2020高考数学热点集锦 基本函数的性质

基本函数的性质

【两年真题重温】

1.【2020⋅新课标全国】下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )．

A ．3y x =

B ．||1y x =+

C ．21y x =-+

D ．||

2x y -=

和

4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是

（A ）

1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q

【答案】C

【解析】命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.

1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x x y -=+为偶函数，则22x x

y -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x x

y -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2

p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C.

【命题意图猜想】

高中阶段包含基本函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，其中以指数函数和对数函数的性质为命题热点，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的。题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用指数和对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．也应为同学们必须得分的题目。2020年以指数函数为背景考查复合函数的性质，2020年以多个基本函数为背景考查了函数性质，均没有涉及到对数函数的基本性质，这是我们应该关注的一个重点。同时需要注意幂函数的图像在解题中应用。 【最新考纲解读】 1．指数函数

①通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

图象与性质及数值大小比较等问题上，结合数形结合、分类讨论、函数与方程的思想予以考查，与方程、不等式、分段函数、数列、导数、三角函数等相联系，仍将是命题的重点． 【回归课本整合】 1指数式、对数式：

m n m n

a a =1m n

m

n a

a -=，，01a =，

log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =，

log log log c a c b

b a =

，

log log m n a a n

b b

m =.

2.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利

用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较. 3.指数函数：

1a > 01a <<

图象

性质

定义域：R 值域：

()0,+∞过定点()0,1

1y =

O

x

y

x

O

y 1y =

在R 上是增函数

在R 上是减函数

当0x >，1y >； 当

x <，

01y <<.

当0x >，01y <<； 当0x <，1y >.

抽象形式

()()(),()()()f x y f x f y f x y f x f y +=-=÷

（2）y a =(0a >且1a ≠)的图象特征：

①1>a 时，图象像一撇，过点

()0,1,且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴(如图1)； ②01a <<时，图象像一捺，过点

()0,1,且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴(如图2)；

③x y a =与x

a y -=的图象关于y 轴对称(如图3).④x y a =的图象如图4

4. 对数函数

（1）对数的图象和性质：

1a >

01a <<

图

象

1

o

y x

1

o

y x

性

质

定义域：（0，+∞）值域：R 过定点（1，0）

)1,0(∈x 时 0

),1(+∞∈x 时 0>y

)1,0(∈x 时0>y ),1(+∞∈x 时0

（2）

)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：

①1>a 时，图象像一撇，过

()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； ②

01a <<时，图象像一捺，过

()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴.

③x

a y =（1,1a a >≠）与x y a log =互为反函数，图象关于y x =对称；如图2

④

log (1)

a y x a =>的图象3.⑤

log (1)

a y x a =>的图象4.

5.幂函数的定义和图象

（1）定义：形如y ＝x α

的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，21，－1,0，－21，－2时的幂函数。

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

形

式 ()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =+÷=-；