DSP-定点和浮点数格式

－ 00000110b
余数（丢弃）：11111110b 商数：00011010 余数：00000100b ⑦ 00001000b － 00000110b
商数： 00110101 余数：00000010b
⑧
00000100b
－ 00000110b
余数（丢弃）：11111110b 商数： 01101010 余数：00000100b ⑨ 对结果的小数点右移一位，得到Q5格式的结果011.01010b （3.3125），最高位MSB为符号位
Q13 Q12 Q11 Q10 Q9
-2～1.99993896484375
-4～3.9998779296875 -8～7.999755859375 -16～15.99951171875 -32～31.9990234375 -64～63.998046875
0.00006103515625
0.0001220703125 0.000244140625 0.00048828125 0.0009765625 0.001953125
DR fix＝20 log10 2 N 1 1 6.02( N 1)
dB
动态范围：数据表示格式中可以表示的最大值与最小值之 比定点DSP处理器大多采用16位定点数 对于要求更大动态范围的应用，可以采用扩展字长的方式， 即用两个或更多的字来表示数据 定点DSP处理器要求编程时要仔细考虑信号幅值和中间结 果，在避免溢出和尽可能减小舍入误差的前提下，使精度和 动态范围最大化
对于负数（最高位MSB为1），要先把它转化为无符号二进制数，再进 行计算，最后加上负号
位 二进制补码 Q0 Q4 Q7 7 MSB 0 符号 符号 符号 6 1 26 22 2-1 5 0 25 21 2-2 4 1 24 20 2-3 3 0 23 2-1 2-4 2 0 22 2-2 2-5 1 1 21 2-3 2-6 0 LSB 1 20 2-4 2-7
－ 00000110b
商数：00000011 余数：00000010b
④
00000100b － 00000110b
余数（丢弃）：11111110b
商数：00000110 余数：00000100b
⑤
00001000b
－ 00000110b
商数：00001101 余数：00000010b
⑥ 00000100b
例：两个8位数相加，有溢出 进位位与最高位（MSB）不同 运算结果发生溢出，8位字长已不能正确地表示结果
10110000b（ -80） + 10111111b（ -65） 非饱和模式：101101111b（-145）
00101001b（ 41） + 01110011b（115） 非饱和模式：010011100b（156）
定点数与浮点数、定点数与定点数之间的转换关系
浮点数X Qn格式的定点数Xn
X n (int) X 2 n
例：5.1875 Q4定点数 4 5.1875×2 ＝83 ＝01010011b
Qn格式的定点数Xn 为浮点数X
X (float) X n / 2 n
饱和模式：110000000b（-128）
饱和模式：001111111b（127）
溢出是由于字长有限，运算结果超出数值的表示范围引 起的
饱和模式
定点数减法运算的原理与加法运算相同
2）定点数的乘法运算
DSP处理器都有硬件乘法器和乘法指令，可实现单周期乘 法运算 二进制乘法运算包含一系列的移位和加法运算 定点数乘法运算不要求相乘数有相同的Qn格式 两个相乘数分别为Qn和Qm格式，字长为N，结果为 Q(n+m)格式，字长为2N 根据n和m的不同取值，定点数乘法运算可以分成三种情况
如果除法运算中包含负数，应将负数变换为等值的正数， 然后作除法运算，最后加上正确的符号
2.3 浮点数的格式与运算
• 1. 浮点数的格式
- 1）IEEE754浮点数格式 - 2）TMS320C3X浮点数格式 - 3）浮点数的数值范围、精度和 动态范围
• 2. 浮点数的算术运算
- 1）浮点数的加减法运算 - 2）浮点数的乘法运算 - 3）浮点数的除法运算
0.00390625
0.0078125 0.015625 0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1
3）动态范围
动态范围：数据表示格式中可以表示的最大值与最小值之比
N位定点数的动态范围：
(2 N 1 1) / 2n N 1 DR fix＝ 2 1 n 1/ 2 用分贝表示为：
1）IEEE754浮点数格式

