流体力学第五章：旋涡理论

Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt
（5－14）
证明:
C上微分长 ds 经dt时间后移到C′，移动速度 v '
θ: 是ds与ｒ的夹角
dH的方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 旋涡强度为Ｊ（环量Γ＝2Ｊ）的ds段涡丝
对于Ｐ点所产生的诱导速度：
流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿 整个涡丝积分：
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条 涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)：
3 2
涡线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。
涡线微分方程：
1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得 涡线微分方程式：
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
第一项积分可写成
c
dv dt
ds
c (F
1
p)ds
若质量力有势则
若流体正压则 p p P
dv
c dt ds c (U P)ds c d (U P) 0
所以 d 0
证毕
dt
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.漩涡诱导速度的一般提法 7.兰金组合涡
§５-１ 旋涡运动的基本概念
有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。
自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
又如绕流物体的流动，远前方流动对物体 无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运动。
注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性 的存在，这极薄一层为有旋运动。
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理 ——涡管强度守恒定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
或 c cVsds 2 nd
环量与旋涡强度通过线积分 与面积分联系起来了。
（5－11）
n
d
C
证 明:
流场中取微元矩形abcd
d abcdax)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( v y x
vx y
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
体，没有固体或空洞。
复连通域(多连通域)： C的内部有空洞或者包
含其他的物体。
AB线将σ切开，则沿周线
σ
ABB，A，EA前进所围的区域
为单连通域。 用斯托克斯定理有:
ABB'A'EA 2 nd
ABDB'A'EA AB C BA L
解: (a)：
由B—S定律
Ａ点： vxA
dxA dt
0
vyA
dyA dt
2
1 2a
4 a
B点：
vxB
dxB dt
0
vyB
dyB dt
2
1 2a
4 a
积分得: xA c1,
yA
t
4 a
c2
xB c3 ,
yB
t
4 a
c4
令ｔ＝０时
xA a, yA 0, xB a, yB 0,
代入方程得: Ｃ1=ａ Ｃ2=０ Ｃ3=-ａ Ｃ4=０
问题 已知速度场可由式（3-39）和（3-40）
求偏导来确定旋涡场。
已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题．
问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其
它区域全为无旋区。
例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为
旋涡诱导速度场。
涡丝诱导的速度场的计算: 为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中
涡管
证明： 涡管表面上取封闭流体周线C
由斯托克斯定理知沿周线C的=0
由汤姆逊定理该速度环量永远为零
即C所围的区域永远没有涡线通过。 即涡管永远由相同的流体质点所组成。
但涡管的形状和位置可能随时间变化。
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
第五章：旋涡理论(vortex theory)
课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 为什么游泳时应避开旋涡区？ 旋涡场: 存在旋涡运动的流场
即流场中 0
本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究
本章讨论内容：
1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）
c 2nd 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处为零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
即 C L 2 nd 则 有：Γｃ＋ΓＬ＝０
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
弯曲槽道内的二次流
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。
旋涡的产生： 与压力差、质量力和粘性力等
因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡 管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随 时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。
§５-４ 毕奥一沙伐尔定理
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱 导速度是：
直涡丝ＭＮ
ＭＮ段对Ｐ点的 诱导速度：
v
2
sin d
4 R 1
4 R
(cos1
cos2 )
方向垂直于纸面向外
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v
4 R
(cos1
cos2 )
4 R
[1
(1)]
2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
故Ａ，Ｂ两点的运动方程为:
Ａ点： xA a, Ｂ点： xB a,
yA
4 a
t
yB
t
4 a
在(a)中，两点涡大小相等， 方向相反。
两点涡相对位置保持不变，它们同时沿ｙ 方向等速向下移动。
情况 ( b )
的毕奥——沙伐尔定理引用过来。
诱导速度场与电磁场的类比
磁场
带电导线 电流强度ｉ 诱导磁场强度 dH
诱导速度场
涡丝(线) 旋涡强度 诱导速度场 dV
电磁场与诱导速度场的类比 场点
电磁学中，电流强度为ｉ的导线，微元导 线ds对场点Ｐ所产生的磁场强度由毕奥——沙 伐尔公式得:
式中：
ｒ: ds离场点P的矢径
1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。
例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。
问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVs ds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB
V Vs
B
微元弧 ds
Vs : v 在 ds 向的投影
ds
A
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
涡管上任取截面Ⅰ和 Ⅱ，并将涡管表面在 ａｂ处切开。
由斯托克斯定理
abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以
0
而 ab ba 0
因为ab ba
故得 0
由斯托克斯定理上式写成: nd nd
1
2
或 nd const. 即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截
面上的旋涡强度都相同。
对于无旋场:
c
cVx dx Vy dy Vz dz
dx dy dz
c x y z
c d 0
对于有旋场:
c cVsds 2 nd
此式称为斯托克斯定理
（5－11）
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理：沿任意闭曲线的速度环等于该
曲线为边界的曲面内的旋涡强
度的两倍,即 Γｃ＝２J
导数：
d dt
d dt
c vds
c
dv dt
ds
cv
d dt
ds
第二项积分可写成
d
ds ds
c v dt ds c v( dt )
ds v2
C
v1
r1
r2
C
ds
v1
v2
r1
r2
ds ds dt
v2
v1
dv
因此 v d ds v( ds ds ) vdv d v2 0
c dt
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量
ΓL ：沿内边界顺时针的环量
AB BA
积分路线相反，抵消掉了。
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
最后有 C L 2nd
(5-13)
这就是双连通域的斯托克斯定理。
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
b x
0
d 2zdS 2ndS 2dJ
将C域分为若干微矩形, 对各微分面积求d
两邻矩形公共边积分 反向,速度环量其和为零。
内部线段环量相互抵消， 只剩外部边界的环量。
C 2nd 2J
（5－12） 推广到有限大平面
证毕
V
α Vs
ds C
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
Vxdx Vy dy Vz dz
AB
AB
x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
对于有旋场:
由公式 AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
计算
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
dx dy dz
(5-1)
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
若已知 x ,y ,z ，积分上式可得涡线。
与流线的积分一样，将ｔ看成参数。ｔ取定 值就得到该瞬时的涡线。
涡管（ vortex tube ）：
在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是 涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成 的管状曲面称涡管。
涡丝（vortex filament）：
涡管中充满着作旋转运动的 流体，称为涡束。截面积为无 限小的涡束称为涡索（涡丝）。
任取微分面积dσ， 法线分量为ωｎ
则 dＪ＝ωndσ
(5-2)
为dσ上的旋涡强度
n
沿σ面积分得旋涡强度：
d
J nd
（5－3）
若σ是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度。
Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
v
4 R
(cos1
cos2
)
4 R
[0
(1)]
4 R
在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动
都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面
点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速
度为:
v 2 R
vr 0
R为场点至点涡的距离 例3.4中已证明这种速度场是无旋的。
例5.1 如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。
若涡管很小， 垂直于 dσ ，则上式可写成
ωdσ＝ const.
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或 开始，否则ｄσ→０时有ω→∞。
因为
涡管存在的形式：要么终止
于流体边界或固体边界，要 么自行封闭形成涡环。
不可能 的情况
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下，
涡管永远由相同的流体质点所组成。
向相同时（成锐角）为正,反之为负。
线积分方向相反的速度环量相差一负号，即
ΓAB＝－ΓBA
（5－5)
速度环量的其他表示形式：
AB V ds V cos(V ,ds)ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
AB
沿封闭周线C的速度环量
c cVs ds cV ds cVx dx Vy dy Vz dz