代法保证了剩余量范数递减，因此只要找到某一步的运算结果Xk并使得其满足一定的条件即可.给定允许误差值δ>0，若存在k∈N,s.t.‖Xk-X0‖≤δ，则有‖Xn-X0‖≤δ(∀n≥k).这里的矩估计算法只针对参数μ，λ已知的情形作出讨论.事实上，若A,B已知，要求解参数μ，λ的矩估计时，算法完全一致，只是初值点需要重新选择.定理2 设Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,X2,n,…,Xn,n是其顺序统计量，若λ,μ已知，则参数A,B分别有极大似然估计X1,n,Xn,n.证明考虑对数似然函数由X1,n≥A,Xn,n≤B，可得ln L(A,B)≤ln L(X1,n,Xn,n).再由ln x的单调性即得参数A,B的极大似然估计分别为X1,n,Xn,n.定理3 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B,μ已知，且关于λ的极大似然方程有解，则必存在一个解使得是未知参数λ的强相合估计.证明由引理6，只要证明考虑积分变换则以上积分就是其中Y=[A-μ，B-μ].由Abel判别法，该积分存在.再根据引理5，以概率1似然方程存在1个解定理4 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B，μ,λ的其中3个为已知，记未知参数为θ，则存在θ的强相合估计使得当样本容量n充分大时，它以概率1是似然方程的解.证明根据引理6和定理3可知，当样本容量n充分大时，以概率1似然方程存在1个解先证明强相合估计的存在性.由于泛函f(x;θ)在参数空间Θ上连续，因此，当θ→θ′时，对于一切x∈X，有f(x;θ)→f(x;θ′).由Scheffe定理[5]，当θ→θ′时，即C(x;θ)和C(x;θ′)的Kolmogorov距离为无穷小，从而存在参数θ的强相合估计，记为下面来证明关于参数θ的似然方程有解且与强相合估计几乎处处相等.现只要证明当n→∞时，以概率1似然方程有解.显然双截尾柯西分布的密度函数满足引理7的条件，因其密度函数f(x)在定义域上连续，故以概率1似然方程有解. 此外，设为似然方程的一个解，由三角不等式，得这说明是参数θ的强相合估计.最后，先给出非标准双截尾Cauchy分布极端顺序统计量的渐近分布，再导出参数A,B的近似区间估计.定理5 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.证明对于Xk的分布函数F(x)，有ω(F)<∞，则对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=2.由引理4，取an=0,bn=t，则又因为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}，所以1-F(t+0)≤1/n≤1-F(t).即故1-F(t+0)≥1-F(tx)(x>1).从而下面令ε→0，对于∀x>1，有再由引理4可得定理5成立.定理6 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则有序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中：cn,dn分别取为cn=μ,dn=sup{x:F(x)≤1/n}-μ.证明对于双截尾Cauchy分布的分布函数F(x)，有α(F)=A,则分布函数F*(x)(F*(x)=F(A-1/x),x<0)满足：对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=1.根据引理3，结合定理5的证明方法可得定理6成立.定理7 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数λ,μ已知，X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则当样本量n充分大时，参数A,B分别有近似区间估计其中0<α<1为显著性水平.证明先考虑参数A的区间估计.由定理又根据序列{cn},{dn}的选择可知，对于任何固定的x>0，cn+dnx→Ax+μ(1-x)(n→∞).于是当样本容量n充分大时，P{X1,n≤Ax+μ(1-x)}≈L2,1(x) n→∞.(5)特别地，取L2,1(x)=1-α，得x=-ln α.经过整理，(5)式变成另一方面，显然A≤X1,n，那么再考虑参数B的区间估计.根据定理又根据序列{bn}的选择可知，bn→ω(F)=B(n→∞).仿照前面的证明，取一个固定的ε=1，于是当n充分大时，以概率1 1+B≥Xn,n成立，从而参考文献：[1] 邓集贤，杨维权，司徒荣，等.概率论及数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2009:295-300.[2] 明英，蒋晶珏.视觉监视中基于柯西分布的统计变化检测[J].中国图象图形学报，2008,13(2)：328-334.[3] 何永济.统筹方法中一任务的完成时间X应服从截尾Cauchy分布[J].武汉水利电力学院学报，1984(1)：85-92.[4] 匡能晖，陈勇.双截尾的Cauchy分布顺序统计量的渐进分布[J].北京大学学报(自然科学版)，2011,47(3):385-388.[5] 林元烈，梁宗霞.随机数学引论[M].北京：清华大学出版社，2003：123-136.[6] 黄云清,舒适.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2004:158-168.[7] NADARAJAH S.Explicit Expressions for Momentsof OrderStatistic[J].Statistics & Probability Letters,2008,78(2):196-205.[8] THOMAS P YAGEEN,SAMUEL PHILIP.Recurrence Relations for the Moments of Order Statistics from a BetaDdistribution[J].Statistical Papers,2008,49(1):139-146.[9] 茆诗松.高等数理统计[M].北京：北京大学出版社，2003：123-136.[10] 熊雄，匡能晖.三参数的Pareto分布顺序统计量的渐进分布[J].四川大学学报(自然科学版),2012,49(5):975-978.。
