2021年高三上学期第一次段考数学试卷含解析

2021年高三上学期第一次段考数学试卷含解析
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=．
2．函数y=lgx+的定义域是．
3．“0＜a＜b”是“（）a＞（）b”的条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）
4．命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是．
5．曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程是．
6．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围
为．
7．已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，则t的值为．
8．已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）•g（x）+3x﹣4，其中函数y=g （x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为．
9．设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则
（1）f（x）的周期是2；
（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；
（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3
其中正确的命题的序号是．
10．若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．
11．设f（x）表示﹣x+6和﹣2x2+4x+6的较小者，则函数f（x）的最大值为．
12．已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．
13．设x1，x2∈R，函数f（x）满足e x=，若f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）最小值是．
14．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f （2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
二、解答题：共6小题，共计90分
15．已知命题p：“方程x2﹣ax+a+3=0有解”，q：“﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q 为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
16．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣+1 （1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．
18．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
19．轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）
20．记函数的导函数为，已知．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数n使得函数g n（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：，试比较x0与m的大小，并加以证明．
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．选修4­2：矩阵与变换
21．已知矩阵M=有特征值λ1=4及对应的一个特征向量．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．
坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2 （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．
（1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．
24．已知等比数列{a n}的首项a1=2，公比q=3，S n是它的前n项和．求证：≤．
xx学年江苏省南通市天星湖中学高三（上）第一次段考
数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N={1，2}．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，
∵M={0，1，2}，
∴M∩N={1，2}，
故答案为：{1，2}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．函数y=lgx+的定义域是{x|x≥1}．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】利用对数的性质和根式的性质，得到y=lgx+的定义域是：{x|}，由此能够求出结果．【解答】解：y=lgx+的定义域是：
{x|}，
解得{x|x≥1}．
故答案为：{x|x≥1}．
【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．“0＜a＜b”是“（）a＞（）b”的充分不必要条件．（填充分而不必要条件、必要而不充分件、充分条件、既不充分也不必要条件中一个）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】根据指数函数的性质先求出a＜b，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：由（）a＞（）b得：a＜b，
故0＜a＜b是a＜b的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．
4．命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是∃x0∈R，．．
【考点】命题的否定．
【专题】证明题．
【分析】根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定￢p为“∃x0∈M，￢p（x）”．即可求出．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是“∃x0∈R，”．故答案为“∃x0∈R，”．
【点评】掌握全称命题的否定是特称命题是解题的关键．
5．曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程是y=2x+1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；导数的概念及应用．
【分析】求出函数y=sinx+e x的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【解答】解：y=sinx+e x的导数为y′=cosx+e x，
在点（0，1）处的切线斜率为k=cos0+e0=2，
即有在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．
6．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，
∴f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，
∴△=4m2﹣12（m+6）＞0
解得m＜﹣3或m＞6．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．
7．已知幂函数f（x）=（t3﹣t+1）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，则t的值为1或﹣1．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的定义先求出t的值，然后结合幂函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．
【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，
∴t3﹣t+1=1，即t3﹣t=0，
则t（t2﹣1）=0，
则t=0或t=1或t=﹣1，
当t=0时，f（x）=x7为奇函数，不满足条件．
当t=1时，f（x）=x2是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．
当t=﹣1时，f（x）=x8是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．
故t=1或t=﹣1
故答案为：1或﹣1
【点评】本题主要考查幂函数的性质，利用幂函数的定义求出t的值是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．
8．已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）•g（x）+3x﹣4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为1．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由已知可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），进而得到答案．
【解答】解：∵f（x）=（x2﹣3x+2）•g（x）+3x﹣4，
f（1）=﹣1＜0，
f（2）=2＞0，
故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），
故k=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，熟练掌握函数零点的判定定理，是解答的关键．
9．设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则
（1）f（x）的周期是2；
（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；
（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3
其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），可判断（1）；
（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；
