不等式基本概念

不等式
典例:1)对于实数,,a b c 中,给出下列命题:
①22a b ac bc >⇒>;
②22ac bc a b >⇒>（保证乘以或者除以某数大于小于号的方向不变）; ③220a b a ab b <<⇒>>;（时刻以0为比较对象进行区间范围划分归属）
④110a b a b <<⇒
<; ⑤0b a
a b a b
<<⇒>;
⑥0||||a b a b <<⇒>;（绝对值性质）
⑦0a b
c a b c a c b
>>>⇒>
--; ⑧11
,0,0a b a b a b
>>⇒><.
其中正确的命题是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是[1,7];（线性规划）
3)已知a b c >>,且0,a b c ++=则
c a 的取值范围是1(2,)2
--. 2、不等式大小比较的常用方法:
(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式); (3)分析法; (4)平方法;
(5)分子(或分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法;
(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)设01,0a a t >≠>且,比较11
log log 22
a a
t t +和的大小
答案:①当1a >时,11
log log 22a a t t +≤ (在1t =时取“=”);
②当01a <<时,11
log log 22
a a t t +≥(在1t =时取“=”);
2)已知0,1a a >≠,试比较3
2
11,a a p a q a ++==的大小.( 答:p q >)
3)设2a >,1
2
p a a =+-,2422a a q -+-=,试比较,p q 的大小(答:p q >);
4)比较1+log 3x 与2log 2(01)x x x >≠且的大小.
答:当01x <<或4
3
x >时,1+log 3x ＞2log 2x ;
当413x <<时,1+log 3x ＜2log 2x ;当4
3
x =时,1+log 3x ＝2log 2x
5)若,,a b c R +∈,且0.50.522log ,(0.5)log ,(0.5)log a b
c a b c ===,比较,,a b c 的大小.(答:c b a >>) 3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”. 典例:1)下列命题中正确的是( B )
A.1y x x =+的最小值是2
B.4
23(0)y x x x =-->
的最大值是2-
C.2
y =的最小值是2 D.4
23(0)y x x x =-->
的最小值是2-
2)若21x y +=,则24x y +
的最小值是3)已知,x y R +∈,且1x y +=,则82
x y
+的最小值为18; 变式①:已知01x <<,则
82
1x x +
-的最小值为 18 ; ②:已知,x y R +∈,且41
9x y
+=,则x y +的最大值为 1 ;
③:已知,x y R +∈,且4xy x y =+,则x y +的最小值为 9 ;
4.常用不等式有
2
112a b a b
+≥≥≥+(,,a b R +∈当a b =时取=号)
(2)2
2
2
()2(,,2
a b a b ab a b R ++≥≥∈当a b =时取=号)
上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.
(3)真分数性质定理:若0,0a b m >>>,则
b b m
a a m
+<
+(糖水的浓度问题). 典例:若,a b R +∈,满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是[)9,+∞.
5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.
比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.)
常用的放缩技巧有:
211111111(1)(1)1n n n n n n n n n
-=<<=-++--(右边当2n ≥时成立)
<
=典例:1)已知a b c >>,求证:222222a b b c c a ab bc ca ++>++ ; 2)已知,,a b c R ∈,求证:222222()a b b c c a abc a b c ++≥++;
3)已知,,,a b x y R +∈,且11
,x y a b
>>,求证:x y x a y b >
++; 4)若,,a b c 是不全相等的正数,求证:lg
lg lg lg lg lg 222
a b b c c a a b c +++++>++; 5)若*n N ∈,求证
(1)n +
<n ;
6)求证:222
111
1223n +
+++<. 6.常系数一元二次不等式的解法:判别式－图象法 步骤:(1)化一般形式:20(0)ax bx c ++≥<,其中0a >;
(2)求根的情况:200(0,0)ax bx c ++=−−−−−
→∆>=<能否因式分解
; (3)由图写解集:考虑2(0)y ax bx c a =++>图象得解.
典例:解不等式2620x x --+≤.(答:21
,)32
x ∈(-∞,-]⋃[+)
注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).
典例:若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|,}(0)x x m x n n m ><<<或,解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(答:11
{|,}x x x n m
<->-或)
7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:
其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回); (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集.
