高数下练习题(考研基础)

第十章重积分(测试题)
f (x, y)在 D : 0 x 1,0 y 1 2 1
x( f (x, y)dxdy) = f (x, y) 一，则 f (x, y)
D 2 (可设f (x, y) k,两边再做二重积分)
卄
，亠十2
-,
2
2,2
2
2
右 由曲面z 3( x y ), x y z f (x, y, z)dv
表示成直交坐标系下的三次积分为
柱面坐标系下的三次积分为 球面坐标系下的三次积分为
f(x)dx
若 l 1
(1 x)d ，其中 D 1 是 |x| D 1
2
2
x 2 y 2 1」y 11, 12 的值为 _______________________________________ o
(A)
I 1 0,I 2 0( B ) I 1 0,I 2 0 ；( C)l 1 0, I 2 0( D ) I 1 0, I 2 0
填空题
D :0
x 1,0 y 2,
D ：
|x|
3,|y| 1，则 x(x y)d D 是由 x y sin 3
yd = ______
1, x y 1, x
成的闭区域，则
z J 3a 2 x 2
y 2 及 x 2
试用二重积分表示由曲面 的表面积S _______
知D 是区域： a x b;0 y 1，且
D
2
y
2 az 所围立
体
yf (x)d 1 ,则
16所围，则三重积分
10.
D 是由
f (x)dxdy 1 1 积分0dx x
e
x y 1和两坐标轴围成的三
1
0 (X)dx ,则(x)
______________
角形区域，且
2
y
dy
o
(先交换积分次序)
换二次积分的积分次序
选择题
0 1 1
d
y 2 y f(x,y)dx
xyd ，其中D 2是
D 2
1,|y| 1； I 2
精选文库
2
1 口
y 1 上连续，使 f (x, y)dxdy 4 0dx 0 f (x, y)dy
x 2 y 2
1
成立的充分条件为
(A) (B)
(C ) (D )
3 .设I
f(x, y), f (x,
y) f (x, y), f (x, y) f (x, y), f (x, y) f
(x, y), f (x,
y) 为z 2
14
3
计算题
sin Q x 2
y 2
dxdy ，其中
D
(A)
(C ) 1
rd r 0 1
dz 0
z
数及
xdxdydz 1
zdz
；
0 ， 1
rdr r
K,0
7 4 (B)
1,
2 1 d rdr
1
dz d 0 0 1
zdz
r z
zrdr .
o 0
1,z 0所确定，其中K 是大于2的常 f (x, y)是连续函数，改变
I
1
2
dx 0
x
x 2
f (x, y)dy 的积分
次序。

2. f(x, y)在 x 2
f( x,y) f( x,y) f( x,y) f( x,
y)
zdv
f(x, y)； f (x, y);
f (x, y); f(x, y) o
,z 1围成的立体，则正确的为
(A)
2.2
y 4
精选文库
3.确定常数A使Asin(x y)dxdy 1，其中D是由y
D x, y 2x,
x
2所围成
的区域。

4 .计算
3 2
x y zdv，其中是由x 1, x 2, y 0,y 0,z
1
-所围成
x
的在x 2之间的闭区
域。

5•计算(x2y2)dv，其中是由曲面x2
2
y 2z及平面z 2所围成的
闭区
域。

(可考虑柱面坐标)
精选文库
(J x 2
y 2
)dv ,其中 是由曲面 z J x 2
y 2
及 z J 2 X y
2
所围成的闭区域。

(可考虑球面坐标)
五. 证明题
1
设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)
0,求lim 」7
t 0 + 4
四.
应用题
1 •求由椭圆抛物面
z X 2 2y 2和抛物面z 2 x 2所围成的立体的体积。

6 •计算I
f(Jx 2 z 2
t 2
y 2 z 2)dv
t x2
第十一章曲线积分与曲面积分（练习一）
（第一，二节）
一.选择题
1.对弧长的曲线积分与积分路径的方向（
:
径的方向（）。

