固体潮

7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.2 起潮力位 (1)月球起潮力位 考虑到(r/rm) ≤1/60.3月球起潮， 只取(r/rm)3项，并考虑(GMm / rm)对于 A点来说为常数，可得
3 r 2 r Mm P2 (cos zm ) P3 (cos zm ) Tm ( A) G r rm rm m



7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (2)起潮位的拉普拉斯展开 将杜森常数代入，化简可得
Tm 2
cm r 2 1 2 1 Dm 3 sin sin m r R 3 3 m cos2 cos2 m cos 2 H m sin 2 sin 2 m cos H m
Mm M r cos z m G m 2 rm rm , A
n
r r Pn (cos zm ) n 0 m
n r Mm Mm r 1 cos z m Pn (cos z m ) Tm ( A) G 2 r cos z m G rm rm rm n 2 rm
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (3)地月系统围绕共同质心O点旋转的惯 性离心力 当地球的质心Oe绕O 沿着0.73R的半径 旋转时，地球内部任一点所描绘的轨迹与 地心Oe所描绘的轨迹相似，即为圆心不同， A 半径相等(等于0.73R)的圆周。此时，地球 所作的运动就是平动，其内部各点的向心 加速度都等于地心Oe的向心加速度。
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (1)勒让德展开与杜森常数 将杜森常数代入，若只取二次项或三次项，化简可得
cm r 2 Tm 2 ( A) D (2 cos2 z m ) r R 3 m
2 3
c r R 10 Tm 3 ( A) D m ( cos3 z m 2 cos z m ) r R c 3 m m
Hm
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (2)起潮位的拉普拉斯展开 根据球函数的加法定理，有
Pn (cos z m ) Pn (sin ) Pn (sin m ) (n k )! k 2 Pn (sin ) Pnk (sin m ) cos H m k 1 ( n k )!
3
4
对于太阳而言，可得到类似的结果，只是杜森常数为 3 M s R2 D G 3 4 cs
D为杜森常数，cs为地心至太阳质心平均距离，R为地球半径。 且有 cm Ds c s
3
Ms M Dm 0.45990 Dm m
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (3)地月系统围绕共同质心O点旋转的 惯性离心力 在不考虑地球自转的情况下，并设地 球上任一点A，它在地月系统绕O点的运 动轨迹为AA圆弧，与地心运动轨迹OeOe 为相同的圆弧。
Om
A
A
Oe
O Oe
r Om
月球的质心Om沿以月地系统的质心为 焦点的椭圆旋转。为了保持月地系统的 动态平衡，地心Oe绕O旋转，使得地心Oe 、 月地系统的质心O 、月心Om始终保持在 一条直线上， O在空间的位置不动。
2
3

cm r 1 1 2 Dm 3 sin sin 2 m r R 3 3 m sin 2 sin 2 m cos H m cos2 cos2 m cos 2 H m
重力学
地球物理与空间信息学院
地球物理实验班专业课
第七章 固体潮

7.0 引言 7.1 起潮力位及其调和展开 7.2 刚体地球的理论固体潮 7.3 理论重力固体潮计算
7.0 引言
在月亮和太阳的作用下，海水每天两次的周期性涨落称为海潮。海 潮现象非常明显，极易察觉。十九世纪末，英国人达尔文(Darvin)分析 了当时积累的海潮观测资料，发现接近平衡潮的月球半月潮的实际潮高 比把地球看成刚体时的理论潮高小三分之一。为了解释这种现象，他认 为地球的固体表面也发生与海水类似的周期性涨落，其涨落幅度约为海 水涨落幅度的三分之一。后来，就把地球整体在月球和太阳作用下的变 形称为固体潮(Solid tide)。
显然，有
tm(A)＝Tm(A)
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.2 起潮力位 (1)月球起潮力位 设地球、月球和太阳的质量分别为 Me, Mm, Ms,，地月距、地日距分别为 rm, rs，则月球起潮为可写成
qm A fm
r zm O Oe
rm
rm,A
Om
Tm ( A) G 由 可得 1 rm , A 1 rm
n
qm
A
fm
r 1 1 Pn (cos z m ) rm , A rm n 0 rm