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断作者：季丹丹闫在在来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第03期摘要：近几年，针对缺失数据的处理这方面的应用研究大量涌现，使得缺失数据下的可靠性理论迅速发展.而在可靠性试验和寿命试验中，截尾方案能在试验所花费的总时间、单元个数和基于试验结果的统计推断效率之间取得平衡.在这种情况下，一种自适应的截尾方案被提出来，并且被许多专家学者研究应用.因此本文讨论，基于自适应逐次II型截尾样本，提出了EIG分布的统计推断理论等问题.对于未知参数，提出了极大似然估计（MLEs）.利用MLEs的渐近正态性得到参数的近似置信区间.并运用一组真实数据进行模拟讨论.关键词：EIG分布；截尾数据；极大似然估计；自适应逐次II型截尾中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）03-0013-051 引言许多情形下，考虑到费用和时间的原因，寿命测试验通常在所有测试单元都失败前终止.这种情况下，人们只能得到部分样本的失效时间，这些数据即为截尾数据.在过去的50年里，一些专家学者已经在研究和讨论基于截尾样本的参数统计推断问题.最常见的截尾方案大体分两种，I型（定时）截尾和II型（定量）截尾.其中I型截尾表示寿命试验在规定的时间T内终止，II型截尾则表示寿命试验在第m次失效时终止，其中m是提前设定的.逐次II型截尾方案是II型截尾方案的推广形式，表示假设有n个单元置于寿命试验中，而只有m个失效单元被观测到.在观测到第一个失效单元时，在剩余的未失效单元中随机移除R1个单元.同样的，在观测到第二个失效时间时，R2个单元被随机移除.寿命试验将在m个失效单元都被观测到终止，最后将Rm=n-R1-R2-…-Rm-1个未失效单元全部移除.产生逐次型截尾样本数据的原因很多，如有些航空航天、核反应堆等零部件，其试验消耗成本过高，为节约时间和费用，通过检验后，人们通常会在未失效的产品中取出一部分作为他用.这样即节约了成本又知道了产品的特性.再如，对某些产品进行跟踪调查时，出于某些原因，使得一些使用者在某个时间后失联，因而我们对这批产品也就只掌握了部分数据.对于逐次截尾的广泛的回顾与讨论，读者们可以参考Aggarwala（1998）[1]、alakrishnan（2008）[2]、Fernandez（2004）[3]、Soliman （2008）[4]和Chansoo K和Keunhee H（2009）[5].2 自适应逐次II型截尾试验Ng et al.[7]提出一个自适应逐次II型截尾方案，它是I型截尾和II型逐次截尾的混合，既节约了试验成本，又增加了统计分析效率.6 结语本文介绍了截尾樣本的由来及种类，并由广义逐次II型截尾试验，引入并阐述了自适应逐次II型截尾试验的实施过程.由于截尾数据的广泛应用性，本文基于自适应逐次II型截尾样本，讨论了EIG分布所含参数的极大似然估计和近似置信区间，并运用真实例子模拟讨论.参考文献：〔1〕Aggarwala R.， Balakrishnan N.. Some properties of progressive censored order statistics from arbitrary and uniform distributions with applications to inference and simulation[J]. Statist. Plann. Inference， 1998，70（1）：35-49.〔2〕Balakrishnan N.， Anna Dembinska. Progressively Type-II right censored order statistics from discrete distributions[J]. Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138（4）：845–856.〔3〕Fernandez A. J. On estimating exponential parameters with general type-II progressive censoring[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2004，121（1）：135-147.〔4〕Soliman， Ahmed A. Estimations for pareto model using general progressive censored data and symmetric loss[J]. Communications in statistics-theory and methods， 2008，37（9）：1353-1370.〔5〕Chansoo K.， Keunhee H. Estimation of the scale parameter of the Rayleigh distribution under general progressive censoring[J]. Journal of the Korean Statistical Society， 2009，38（3）：239-246.〔6〕季丹丹.一种拓展的逆高斯分布的性质及应用[D].内蒙古：内蒙古工业大学，2017.〔7〕D. Kundu， A. Joarder， Analysis of Type-II progressively hybrid censored data[J]，Comput. Stat. Data Anal. 2006，（50） 2258–2509.〔8〕H.K.T. Ng， D. Kundu， P.S. Chan， Statistical analysis of exponential lifetimes under an adaptive Type-II progressive censoring scheme[J]， Naval Res. Logist.2009，（56） 687–698.〔9〕Rezapour M.， Alamatsaz M. H. On properties of progressively Type-II censored order statistics arising from dependent and non-identical random variables[J]. Statistical Methodology，2013，10（1）：58-71.〔10〕Mashail M. AL Sobhi， Ahmed A. Soliman. Estimation for the exponentiated Weibull model with adaptive Type-II progressive censored schemes[J]. Applied Mathematical Modelling，2016，40（2）：1180–1192.〔11〕Nassar M. Estimation of the inverse Weibull parameters under adaptive type-II progressive hybrid censoring scheme[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2017，315：228–239.〔12〕魏宗舒.概率論与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.〔13〕N.Balakrishnan， Rita Aggarwala， Progressive Censoring Theory，methods and Applications[M]. Statistics for industry and technology， 1956.