（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；
（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），从而可得f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．
【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；
（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，
∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；
（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，
f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；
（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），
∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，
∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．
综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．
10．若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是a＞0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．
【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）
∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，
∵x＞0，∴＞0，即a＞0．
∴实数a的取值范围是a＞0．
故答案为：a＞0．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．
11．设f（x）表示﹣x+6和﹣2x2+4x+6的较小者，则函数f（x）的最大值为6．
【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】作出函数的图象，利用一次函数、二次函数的单调性，讨论函数f（x）在各个区间上最值的情况，即可得到函数f（x）的最大值．
【解答】解：设函数y1=﹣x+6，函数y2=﹣2x2+4x+6
作出它们的图象如图，可得它们的交点为A（0，6），B（，）
由此可得
当x≤0时，函数f（x）=﹣2x2+4x+6，在x=0时有最大值为6；
当0＜x＜时，函数f（x）=﹣x+6上，最大值小于6；
当x≥时，f（x）=﹣2x2+4x+6，在x=时有最大值为
综上所述，得函数f（x）的最大值是6
故答案为：6
【点评】本题给出两个函数取较小的对应法则，求函数的最大值，着重考查了基本函数的单调性和函数的最值及其几何意义等知识，属于基础题．
12．已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（25，34）．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则：b+c=2×12=24，
a∈（1，10）
则a+b+c=24+a∈（25，34），
故答案为：（25，34）．
【点评】本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力．
13．设x1，x2∈R，函数f（x）满足e x=，若f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）最小值是．【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】由条件求得f（x）的解析式，再由f（x1）+f（x2）=1，可得=++3，运用基本不等式可得≥9，再由函数的单调性，即可得到最小值．
【解答】解：由e x=，可得
f（x）==1﹣，
由f（x1）+f（x2）=1，可得+=，
即为=++3，由+≥2，
即有≥2+3，
解得≥3，
即为≥9，当且仅当x1=x2，取得等号，
则f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．
即有最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．
14．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f （2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是①②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数思想；分析法；简易逻辑．
【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）= (2)
﹣1f（2）=0；
②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；
④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．
【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
【点评】考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．
二、解答题：共6小题，共计90分
15．已知命题p：“方程x2﹣ax+a+3=0有解”，q：“﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q 为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得△≥0，解得a的取值范围．命题q﹣a≥0
在[0，+∞）上恒成立，即a≤，解得a的取值范围．由于p或q为真命题，p且q为假命题，命题p与q一真一假，分别求出，即可得到a的取值范围
【解答】解：命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得，△=a2﹣4a﹣12≥0，解得a≤﹣2或a≥6．命题q：“﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立，a≤，设f（x）=，因为f（x）在[0，+∞）为减函数，所以f（x）＞0，
解得a≤0．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴命题p与q一真一假，
当p真q假时，，解得a≥6，
当p假q真时，，解得﹣2＜a≤0，
综上实数a的取值范围是（﹣2，0]∪[6，+∞）．
【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、函数恒成立的问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
16．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣+1 （1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数f（x）是奇函数，得出f（﹣x）=﹣f（x），
再根据x＞0时f（x）的解析式，求出x＜0时f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）是（﹣∞，0）上的单调增函数即可．
【解答】解：（1）函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）；
又x＞0时，f（x）=﹣+1，
∴x＜0时，﹣x＞0，
∴f（﹣x）=﹣+1=+1；
∴﹣f（x）=+1，
∴f（x）=﹣﹣1；
即x＜0时，f（x）=﹣﹣1；
（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（﹣﹣1）﹣（﹣﹣1）=﹣=，
∵x1＜x2＜0，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是（﹣∞，0）上的单调增函数．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．
17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．
【考点】函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．（2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数．
（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知进而求得x的范围．
【解答】解：（1）f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1．
故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．
（2）f（x）为奇函数
由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，
且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
故f（x）为奇函数．
（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，
所以．
解得0＜x＜1．
所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．
【点评】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．
18．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；
（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a＜e，求得单调区间和最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f′（x）=．
由f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．
又h′（x）==．
由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，