n
r zm O Oe
rm
rm,A
Om
英国人杜森(Doodson)于1922年引入一个常数D，即
3 M m R2 D G 3 4 cm D为杜森常数，cm为地心至月心平均距离，R为地球半径。
qm
A
fm
r zm O Oe
rm
rm,A
Om
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.2 起潮力位 (2)太阳起潮力位 同理，并考虑到(r/rs) ≤1/234000，且太阳与地球质量之 (Ms/Me)=333432，只取(r/rm)2项，可得
Ms r P2 (cos z s ) Ts ( A) G rs rs 所以起潮位为 T ( A) Tm ( A) Ts ( A)
7.1.3 起潮力位的展开 (2)起潮位的拉普拉斯展开 考虑到
P2 (sin )
3 2 1 sin , 2 2 P1 (sin ) 3 sin cos , 2 P2 (sin ) 3 cos2 , 2
P2 (sin m )
3 2 1 sin m 2 2 P1 (sin m ) 3 sin m cos m 2
qm A tm Oe fm zm O
r r Om
起潮力是随着时间变化的，当A点处于不同位置时，起潮力大 小不同，形成周期性变位 (1)月球起潮力位 由于地球的自转，月球绕地球的旋转和地球绕太阳的旋转，因而在地 球内部任一点的起潮力是一个随时间变化的矢量场。物体的引力是保守 力，因而月球在A点的引力fm(A)可用位函数表示，即Um(A)。
( M m)OOe mr 即 m OOe r M m 1 (60 .3R ) 0.73 R 81 .5 1
M R O Oe r
m Om
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (2) 地月系统运动轨迹
Om O Oe
相对地月质心运动轨迹（红色虚线）而言，地球质心的运动轨迹为在 基本轨道上摆动，即——地球的平动。
7.1.3 起潮力位的展开 (2)起潮位的拉普拉斯展开 在球面三角形PAM中，有
cos zm sin sin m cos cos m cos H m
Hm
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (2)起潮位的拉普拉斯展开 首先讨论月球起潮位。选定天球坐标系，设P为北极，A为地面一点， M为月球在天球上的位置，zm为月球对A点的地心天顶距，为纬度，m 为月球在天球上位置的赤纬，Hm为月球时角。
Om
A
Oe
O Oe
r Om
由于地球所作的这种由地心Oe所描述的 平动加速运动，地球不是惯性参考系。当 研究地球上发生的力学现象时，必须考虑 这种平动加速度运动所产生的惯性离心力。
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (3)地月系统围绕共同质心O点旋转的 惯性离心力 显然，地球内任一点受到的惯性离心 力相同，即等于地球质心处的离心力， 且方向始终平行于质心连线，即有
有
P2 (sin m ) 3 cos2 m 2
1 3 1 3 P2 (cos z m ) sin 2 sin 2 m 3 sin cos sin m cos m cos H m 2 2 2 2 3 cos2 cos2 m cos 2 H m 4 1 3 3 sin 2 1 3 sin 2 m 1 sin 2 sin 2 m cos H m 4 4 3 cos2 cos2 m cos 2 H m 4
qm
A tm Oe
fm O
r
r Om
qm e2m OOe r0 考虑到月球的引力在数值上就等于 地球质心处的惯性离心力，所以 m 2 qm em OOe r0 G 2 r
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (4)起潮力
月球引力 f m与惯性离心力 qm之矢量合 tm 为月球起潮力，即 t m f m qm 同理，可以导出太阳的起潮力。 地球上任一点所受到的总起潮力为 t tm ts
7.0 引言
达尔文于1883年，从理论上对简化的地球模型在月亮和太阳作用下 的潮汐变形进行了计其。计算结果表明，转把地球看成均匀的、不可压 缩的刚性球体，那么，要使地球表面上月亮和太阳的作用下的涨落幅度 为海水涨落幅度的三分之一，地球的切变模量约等于钢的切变模量。这 是有关地球整体表现为固体的最早结论。 地球固体潮的一系列地球物理现象： 1．相对地球表面的海潮； 2．重力变化——重力固体潮 (gravity tide); 3. 地面倾斜——地倾斜固体潮; 4. 地面的变形——应变固体潮； 5． 经纬度变化——经纬度固体潮； 6． 地球自转速度的变化等。
第七章 固体潮

7.0 引言 7.1 起潮力位及其调和展开 7.2 刚体地球的理论固体潮 7.3 理论重力固体潮计算
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.1 起潮力 (1)地月系统的质心 设地球质量为M，质心为Oe，月球的质量为m，质心为Om，地月系统 质心为O，地月质心之间距离为r，则根据合力矩定理，有
2
3

7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (2) 起潮位的拉普拉斯展开 同理，二阶太阳起潮位为
地球内部的惯性离心力qm(A)也是一个保守力，也可用地球在月球引力 场内的平动加速运动在A点产生的惯性离心力位Qm(A)的梯度表示，即
qm(A)＝gradQm(A)
用Tm(A)表示引力位Um(A)和惯性离心力泣Qm(A)的和，即
Tm(A)＝Um(A)+Qm(A) 称为月球在地球内部任一点所产生的起潮力位。
n
若只取至二次项，化简可得
1 1 P2 (cos z m ) P2 (sin ) P2 (sin m ) P (sin ) P21 (sin m ) cos H m 2 3 1 2 P (sin ) P22 (sin m ) cos 2 H m 2 12
7.1 起潮力位及其调和展开
由于zm, zs都是地球内部空间位置和时间的函数，所以，起潮位和数 反映了起潮力在时间和空间上的分布规律。
2
7.1 起潮力位及其调和展开
7.1.3 起潮力位的展开 (1)勒让德展开与杜森常数
由 可得 r Mm Tm ( A) G r Pn (cos zm ) rm n 2 m