〔14〕Rezaei S， Tahmasbi R， Mahmoodi M. Estimation of P[Y < X] for generalized Pareto distribution [J]. J Statist Plan Inference. 2010，140：480-494.〔15〕Greene W H. Econometric Analysis： Fourth Edition [C]. Upper Saddle River， NJ. 2000.〔16〕Alan A. Categorical Data Analysis （2nd Ed.） [J]. Journal of the Royal Statistical Society， 2002， 40（4）.〔17〕Valiollahi R， Asgharzadeh A， Raqab MZ.Estimation of P[Y〔18〕Saracoglua B， Kinacia I， Kundu D. （2012） On estimation of R=P[Y〔19〕 Childs A， Chandrasekhar B， Balakrishnan N， Kundu D.Exact inference based on type-I and type-II hybrid censored samples from the exponential distribution[J]. Ann Inst Stat Math 2003，55：319-330.〔20〕Balakrishnan，Cramer，Kamps. Bounds for Means and Variances of Progressive Type II Censored Order Statistics[J]. Statist Probab. Lett.2001，54，301-315.〔21〕Balakrishnan，N.，Cramer，E.，Progressive censoring from heterogeneous distributions with applications to robustness[J]. Ann.Inst.Statist.Math.2008，60：151-171.〔22〕Guilbaud. Exact non-parametric confidence intervals for quantiles with progressive type-II censoring[J].Scand.J. Statist. 2001，28：699-713.〔23〕Guilbaud O.， Exact non-parametric confidence， prediction and tolerance intervals with progressive type-II censoring[J]. Scand. J.Statist.2004，31：265–281.〔24〕U Balasooriya， N Balakrishnan. Reliability sampling plans for lognormal distribution based on progressively censoredSamples[J]. IEEE Trans. Reliab. 2000，49：199–203.。
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
最大似然估计计算公式
最大似然估计计算公式
最大似然估计是一种统计方法，用于估计一个模型中的未知参数值。
它基于观察到的数据，通过找到使得观察数据出现的概率最大的参数值来进行估计。
最大似然估计的计算公式如下：
假设我们有一个总体数据集，其中包含n个观测值。
我们希望估计一个参数θ，使得在给定这些观测值的情况下，出现这些观测值的概率最大。
我们可以利用似然函数L(θ)来表示这个概率。
似然函数L(θ)可以定义为观测值的联合概率密度函数（如果观测值是连续的）或联合概率质量函数（如果观测值是离散的）。
假设每个观测值都是独立同分布的，那么似然函数可以写作L(θ) = f(x₁;θ) * f(x ₂;θ) * ... * f(xₙ;θ)，其中f(x;θ)表示观测值x在给定参数θ下的概率密度函数或概率质量函数。
为了找到最大似然估计，我们需要最大化似然函数L(θ)关于参数θ的值。
通常是通过对似然函数取对数，将乘法转化为加法，从而简化计算。
我们得到对数似然函数logL(θ) = log(f(x₁;θ)) + log(f(x₂;θ)) + ... + log(f(xₙ;θ))。
最大似然估计的计算公式可以写作：
θ^ = argmax(logL(θ))
即找到使得logL(θ)取得最大值的参数θ^。
一般情况下，我们使用数值优化方法（如梯度下降法或牛顿方法）来求解这个最优化问题，找到使得logL(θ)最大化的参数值θ^。
最终，θ^就是对未知参数θ的最大似然估计值。
通过最大似然估计，我们可以使用观测数据来估计模型中的未知参数，从而使得模型能更好地拟合观测数据，并进行各种统计推断和预测。
概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
引例 设总体 X 服从0-1分布，且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值。 解 X 的概率分布可以写成
P ( X x ) p x (1 p)1 x , x 0,1
设 X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本, 设 x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值, 则
P ( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn )
p i1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
L( p)
,n
6
xi 0,1, i 1, 2,
对于不同的 p ,L (p)不同，见右下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 p 0.4 0.6 0.8 1
由
l ( ) n ln xi
i 1
n
1 ˆ 得 的最大似然估计为 xn
28
dl n xi 0 d i 1
n
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 x 1 , 0 x 1 其中 >0, 求 的最大似然估计. 解：似然函数为
似然函数为：
L( , )
2 i 1
n
1 2
exp{
1 2
2
( xi ) }
2
24
对数似然函数为：
l ( , ) ln L( , )
2 2n n 1 2 ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
( x
i 1
n
i
)
2
, k.
