外弹道学第七章

g
S g > 1 翻转力矩，旋转弹高速旋转，陀螺稳定性 翻转力矩，旋转弹高速旋转， S g < 0 稳定力矩，尾翼弹静态稳定 稳定力矩，
dl m′′ ) y 2 Rc 动态稳定因子 Sd = dl 2mg sin θ m′ + C ′ − Cz − zz y 2 RA ρ SV 2 2(C ′ − y
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二、稳定性概念 非扰动弹道 扰动弹道 质心沿弹道运动的稳定性 绕质心运动的稳定性
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§7-2 旋转弹丸绕质心运动方程的建立与分析 一、坐标系 铅直参考平面：O′阻力面： O′铅直参考平面：O′-xy 阻力面： O′- ξζ 进动角：弹轴ξ 进动角：弹轴ξ所在的阻力面与含速度轴的铅直参考面的夹 角ν 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 章动角：在阻力面内弹轴与速度轴的夹角δ 进动: 进动: 阻力面以速度轴为轴的转动称为进动 章动: 章动: 弹轴相对速度轴的摆动称为章动 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 自转角：弹丸绕弹轴旋转的角度γ 广义坐标 广义速度
1、质心运动方程 v = −bx v 2 − g sin θ 速度大小变化方程： （1）速度大小变化方程： ɺ g cos θ ɺ ψ = by v∆ − ibzγɺ∆ − 速度方向变化方程： （2）速度方向变化方程： v 2、围绕质心运动方程 、 （1）自转运动方程： γ = −k xzγɺv ）自转运动方程： ɺɺ （2）摆动运动方程：Aϕ = M z + M zz + M y + M t ）摆动运动方程： ɺɺ
（3）弹轴系与弹体系 ） γ为弹丸的滚转角
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弹轴坐标系与速度坐标系之间的关系 以弹丸质心为球心，单位长度为半径作球面，球 面上弧长的弧度值就等于对应的圆心角。 理想弹道的切线方向与球面交点L 理想弹道的切线方向与球面交点L，弹轴与球面交 点A，速度与球面交点T。A点的轨迹表示弹轴在空 ，速度与球面交点T 间的运动过程，T 间的运动过程，T点的轨迹表示速度方向变化的过程。 φ = ϕ2 + iϕ1 φ =ψ + ∆
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二、拉氏方程及应用 广义坐标： 广义坐标：γ、ν、δ 的积分（gamma） 1、对γ的积分（gamma）-转动 的积分（niu） 2、对ν的积分（niu）-进动 的积分（delta） 3、对δ的积分（delta）-章动
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8
§7-3 旋转弹丸的急螺稳定性 一、急螺稳定因子
σ = 1− β α2
第七章 弹丸的旋转与摆动运动规 律
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移 旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
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一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定， 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（ 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 之间的偏差是否也足够小。 动）之间的偏差是否也足够小。 稳定、 稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
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引入基本假设： 引入基本假设： 弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体； （1）弹丸是一个外形及质量分布均为轴对称的刚体； ξ、ζ、η为弹丸的惯性主轴 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等， 弹丸对任一赤道轴的转动惯量相等，为A
1 转动动能: 转动动能 T = [ A( p 2 + q 2 ) + Cr 2 ] 2 （2）只考虑翻转力矩； 只考虑翻转力矩； 章动角很小。 （3）章动角很小。
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五、稳定区域图 静稳定区、 静稳定区、静不稳定区 陀螺稳定区、陀螺不稳定区 陀螺稳定区、 动态稳定区、动态不稳定区 动态稳定区、 旋转弹动态稳定区 尾翼弹动态稳定区