A.有关
B.无关
C.不确定
2.设L 是从A （1,0）到B （-1,2）的线段，则曲线
积分
二.计算下列对弧长的曲线积分 m
ds , 其中 L: x=acost, y=asint, 0 t 2
到2的这段弧.
A. -2 运 3设L 为椭圆
A. 4l
B. 2近
2 —1,其周长记为I ,
3
B. 3l
C.
2 D. 0
L
(2xy 3x 2
4y 2)ds =(
C.7l
D.12
l
2
、
x 2 y 2
z 2
ds , 其中 为曲线 x e t cost, y e t sint,z
e 上相应于
）,对坐标的曲线积分与积分路 L
(x y)ds
1
O L X 2
.(a 0).
3. ¥
y
2
ds ,其中L为圆周a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
2 2 2
4. L x ds, L 为球面x y
R2与平面x y z 0相应的圆周.
三.计算下列对坐标的曲线积分
C( a,0)的弧段.
2
2. X dx zdy ydz ,其中 为曲线 x k , y acos ,z a sin 上对应于 从o 到
的一段弧.
1.计算L （X 2
2xy ）dy ,其中L 为椭圆
2
y
・ 1上由点A(a,0)经B(0, b)到
3. ^xydx，其中L为圆周（X a） y 区域的整个边界.
a2（a为正）及X轴所围成的在第一象限内的
4.计算曲线积分［X2y2 dx X2
2
y dy ,其中L是由
0(0, 0), A(1, 1), B(0, 2）, C（ 1,1）为顶点的正方形的正向边界
选择.
第十一章曲线积分与曲面积分
（第三，四节）
（练习二）
1.设L 是不经过原点的简单正向闭曲线 A. 0
B. 2
2.设曲线积分I
,xdy
ydx /
、 2 2~
(
)
L
x y
D.以上答案都不对
，则曲线积
分
达式是某二元函数
… z 2
2、
A. (x y )
2 2
C. x cosy y cosx 3.设L 是圆周 x 3 3 .
豊 X x ydx 2 y
2
xy
C. 0 或 2
2 2
(2xcosy y sin x)dx (2y cosx x sin y)dy ,其中积分表
u(x, y)的全微分，则 u(x, y)=( )
2 2
B. (x y )(cos x cos y)
D. (cosx cosy)e x
则曲线积分
a 2
（取负向），
y 3
dy =（
). 4
a A. —— 2 二.计算下列积分. B .
C.
4
a D.——
4
2 3
1. [ X xy dx 2xy dy 四个顶点分另U 为
(0, 0), (2, 0), (2, 2), （0, 2）的正方形区域的正向边界。

精选文库xy dy X ydx
2.求J d
丿
2—-，其中L为圆周X2 2
a 的顺时针方向。

3. 1 e^dx xdy，其中L是椭圆
2
y
9
1沿逆时针方向。

精选文库L(y 2xy)dx (x22x y2)d y，其中L 为由点A (4,0)沿上半圆y J4x x2
到0(0 ,0)的半圆周。

L(e x siny y )dx (e x cosy x)dy，其中L 是从点A (1, 0)经下半圆周
4.
(X
2 2
4) y 9到点B(7，0)的曲线弧。

三.证明下面曲线积分在整个 xoy 平面除去X y 0的区域内与路径无关，并计算积分值.
u(x, y).
(3,0) (1,2)
空二dx (X y)
3
(x
y
% y)
四.验证
(2x 2y 1)dx
(2x 3y 2)dy 为某一函数 u(x, y)的全微分，并求出
2.(z 3)dxdy，其中为曲面2z x2 y2上介于z=2及z=3之间的部分的下
侧。

3. x 2dydz zdxdy, 是由A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1)为顶点的三角形平面的上侧
三.计算下列曲面积分。