解k个方程组求得1 ,
,k的最大似然估计值。
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
定数截尾下 Burr Type XII 分布的统计推断
定数截尾下 Burr Type XII 分布的统计推断王雪琴;李凤;张福玲【摘要】基于定数截尾样本，讨论了Burr Type XII 分布的参数估计，得到了位置参数的极大似然估计和逆矩估计，并利用随机模拟进行比较，模拟结果表明逆矩估计优于极大似然估计。
%Based on the progressive Type II censored , the inverse moment is estimated and the maximum likelihood estimators ( MLE) for the Burr Type XII distribution are obtained .Finally, the two estimators are compared by using simulation , and the simula-tion results show that the proposed estimators outperform the MLE .【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】3页(P41-43)【关键词】Burr Type XII 分布;定数截尾;极大似然估计;逆矩估计【作者】王雪琴;李凤;张福玲【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000;渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000;渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000【正文语种】中文【中图分类】O211.6;O212.1寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重要手段。
通过寿命数据分析，确定寿命分布类型以及获得其参数的估计，或者得到寿命分布本身的估计,最终可以定量地把握系统或部件寿命的性状，并把所获的信息反馈到设计、制造和使用维修中去，以期改善可靠性、降低成本或合理安排维修和更换，使之获得更好的使用价值和经济效果。
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
极大似然估计和矩估计
极大似然估计和矩估计
极大似然估计和矩估计是统计学中常用的参数估计方法。
极大似然估计是指在给定一组观测数据的情况下，寻找最能解释这些数据的模型参数值的方法。
具体而言，我们需要在模型的参数空间中找到一个使得观测数据的似然函数最大的参数值。
似然函数是参数的函数，描述了给定参数下观测数据出现的概率。
极大似然估计的优点是它是渐进无偏的、有效的和一致的，但缺点是它需要知道分布函数的形式，并且在计算中可能会受到样本量的限制。
矩估计是指通过样本矩来估计未知参数的方法。
这些样本矩可以看作是从总体矩中抽取的矩的估计，因此矩估计也称为矩法。
矩估计的优点是它不需要知道分布函数的形式，可以使用有限的样本数据进行估计，并且可以用于多维参数的估计。
但矩估计的缺点是它可能会受到样本量的限制，且估计结果通常比极大似然估计的结果更不精确。
总的来说，极大似然估计和矩估计都是重要的参数估计方法，具有各自的优缺点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据数据的特点和需要进行选择。
- 1 -。
随机截尾情形下几何分布的参数估计
随机截尾情形下几何分布的参数估计何朝兵;刘华文【摘要】得到了随机截尾情形下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(035)001【总页数】4页(P29-32)【关键词】随机截尾;几何分布;最大似然估计;置信区间;中心极限定理【作者】何朝兵;刘华文【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000;山东大学数学学院,山东济南250100【正文语种】中文【中图分类】O213.2几何分布是一种很重要的离散型寿命分布,并且与指数分布有许多相似性,例如都具有无记忆性等.对几何分布的研究虽然没有指数分布那么成熟,但也有一些研究成果,可参看文献[1～10].文献[11～13]研究了随机截尾试验下连续型分布的参数估计,而对于几何分布情形还没有文献研究.