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六、转速对动态稳定性的影响 动态稳定条件：M2m < Sd (2 − Sd ) 动态稳定条件：
γɺ
同号时， 当Mm与 S d (2 − S d ) 同号时，转速在一定范围内保证 动态稳定； 动态稳定； 当两者异号时，静态稳定的弹丸必动态稳定， 当两者异号时，静态稳定的弹丸必动态稳定，静态 不稳定的弹丸必动态不稳定，且与转速无关。 不稳定的弹丸必动态不稳定，且与转速无关。
γɺ
V
越大，动力平衡角越大。
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四、追随稳定性
过大的动力平衡角不良后果： 过大的动力平衡角不良后果： （1）射程减小，偏流增大； 射程减小，偏流增大； （2）使马格努斯力矩出现较严重的非线性，破坏弹丸的动 使马格努斯力矩出现较严重的非线性， 态稳定性，使章动角沿弹道发散； 态稳定性，使章动角沿弹道发散； （3）增加各种散布因素的影响效果。 增加各种散布因素的影响效果。
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二、动力平衡角的表达式
动力矩定理： 动力矩定理：
u= dK = M zδ P dt
u = K ω1 = M zδ P = Aβδ p
θɺ 如果平均弹轴向下转动的角速度ω 如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 不相等，则认为弹轴不满足追随运动， 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。 间的夹角过大。 ɺ 追随运动必须满足条件：ω = θ 追随运动必须满足条件：
π g µ CmV0 d
δ p max < [δ p ]
1 η下 = e −Γt 2 [δ ] h H ( y )V 3 K mz ( M ) p d
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§7-5 动态稳定性简介
一、坐标系及坐标变换 1、坐标系
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2、坐标转换 （1）速度系与地面系 分别为弹道倾角和弹道偏角 θ
ψ
（2）弹轴系与速度系 ）
d2 极转动惯量 C = µ m 4
µ
质量分布系数
η<
π
2
µCm
A h ⋅ H ( y0 ) K mz0 C d
= η上
膛线缠度上限
r0 = γɺ0 =
2π v0 ηd
膛线缠度上限决定了弹丸 出炮口的最低转速
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§7-4 追随稳定性
追随稳定性研究的内容：当弹速V 追随稳定性研究的内容：当弹速V受重力影响不断下降 具有急螺稳定性的弹丸， 时，具有急螺稳定性的弹丸，为什么弹轴能追随速度矢量的 下降而下降。 下降而下降。 一、动力平衡轴和动力平衡角 忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 忽略起始扰动，零时刻弹轴方向与速度共线同向，由于V 在重力作用下方向不断低头， 在重力作用下方向不断低头，而弹丸的急螺稳定性使弹轴方 向保持不变，形成章动角δ 由此引起翻转力矩Mz Mz， 向保持不变，形成章动角δ，由此引起翻转力矩Mz，该矢量 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化， 垂直于阻力面向外，随着阻力面位置的不断变化，翻转力矩 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。 的指向也不断变化，形成了弹轴的锥形进动。 如果V的方向不再变化，则锥形进动一直进行。（ 。（b 如果V的方向不再变化，则锥形进动一直进行。（b图）
λ1,2 = − B1 ± α1 σ
α1σ
Baidu Nhomakorabea2 B1
*2 )2 Sd )
2
(p+ p +(
2
u1,2 = α1 (1 ± σ
α1σ
2 B1
*2 )2 Sd )
2
)
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λ1 动态稳定条件：< 0 动态稳定条件：
S
*2 d
<
α
B12
2 1
− pσ
1 *2 < 1 − Sd Sg
1 < Sd (2 − Sd ) Sg
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四、运动稳定性分析 1、方程的变量变换
s = ∫ vdt
0
t
ɺ ∆ = ∆′ v s
g sin θ γɺ − i 2α1 )∆′ + [(− k z − 2α1 bz ) + i 2α1 ( k y − by )]∆ s v2 v
∆′′ + ( k zz + by − bx − s
1 d g cos θ = 2[ ( ) − g cos θ (i 2α1 − k zz )] v dt v
α2 Sg = >1 β
σ = 1−
1 Sg
急螺稳定因子
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二、急螺稳定条件 S 稳定条件： 稳定条件： g > 1