1.0 x2dydz y2dzdx z2dxdy，其中为平面x=0 , y=0 , z=0 , x=a , y=a , z=a
所围成立体的表面外侧
2 . o xz2dydz x2y z3dzdx 2xy y2z dxdy , 其中为上半球体
0 z y[a 2
a的表面外侧。

xdydz其中是由
2 2 _______________________________________ z x——与z 2a J x2y2所围空a
间区域的表面外侧。

精选文库
4. xdydz ydzdx zdxdy，其中为曲面z 在第一卦限部分(0
的上
侧。

5. G y z dx z x dy x y dz，其中为椭圆
(a>0 ,b>0 )若从x轴正向看去，椭圆取逆时针方向。

6. 3ydx xzdy yz2dz ,其中是圆周x2 y2 2z , z=2 若从z轴正向看去,
圆周取逆时针方向。

第十二章无穷级数
（练习一）
（常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法
）
一、填空题
1、若 U n 收敛，则lim （u n
n 1
n
3)
3、设t n的和为2，则
n 1 —的为3
2、若u n的和为2,且片
n 1 U1U2 L U n，贝U U n的和为
n 2
精选文库
11 11 1 1
—口
（
2 3）（?孑）L （畀弄）L 的和是
1
5、级数
n sin —的收敛性是:
n 1
n
二、选择题
、lim U n 0是级数 U n 收敛的（
n
n 1
三、根据级数收敛与发散的定义或性质判定下列级数的收敛性
1
(2 n 1)(2n 1)
A.充分条件
B.必要条件
C. 充要条件
D.既非充分又非必要条件
、若级数
u n 收敛，且s n
U i U 2
U n ,下列叙述不正确的是（
A. lim n
U
n
0 B. lim Si
n
C.
lim s n 存在 D.
n
lim u n 存
在
、设级数
u n 收敛，则下列级数（
）一定收敛。

、部分和数列
A.充分条件
B.
B.
S n
U n
n 1
C.
有界是正项级数
(U n U n 1) D.
1
u n 收敛的（
1
(U
n 一)
n 1
n
必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
精选文库
3n 2n
1^^
4、
n 1
(1)n
1
（4）n
四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性
1
2n 1
1 1〒(a
0)
五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性
3n
1
n 2n
2n n!
n
1
n
2、
i
sin
3n
六、判定下列级数的收敛性
c n
2 s
v
n
3n
n
，其中a n a(n ), a n ,a,b 均为正数。

a n
判定下列级数是否收敛 ？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
1)n
2、
七、
1)n lnn
八、解答下列各题
1、讨论级数
（1）
n 1
1
丄的收敛性; n p
2、证明：若正项级数u n收敛,则级数
1
一、填空题
1、若幕级数a n X
第十二章
u n2也收敛。

无穷级数
（练习二）
（幕级数及函数的幕级数展开式）
3处收敛，则它在X 1处, （收敛、发
散）。

2、若lim
n 3、幕级数a n 1 a n
数项级数
a n x2n的收敛半径是
n
—的收敛域是
n
1
1?^的和是
，在其收敛域内的和函数
是
4、若幕级数
a n x n
在点X
2处条件收敛，则该级数的收敛半径为
n 0
二、求下列幕级数的收敛域
1、
厂(X 2)n
v n
三、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数
n nx 1
1
,( 1 x 1)
1
12n 和1 x 1)
x 2n
2n
2
n n -x
1
四、将下列函数展开成X 的幕级数
1、xe X
1
(1 X)2
五
、
解答下列各题
、将函数COSX展开成（X —）的幕级
数;
3
、将函数-展开成（X
X 2）的幕级数;
3、将函数—
X
展开成（X 3）的幕级数。

3x 2
八、求幕级数
n —x2n 1的和函数，并求级数
1 n!
也」的和。

n 1 n!
n 1
九、求幕级数丄飞的收敛域与和函数。

n 1 n 3。