本文得到了随机截尾试验下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.1 离散型寿命随机截尾试验模型设受试产品寿命X1,X2,…是相互独立、同分布且取正整数的随机变量序列,Xi的分布律为P(Xi=m)=P(m;p),i=1,2,…,这里p是参数.寿命截尾时间Y1,Y2,…是相互独立、取正整数的随机变量序列,Yi的分布律为P(Yi=m)=gi(m),i=1,2,…,gi(m)与参数p无关.假定Xi与Yi相互独立.现在有n个产品进行寿命试验.设观察到的数据为{Zi},i=1,2,…,n.每个Zi如下取值.(1) 当Xi≤Yi时,产品在截尾之前失效,此时知道产品寿命的确切值,故取Zi=Xi;(2) 当Xi>Yi时,产品寿命大于截尾时间,此时只知道截尾时间而不知道产品寿命,故取Zi=Yi.综上知Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi).再取i=1,2,…,n.在试验结束时,可得到n组观察值:(m1,δ1),(m2,δ2),…,(mn,δn),这就是我们能获得的随机截尾试验数据.为求似然函数,先求Zi与δi的联合分布律.P(Zi=mi,δi=0) =P(Yi=mi,Xi≥mi+1)=P(Yi=mi)P(Xi≥(k;p),P(Zi=mi,δi=1)=P(Xi=mi,Yi≥mi)=P(Xi=mi)P(Yi≥mi)=P(mi;,故Li(p) =[P(mi;δi(k;p)]1-δi,mi=1,2,… ; δi=0,1.则似然函数,由于截尾时间分布中不含未知参数p,故若记,则.2 随机截尾情形下几何分布参数的极大似然估计当产品寿命Xi服从几何分布Geo(p)时,(Z1,δ1),(Z2,δ2),…,(Zn,δn)的联合分布律,即似然函数为,对上述似然函数求对数,令其导数为零可得p的极大似然估计为δi/,而平均寿命θ=1/p的极大似然估计为/δi.如果Yi服从几何分布Geo(p0),可以求出的数学期望与方差定理在随机截尾寿命试验中,若产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),产品平均寿命为θ=1/p,为θ的极大似然估计,则;,其中 , b=qq0 , ,q=1-p,q0=1-p0.证明此时,则似然函数,令 , b=qq0 , ,则.的数学期望为的数学期望为3 随机截尾情形下几何分布参数的区间估计假设产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),下面讨论p的区间估计.设δi,则N服从二项分布b(n,p1).若N=r,由文献[14]知p1的1-α置信区间为,,其中,,而Fα/2(2r+2,2n-2r)是F分布F(2r+2,2n-2r)的下α/2分位点.由,得,则p的1-α置信区间为,,其中,上面求置信区间时只用了(δ1,δ2,…,δn),而未用(Z1,Z2,…,Zn),下面我们利用(Z1,Z2,…,Zn)再求出一个置信区间,然后取它们的并集作为最后的置信区间,这样一来,样本的信息都用到了.由于Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi)服从几何分布Geo(p2),p2=1-qq0,所以E(Zi)=1/p2,Var(Zi)=q2/.由中心极限定理知～AN(n/p2,nq2/,则≤,zα/2为标准正态分布的上α/2分位点.经过简单计算,得p2的1-α置信区间为[x1,x2],x1<x2,其中x1,x2是下面方程的根, .由p2=1-qq0,得,则p的1-α置信区间为,.设,,∪,,则P(p∈,≥1-α,所以,为p的1-α近似置信区间.参考文献[1] BHOJ D, ABSANULLAH M.Estimation of the generalized geometric distribution using ranked set sampling[J]. Biometrics,1996(52):685-694. [2] FERGUSON T S. A characterization of the geometric distribution[J].Amer Math Mothly,1972,27(2):256-260.[3] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布的统计特征[J].数学年刊A辑(中文版),1998,19(2):155-164.[4] 毛用才.基于顺序统计量的几何分布特征的进一步结果[J].纯粹数学与应用数学,1995,11(2):115-119.[5] 徐晓岭,费鹤良,王蓉华.几何分布的两个统计特征[J].应用概率统计,2006,22(1):10-20.[6] 杨振海,王松桂.