所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．
（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．
①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．
故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），
由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．
因为＞e﹣1．所以a＞．
②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，
由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．
h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．
因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．
则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．
综上所述：a∈（，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
19．轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）
【考点】抛物线的标准方程；函数与方程的综合运用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2+b0x+c0，由题意，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），得出方程组，由此能求出结果．（2）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意知，由此入手能求出g（x）有最大值，用飞行过程中距离平台最大高度，利用不等关系即可得出运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．
【解答】解：（I）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2+b0x+c0，
由题意知
解得a0=1，b0=﹣4，c0=4，
∴助跑道所在的抛物线方程为y=x2﹣4x+4．
（II）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax2+bx+c，（a＜0）
由题意知，得，解得
∴g（x）=ax2+（2﹣6a）x+9a﹣5=a（x﹣）2+1﹣，
令g（x）=1，得（x﹣）2=，
∵a＜0，∴x=，
当x=时，g（x）有最大值1﹣，
则运动员飞行距离d=3﹣﹣3=﹣，飞行过程中距离平台最大高度h=1﹣﹣1=﹣，
依题意4≤﹣≤6，得2≤﹣≤3．
飞行过程中距离平台最大高度的取值范围在2米到3米之间．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
20．记函数的导函数为，已知．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数n使得函数g n（x）有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数x0和m（m＞0，且m≠1）满足：，试比较x0与m的大小，并加以证明．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）直接由列式求a的值；
（Ⅱ）求出函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数的符号判断原函数的单调性，求出原函数的最值，根据最值分析函数的零点个数；
（Ⅲ）求出，代入，解出x0，把x0与m作差后构造辅助函数，求出辅助函数的导函数，由辅助函数的单调性即可证明x0与m的差与0的大小关系，则结论得到证明．
【解答】解：（Ⅰ），由，得a=1；
（Ⅱ），，
∵x＞0，令，得．
当x＞时，，g n（x）是增函数；
当0＜x＜时，，g n（x）是减函数；
所以当时，g n（x）有极小值，也是最小值，．
当x→0时，g n（x）→+∞；
当x→+∞时，（可取x=e，e2，e3，…体验），g n（x）→+∞．
当n≥3时，，函数g n（x）有两个零点；
当n=2时，，函数g n（x）有两个零点；
当n=1时，，函数g n（x）只有一个零点；
综上所述，存在n=1使得函数g n（x）有且只有一个零点．
（Ⅲ），
∵，∴．
解得，
则，
当m＞1时，（n+1）（m n﹣1）＞0，设h（x）=﹣x n+1+x（n+1）﹣n（x≥1），
则h′（x）=﹣（n+1）x n+n+1=﹣（n+1）（x n﹣1）≤0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在[1，+∞）上是减函数，
又因为m＞1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＜0，所以x0＜m．
当0＜m＜1时，（n+1）（m n﹣1）＜0，设h（x）=﹣x n+1+x（n+1）﹣n（0＜x≤1），
则h′（x）=﹣（n+1）x n+n+1=﹣（n+1）（x n﹣1）≥0（当且仅当x=1时取等号），
所以h（x）在（0，1]上是增函数，又因为0＜m＜1，所以h（m）＜h（1）=0，所以x0﹣m＞0，
所以x0＞m．
综上所述，当m＞1，x0＜m．当0＜m＜1时，x0＞m．
【点评】本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了构造函数法进行不等式的大小比较，是有一定难度题目．
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．选修4­2：矩阵与变换
21．已知矩阵M=有特征值λ1=4及对应的一个特征向量．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．
【考点】特征值与特征向量的计算．
【专题】计算题．
【分析】（1）由矩阵M=[]有特征值λ1=4及对应的一个特征向量，可得[]=，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩阵M；
（2）设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），则=[]，即，代入曲线5x2+8xy+4y2=1后化简可得曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．
【解答】解：（1）∵M=[]，．
则[]=
即2+3b=8，2c+6=12
解得b=2，c=3
∴M=[]
（2）设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），
则=[]
即
即
代入曲线5x2+8xy+4y2=1得x′2+y′2=2
即曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程为x2+y2=2
【点评】本题考查的知识点是特征值与特征向量的计算，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键
坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2 （Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），求得点P到直线l距离d=，可得d的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2，即ρcosθ+ρsinθ=4，
化为直角坐标方程为x+y﹣4=0．
（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），点P到直线l距离d==，
其中，sinβ=，cosβ=．
故当sin（α+β）=﹣1时，d取得最大值为=+2．
【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．
（1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．
【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PN⊥AM．
（2）求出平面PMN的一个法向量，由此利用向量法能求出sinθ．
【解答】（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），P（，0，1），
M（0，1，），N（，，0），
，=（0，1，），
∵=0+=0，
∴PN⊥AM．
（2）解：设平面PMN的一个法向量为=（x1，y1，z1），
，=（﹣），
则，
令y1=2，得=（3，2，1），
又=（1，﹣1，﹣），
∴sinθ===．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
24．已知等比数列{a n}的首项a1=2，公比q=3，S n是它的前n项和．求证：≤．
【考点】等比数列的前n项和；用数学归纳法证明不等式．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】利用等比数列的求和公式可得，S n=3n﹣1，要证明，等价于即证3n≥2n+1（*）成立
（法一）用数学归纳法证明
先验证①当n=1时，（*）式成立，②再假设当n=k时（*）成立，证明当n=k+1时，命题也成立．
（法二）利用二项式定理，检验当n=1时（*）成立
当n≥2时，3n=（1+2）n=C n0+2C n1+22C n2+…+2n C n n=1+2n+…＞1+2n
从而可得
【解答】证明：由已知，得S n=3n﹣1
要证明等价于即3n≥2n+1（*）
（方法一）用数学归纳法证明
①当n=1时，左边=3，右边=3，所以（*）式成立
②假设当n=k时（*）成立，即3k≥2k+1
那么当n=k+1时，3k+1=3×3k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以当n=k+1时（*）也成立
综合①②可得，3n≥2n+1
（法二）当n=1时，左边=4，右边=4，所以（*）成立
当n≥2时，3n=（1+2）n=C n0+2C n1+22C n2+…+2n C n n=1+2n+…＞1+2n
所以
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，不等式的证明，数学归纳法证明不等式的应用，二项式定理的运用．
k 0-39215 992F 餯`nC30817 7861 硡3
/22418 5792 垒36983 9077 遷35813 8BE5 该。