设计注意：一般只要保证在炮口满足Sg>1即可，只 设计注意：一般只要保证在炮口满足S >1即可， 即可 有对远程榴弹，可能出现在落点附近S <1的情况 的情况， 有对远程榴弹，可能出现在落点附近Sg<1的情况，需 要校核落点处的急螺稳定性。 要校核落点处的急螺稳定性。
表达式： δ p = 表达式：
π g µ CmV0 d
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三、影响动力平衡角的因素 （1）弹道参数：弹速、倾角。 弹道顶点附件最大 δ p = π g µ CmV0 d
2 h η d
1 e −Γts H ( y )Vs3 K mz ( Ms)
（2）弹丸外形及质量分布情况 气动外形、质量分布、极转动惯量、弹长、阻力臂等 （3）转速比
∆′′ + (2 B1 − i 2α1 )∆′ − (k z + i 4α1 B2 )∆ = 0 s s
∆ = C1e
( λ1 + iu1 ) s
+ C2 e
( λ2 + iu2 ) s
动态稳定条件：特征根的实部小于零，攻角沿全弹道衰减。 动态稳定条件：特征根的实部小于零，攻角沿全弹道衰减。
( p + p2 + (
1
侧向动力平衡角: 侧向动力平衡角:
δ p = δ1 p
Cr ɺ = θ Aβ
δ2 p
Cr ɺ = δ1 p Aβ
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考虑极阻尼力矩 M xz
的影响： 的影响：
−Γt
dr = − M xz C dt
r = r0 e
γɺ = γɺ0 e −Γt
2 h η d cos θ e −Γt H ( y )V 3 K mz ( M )
ψ = ψ 2 + iψ 1
∆ = δ 2 + iδ1
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二、作用在弹上的力和力矩 1、空气动力和力矩 阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 阻力、升力、马氏力、俯仰力矩、赤道阻尼力矩、 极阻尼力矩、 极阻尼力矩、马氏力矩 2、重力 3、陀螺效应力矩 4、尾翼导转力矩
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三、弹丸一般运动微分方程组
ɺ ɺ ɺ ϕ =ψ + ∆ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ϕ =ψ + ∆
ɺɺ + (k + b − i 2α )v∆ + [(−k − 2α γɺ b ) + i 2α (k − b )]v 2 ∆ ɺ ∆ zz y 1 z 1 z 1 y y v d g cos θ = ( ) − g cos θ (i 2α1 − k zz ) dt v
d γɺ = γɺs′ = − k xz γɺ ds
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2、动态稳定条件的建立 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。 只研究弹丸的飞行齐次方程所对应的起始条件下的稳定问题。
g sin θ γɺ ∆′′ + (k zz + by − bx − − i 2α1 )∆′s + [( − k z − 2α1 bz ) + i 2α1 (k y − by )]∆ = 0 s 2 v v
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由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降， 由于重力的作用，弹道切线方向在不断下降，故弹轴在切 线上方停留的时间t 和章动角δ 大于停留的时间 停留的时间t 线上方停留的时间t上和章动角δ上大于停留的时间t下和章动 角δ下 。 右旋弹丸： 右旋弹丸： M δ上 = Aβδ 上 指向右侧 M δ 上 > M δ下 弹轴右偏 M δ下 = Aβδ 下 指向左侧 结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏， 结论：在弹速方向不断低头的情况下，右旋弹弹轴向右偏， 弹轴的平均位置称为动力平衡轴， 弹轴的平均位置称为动力平衡轴，与速度方向的夹角称为动 力平衡角（平均章动角）。 力平衡角（平均章动角）。
保证动态稳定的充要条件： 保证动态稳定的充要条件：
S d 动态稳定因子
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3、动态稳定条件的讨论 陀螺稳定因子S 陀螺稳定因子Sg反映了陀螺力矩与俯仰力矩对弹 丸围绕质心运动的影响； 丸围绕质心运动的影响；动态稳定因子反映了马格 努斯力矩、赤道阻尼力矩、升力、 努斯力矩、赤道阻尼力矩、升力、阻力以及重力切 向分量对弹丸围绕质心运动的影响。 向分量对弹丸围绕质心运动的影响。 1 <1 简化形式： s 简化形式：∆′′ − i 2α1∆′s − k z ∆ = 0 S