几何分布的参数估计及应用[J].应用概率统计,1998,14(1)：31-37.[7] 吴绍敏,程细玉.几何分布恒加应力寿命试验下的混合数据分析[J].华侨大学学报,1997,18(1):6-10.[8] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计[J].强度与环境,2009,36(2):51-63.[9] 魏立力,张文修.几何分布的一类贝叶斯停止判决法则[J].应用数学学报,2003,26(3):181-185.[10] 刘银萍.截断情形下几何分布的参数估计[J].东北师大学报(自然科学版),2009,41(3):14-16.[11] 陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性[J].应用概率统计,1989,5(3):226-233.[12] 杨纪龙,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE的相合性及渐近正态性[J].应用概率统计,2000,16(1):9-19.[13] 陈怡南,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE[J].数理统计与应用概率,1996,11(4):353-363.[14] 茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008:128.。
基于截尾数据对女性寿命的估计
第 １ 期
刘 小 锋 等 ： 基 于截 尾 数 据 对 女 性 寿 命 的估 计
４ ５
子 的概率 。Ｃ ：如 果 一个 女性 移居 ，则 Ｃ是她 的移 居 年龄 ，否 则 ｃ 妄∞，ｃ～Ｇ．Ａ：若一 个 女性 的丈夫 在她 生第 Ｊ Ｖ个孩 子 后死 亡 ，此 时女 性 的年龄 是 Ａ，否则 Ａ＝Ｏ ，则 Ａ拥 有 一个 未知 的分 布 函数 Ｄ，Ｄ 是 绝对连 ＿ｏ
ｍａ ｉ ｘ ｍｕｍ ｋ ｌｈ ｏｄｍｅ ｈ ｄ ｗａ ｓ ｄ ｔ ａ ｅｅ ｔｍａｅ ｈ ｋ ｏ ａ ａ ｔｒ ｎ ｔ ｅｍｏｄ １ ｌ ｅ ｉ ｏ ｔ ｏ ｓｕ ｅ ｈ ｖ ｓｉ ｔｄ ｔ ｅｕｎ ｎ ｗｎ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓｉ ｈ ｉ ｏ ｅ．
许 多 国外统 计学 家 ，根据 英 国十七 、十八世 纪堂 区登记 册上 的数 据 ，用 不 同的方法 估计 了 当时人们 的
续 的 。Ａ １ ｃ表 示一 个 女性 的死 亡年 龄 是否 被 登记 。 ＝ ）
１ Ｍ≤ Ｔ人Ｃ） 示 一个 女性 的结婚年 龄 是否被 ｛ 表
登 记 。 Ｗ＝ ｛ Ⅳ≤ Ａ ≤ Ｃ＾Ｔ 】表 示 一 个 女 性 的 丈 夫 死 亡 时 她 的 年 龄 是 否 被 登 记 。 ＩＢ Ｎ ｍａ ｛ｔ Ｉ ＝ ｘ ｉ ： ≤ 人ＣＡＣｐ￣ ～个 女 性生 育孩 子的 个数 。ｃ 表 示 女性 更 年期 开始 的 年龄 ，并 假 定所有 ＞ Ｂ ｝ ｍ 女性 更年 期 开始 的年 龄 一样 。 ｙ ｍｉ｛ ，Ｙ ， ｖ － ｘ ｘ ） ＝ ｎｘ 】 ｍａ ｛ ，Ｙ ． ｙ 下面 是 关于 一个 女性 的观 察 值 ：
寿命 。登记册 上包括 所有 生活在 这个 堂区 的人 的出生 、结婚 、生 子 、孩子 或配 偶 的死 亡和 本人 死亡 的 日期 。
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
ｊ
Ｈ （ｅ ） ｅ 。 － Ａ一 一 ）３ １． ｉ
ｆ Ｉ ＝
删失情形 下 的参 数 估计 却 不 是那 么 简单 ，例 如在
文献 ［ ］ 中对定数截 断情形下 的离散 型分 布泊松 ２ 分布 的参 数估 计 问题 进 行 了 讨论 ，但 对 连 续 型分 布却没有 给出进一步 的结论 ． 本 文就是 讨 论在 定 数 截 断 和随 机 删 失这 两 种
进 一步 可得对数 似然 函数 为 ：
ｌ （） ＝ ∑ ｌ （ｅ ） ） ＝ ｎＡ Ｌ ｎ Ａ ｅ 卜 ］ ［
ｉ １ ：
主 １ —Ｙ１ ． ［ ８ Ａ（一 ｎ一 ｈ ｏ ］
对 Ａ求 偏 导 得 ： Ｙ（ ） ． ｏ １一 ］ ＝
ｉ ｌ ＝
情形 下截尾指 数分布 的参数估计 问题 ． １定数截 断情形下 的参数估计 设 Ｘ为非 负 随 机 变量 ， Ｘ 表示 服从 参 数 为 用
＋
２ １ 年第 １ ０１ 期
陆
安 ：两种截断 和删 失情形下截尾指数分布 的参数估计
‘３ ・ ５
设 Ｘ＝（
．， ）为观 测数 据所 组 成 的向量 ， －
霉． … 一Ａ擎 ０） ． ２ ： ｌ ｎ Ｌ （
：
由于种 种原 因 ， 者 没 有 观 测 到 ｘ， 观 测 到 了 Ｙ 笔 只