单精度格式：24位有效数字，总共占用32 位 双精度格式：53位有效数字精度，并总共占用64位 扩展单精度格式： 扩展双精度格式：必须至少具有64位有效数字，并总 共占用至少79 位
表示的数值
1 s 1. f 2e-127 1 e 254 s 1 0. f 2126 e 0, f 0 x 0 e 0, f 0 s e 255, f 0 1 e 255, f 0 NaN
最高位（第31位）为符号位s 通常情况，即 1 ≤ e ≤ 254 时
s
x 1 1. f 2e-127
四种特殊情况
① 当 e=0、f≠0 时，尾数是个非归一化的数
x 1 0. f 2-126
s
② 当 e=0、f=0 时，x=0 ③ 当 e=255、f=0 时，x为正（s=0）或负（s=1）的无穷大 ④ 当 e=255、f≠0 时，x为一个无效数（NaN—Not a Number）
Q8
Q7 Q6 Q5 Q4 Q3 Q2 Q1 Q0
-128～127.99609375
-256～255.9921875 -512～511.984375 -1024～1023.96875 -2048～2047.9375 -4096～4095.875 -8192～8191.75 -16384～16383.5 -32768～32767
DSP 运算基础
• 1、 DSP的数据表示
• 2、定点数的格式与运算 • 3、浮点数的格式与运算
1、 DSP的数据表示
定点
格式
浮点 16位 24位 32位
字长
格式和字长决定了数据的精度和动态范围 格式和字长也在一定程度上决定了DSP处理器 的成本、功耗和编程难度
2、 定点数的格式与运算
• 1. 定点数的格式
000.1100000000000b（0.75 Q13）
左移一位：00.11000000000000b（0.75 Q14） 取高8位： 00.110000b（0.75 Q6 ）
② 整数乘小数（n≠0、m=0）
例：两个相乘数分别为Q7和Q0格式，8位字长
0.1000000b（0.5 Q7） 11111001.b（-7 Q0） 111111100.1000000b（-3.5 Q7）
例 ① 32位单精度浮点数 1100,0011,0101,0010,0000,0000,0000,0000b
1. 浮点数的格式
浮点数表示为尾数和指数的形式
x m 2
e
式中，m 为尾数，e 为指数 符号、尾数和指数编码在同一个二进制字中
符号、尾数和指数的位数和位域不同，浮点数格式不 同，常用的浮点数格式有
IEEE754标准定义的单精度格式和双精度格式 TI公司定义的TMS320C3X浮点数格式
– Hale Waihona Puke Baidu）Qn格式 – 2）数值范围与精度 – 3）动态范围
• 2. 定点数的算术运算
– 1）定点数的加减法运算 – 2）定点数的乘法运算 – 3）定点数的除法运算
1. 定点数的格式
1）Qn格式
小数点
Q标志：表示隐含的小数点的位置
例：8位字长
二进制补码数01010011b，粗线表示隐含的小数点位置
2）数值范围与精度
给定字长N，采用Qn格式表示小数
2 N 1 2 N 1 1 数值范围： n ~ 2 2n
精
度：
1
2n
16位字长Qn格式的数值范围与精度
Qn格式 Q15 数值范围 -1～0.999969482421875 精度 0.000030517578125
Q14
左移一位：11111100.10000000b（-3.5 Q8） 取高8位： 11111100.b（-3. Q0）
误差小于等于Qn格式精度的一半，即小于等于1/2n+1 单次计算的误差并不大，但如果是连续的运算，则误差会 累积和传递，从而产生比较大的误差 DSP处理器提供了自动舍入功能来减小误差 保留整个32位中间结果 小数乘小数、整数乘小数运算都要求对乘积结果左移一位 后，保存高位 DSP处理器带有可选的自动左移一位的功能，消除移位操 作的时间开销
2. 定点数的算术运算 1）定点数的加减法运算
相同的Qn格式，保证隐含的小数点对齐 最可能出现的问题是运算结果的溢出
例：两个8位数相加，无溢出 进位位与最高位（MSB）相同 8位字长可以表示结果，没有发生数据溢出 11111100b（ -4） + 11111110b（ -2） 111111010b（ -6） 00101001b（ 41） + 00110011b（ 51） 001011100b（ 92）
① 小数乘小数（n、m≠0，m≤ n） ② 整数乘小数（n≠0、m=0） ③ 整数乘整数（n=m=0）
① 小数乘小数（n、m≠0，m≤ n）
例：两个相乘数分别为Q7和Q6格式，8位字长 两个定点小数作乘法运算，结果左移一位，保存高位得到 运算结果，结果为Qm（m≤ n）格式
0.1000000b（0.5 01.100000b（1.5 Q7 ） Q6 ）
例： (Q7) 01010011b 浮点数 7 83/2 ＝0.6484375
Qn格式的定点数Xn Qm格式的定点数Xm
n m (int) X n 2mn X m (int) X / 2 2 n

例：(Q7) 01010011b Q4定点数 7 83/2 ＝0.6484375 4 int(0.6484375 ×2 ) ＝int(10.375) ＝10＝00001010b 4 10/2 ＝0.625≠ 0.6484375
③ 整数乘整数（n=m=0）
例：两个相乘数都为Q0格式，8位字长
整数相乘，结果为Q0格式，需查询标志位确定保存的位数， 结果不需要左移一位
11111100.b（-4
Q0）

11111001.b（-7
Q0）
0000000000011100.b（28 Q0） 取低8位： 00011100.b（28 Q0）
计算中，共进行了7次移位和条件减操作，得到8位（1 个符号位和7个数据位）的结果 要增加精度，可以增加移位和条件减的次数，如15次移 位和条件减可以得到16位的结果
对于两个正的小数相除（Qn格式除以Qm格式）
如Q3格式的00001.010b（1.25）除以Q2格式的000000.11b （0.75） 把两个正的小数看作两个Q0格式的正整数相除，即00001010b （10）除以00000011b（3） 与上面例子相同，结果为Q5格式011.01010b 最后对结果的小数点位置左移n-m 位 对于本例3-2=1>0，则结果的小数点左移一位，最后结果为Q6 格式01.101010b（1.65625）
3）定点数的除法运算
大多数DSP处理器不提供单周期除法指令 除法是乘法的逆运算，包括一系列移位和条件减法运 算，需要用除法子程序实现
例：8位字长的正整数相除 被除数为00001010b（10） 除数为00000011b（3）
① ② 00001010b － 00000110b 商数：00000001 余数：00000100b ③ 00001000b