典例:1)解不等式2(1)(2)0x x -+≥.(答:{|1x
x ≥或2}x =-); 2)不等式(0x -的解集是{|3,1}x x x ≥=-或;
3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为∅,则不等式()()0f x g x ⋅>的解集为(,1)[2,)-∞+∞;
4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是81
[7,)8
.
8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.
典例:1)解不等式
2
5123
x
x x -<---(答:(1,1)(2,3)-); 2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞,则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为(,1)(2,)-∞-+∞.
注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.
9.绝对值不等式的解法:(了解)
(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)
典例:解不等式31
|2|2||42
x x -
≥-+;(答:x R ∈); (3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;
典例:解不等式|||1|3x x +->;(答:(,1)(2,)-∞-+∞) (4)两边平方
典例:若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围为4
{}3
10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键．” 注意:①解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.
②按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.
典例:1)若2log 13a
<,则a 的取值范围是21,03
a a ><<或; 2)解不等式2
()1
ax x a R ax >∈-.
(答:0a =时,{|x 0}x <;0a >时,1{|x x a >
或0}x <;0a <时,1
{|0,x x a
<<或0}x <) 含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.
一般地,设关于x 的含参数a 的一元二次形式的不等式为:2()()()0(0)f a x g a x r a ++≥<. (1)第一级讨论:讨论二次项系数()f a 是否为零;
(2)第二级讨论:若()0f a ≠时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论∆的符号;
(3)第三级讨论:若()0,0f a ≠∆>时,先观察两根12,x x 大小是否确定,否则讨论两根的大小. 注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“>”,“=”,“<”,应做到不重不漏. 典例:1)解关于x 的不等式220()ax x a a R -+<∈.
答:①当1a ≥时,x ∈Φ;②当01a <<时,x ∈;
③当0a =时,(0,)x ∈+∞;④当10a -≤<时,)x ⋃+∞
⑤当1a <-时,x R ∈
2)解关于x 的不等式222()ax x ax a R -≥-∈.
答:①当0a >时,2
,)x a
∈(-∞,-1]⋃[+∞;②当0a =时,(,1]x ∈-∞-
③当20a -<<时,2[,1]x a ∈-;④当2a =-时,{1}x ∈-;⑤当2a <-时,2
[1,]x a
∈-
提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式？
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法.
1).恒成立问题★★★
若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 典例:1)设实数,x y 满足22(1)1x y +-=,当0x y c ++≥时,c
的取值范围是)
1,+∞;
2)不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围1a <; 3)若221(1)x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,则x
的取值范围; 4)若不等式1
(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是3[2,)2
-
5)若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤恒成立,则m 的取值范围1
2
m >-
2).能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >;
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 注意:若方程()()a f x x D =∈有解,则等价于{|(),}a y y f x x D ∈=∈
典例:1)已知43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范围1a >
2)已知1
{|
2},2
P x x =≤≤函数22log (22)y ax x =-+的定义域为Q . ①若P Q ⋂≠Φ,求实数a 的取值范围.(答:4a >-)
②若方程22log (22)2ax x -+=在1
[,2]2
内有解,求实数的取值范围.(答:3[,12]2a ∈)
3). 恰成立问题
若不等式()f x A >在区间D 上恰成立,则等价于不等式()f x A >的解集为D ;
若不等式()f x B <在区间D 上恰成立,则等价于不等式()f x B <的解集为D . 12..简单的线性规划问题:
(1)二元一次不等式(组)表示平面区域
①一般地,二元一次不等式0(0)Ax By C ++><在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线;
重要公式总结
1，若
a ＞b,则
b ＜ a
2,若a ＞b,b ＞c,则a ＞c(不等式的传递
性
).
3,若a ＞b,则,a ＋c ＞b ＋c(不等式的可
加
性
).
4,若a ＞b.c ＞d 则,a ＋c ＞b ＋d 5,若a ＞b,c ＞0则,ac ＞bc;a ＞b,c ＜0则.ac ＜bc
6,若a ＞b ＞0,c
＞d
＞0则,ac ＞bd. 7,
若
a ＞
b ＞
则
,a^n
＞b^n.
﹙
n
∈
n*,n≥2
﹚
8,若a ＞b ＞0,则n 次根a ＞n 次根b. ﹙ n ∈n*,n≥2﹚
不等式的证明规律及证明方法
被称为均值不等式。

·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：
，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）
⑵对非负实数a,b，有，即
⑶对非负实数a,b，有
⑷对实数a,b，有
⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
⑼对非负数a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。