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
陆 安
（ 安徽大 学数学科 学学院 安徽合肥
关键 词 ：截尾 指数 分布 定数 截 断 随机删 失
２０ ３ ） ３ ０ ９
Ｅ 算 法 Ｍ
极 大似然估 计
中图分类号：０２２１ 文献标识码： 文章编号：１７ ９４ ２ １）０ — ０４一 （３ １． Ａ ６４— ５５（０１ １ ０３ ０） 所 谓截 尾指 数 分 布 ，即指 服 从 指数 分 布 的随 机变量 均为 非负 的情 况．截 尾 指 数分 布 是 概 率统 计 中一种重 要 的分 布 ，也是 生 存 分 析 中最 重 要 的 参数模 型 之一 ．在 实 际应用 中 ，常 用 截 尾 指 数分
《极大似然估计法》PPT课件
x;
)
1
e
x
,
0 ,
x0 other
( 0)
今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？
16 29 50 68 100 130 140 270 280
340 410 450 520 620 190 210 800 1100
9
L( )
n i 1
1
e
xi
5
(1) 写出似然函数
n
L( p) pxi (1 p)1xi i 1
(2) 对似然函数取对数，得到对数似然函数:
n
l( p) [xi ln p (1 xi ) ln(1 p)] i 1
n
n ln(1 p) xi[ln p ln(1 p)] i 1
y(n)
y(n 1)
y(n N 1)
y(1) u(n 1) y(2) u(n 2)
y(N) u(n N)
u(1)
u(2)
u(N )
e Y
17
由于e(k)是均值为零的高斯不相关序列，且与{u(k)}
不相关，于是得到似然函数：
e n
1
n i1
xi
ln
L
n
ln
1
n
i 1
xi
d ln L
d
n
1
2
n
i 1
xi
0
ˆ
1 n
n
定数截尾试验数据缺失的一些处理方法的探讨
定数截尾试验数据缺失的一些处理方法的探讨田霆【摘要】在电子产品定数截尾试验中,常会遇到数据缺失的问题.如何对“缺失数据”后的现有数据进行统计分析,是一个特殊的、有较大难度的问题.寻找在缺失数据条件下对不完全数据的处理进行科学、有效的可靠性分析方法,现已成为可靠性分析中一个新的、重要的领域.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2014(032)003【总页数】3页(P11-13)【关键词】指数分布;定数截尾数据缺失;似然函数;Taylor展开;极大似然估计【作者】田霆【作者单位】华侨大学数学科学学院,福建泉州362021【正文语种】中文【中图分类】TB1140 引言在平时上课给工科学生讲解《概率论与数理统计》 [1] （浙江大学版第四章第二节）“基于截尾样本的最大似然估计”时，常常遇到学生提出在处理实际问题时，若遇到数据缺失问题，用常用的统计方法不能很好地解决，在实际应用中遇到此种问题该如何有效地处理。
这就需要探讨关于电子产品定数截尾试验中遇到的数据缺失的一些处理方法。
可靠性是产品寿命指标的总称，故产品的寿命指标又被称为产品的可靠性指标，它反映了一个产品在规定时间内和规定条件下，完成规定功能的能力。
现在从一个电子元器件、一台电视机到一台设备、一个系统都在研究可靠性指标。
随着科学技术的发展，产品的可靠性愈来愈受到人们的重视。
为了弄清被试产品的寿命，求出各项可靠性指标，研究产品的失效机理，以便对提高产品可靠性提出建议，常常需要进行寿命试验。
因为只有暴露故障才能了解产品的寿命和失效原因。
寿命试验按样品的失效情况又分为两类：a）完全寿命试验。
这种试验要进行到投试样品全部失效为止。
b）截尾寿命试验。
这种试验只是要求进行到投试样品中有部分失效就停止。
譬如有50%或70%投试样品失效就中止的试验就是截尾寿命试验。
截尾寿命试验又可分为两类：1）试验到事先规定的时间τ就停止的试验，这叫做定时截尾寿命试验（或称为Type-I截尾）；2）失效数达到规定的失效数r（＜n）就停止的试验，这叫做定数截尾试验（或称为Type-II截尾）。
概率论与数理统计：7-2基于截尾样本的最大似然估计
t1
t
2
tm
(
n
m
)
tm
]
对数似然函数为
ln
L()
m
ln
1
[t1
t2
tm
(n
m)tm
],
令 d ln L() 0, d
则
m
1 2
[t1
t2
tm
(n
m)tm
]
0,
得到 的最大似然估计为 ˆ s(tm ) . m
其中 s(tm ) t1 t2 tm (n m)tm 称为总 试验时间, 它表示直到时刻tm 为止 n 个产品的 试验时间的总和.
(二)定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时 同时投入试验, 试验进行到有m 个(m 是事先规 定的, m n) 产品失效时停止, m 个产品的失效 时间分别为 0 t1 t2 tm , 这里 tm 是第m 个产品的失效时间, 所得的样本t1, t2 ,, tm 称 为定数截尾样本.
均寿命θ的最大似然估计.
解 n 50, m 15, s(t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
8270,
的最大似然估计为 ˆ 8270 15
551.33 (小时).
第二节 基于截尾样本的最 大似然估计
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计
一、基本概念
1.寿命分产布品:寿命T 是一个随机变量,它的分布称
为寿命分布.
2.完全样本:
将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时,同时 投入试验, 直到每个产品都失效. 记录每一个产 品的失效时间, 这样得到的样本(即由所有产品 的失效时间0 t1 t2 tn 所组成的样本)叫 完全样本. (一种典型的寿命试验)
【国家自然科学基金】_ⅱ型截尾_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
科研热词 推荐指数 收敛速度 2 ⅱ型截尾 2 逐步增加的ⅱ型截尾 1 逐步增加ⅱ型截尾 1 逐步增加ⅱ型 1 负相关 1 置信区间 1 经验bayes检验 1 经验bayes估计 1 累积和 1 简单步加试验 1 混合广义指数分布 1 混合ⅱ型截尾 1 极大似然估计 1 截尾数据 1 截尾 1 强相合 1 密度函数的核估计 1 均值变点 1 可靠性指标 1 双参数指数分布 1 参数估计 1 危险函数 1 冷贮备串联系统 1 weibull分布 1 rayleigh分布 1 lindely bayes近似算法 1 k(m)/n系统 1 em算法 1 eb估计 1 bayes法 1 bayes估计 1
推荐指数 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
科研热词 逐步增加ⅱ型截尾样本 逐步增加ⅱ型 逐步ⅱ型截尾 逆矩 贝叶斯估计 混合威布尔分布 极大似然估计 最短可信区间估计 指数分布 截尾寿命试验. 恒定应力加速寿命试验 容许性 完全数据 pareto分布 gibbs抽样 em算法 ecm算法 bayes估计
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
科研热词 推荐指数 逐步增加ⅱ型截尾 3 可靠性评估 2 pareto分布 2 bayes估计 2 风力发电机组 1 预测精度 1 随机移走 1 逐步增加ⅱ型 1 逐步增加ⅰ型截尾 1 逐步增加i型区间截尾 1 贝叶斯估计 1 航天器电源系统 1 置信区间 1 系统可靠性分析 1 火箭发动机储备数 1 条件分布 1 最大似然估计 1 方差系数 1 指数分布 1 恒加试验 1 屏蔽数据 1 可靠性指标 1 可靠性增长预测 1 可靠性分析 1 双参数指数部件 1 具有随机移走逐步增加ⅱ型截尾试验 1 先验分布 1 二项随机移走 1 k/n(g)系统 1 gibbs抽样 1 bayes方法 1
极大似然估计
是一个样本值
似然函数为 13
似然函数为
因为 对于满足
即
在
等价于
的任意
有
时,取最大值 14
似然函数为
即
在
故
时,取最大值 的极大似然估计值为:
故
的极大似然估计量为:
15
例5 指数分布的点估计
某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布
X:
p(
x;
)
1
e
x
,
x0
( 0)
0 , other
令
解得
解得
p的极大似然估计值
p的极大似然估计量
它与矩估计量是相同的。
9
例2
设总体X的分布列为：
似然估计值。 解：
似然函数为
10
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
11
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, ，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
12
例4 设
求
解设
未知， 的极大似然估计量. 的概率密度为：
d ln L( ) 0. d
若母体的分布中包含多个参数，
即可令 L 0,i 1, , k.
i
或 ln L 0,i 1, , k.
i
解k个方程组求得1,
,
的极大似然估计值。
k总体X的一
个样本， 试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设
是一个样本值。
X的分布列为：
故似然函数为
而 令 8
p(x, )
0,
其他.
2. 取对数：
当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时