二叉查找树
平衡二叉树用途
平衡二叉树用途介绍平衡二叉树是一种特殊的二叉树数据结构，它的所有节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
平衡二叉树可以有效地支持高效的检索、插入和删除操作。
它在很多应用领域都有广泛的用途。
二叉查找树平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树，也称为AVL树。
二叉查找树是一种有序的二叉树，它的每个节点都包含一个关键字，左子树的所有节点的关键字小于根节点的关键字，右子树的所有节点的关键字大于根节点的关键字。
二叉查找树的一个重要应用是在数据库中实现索引。
数据库的索引是为了快速查找和排序数据而创建的，通过将数据存储在一个有序的平衡二叉树中，可以实现较快的检索。
平衡二叉树的性质平衡二叉树具有以下几个重要的性质：1.每个节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
2.所有节点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。
3.节点的左子树和右子树的高度差不超过1，称为平衡因子。
这些性质保证了平衡二叉树的高度始终保持在较小的范围内，使得它的插入、删除和查找操作都能在较快的时间内完成。
平衡二叉树的插入操作平衡二叉树的插入操作是通过不断地进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
插入操作的大致过程如下：1.在树中找到插入位置，并插入新节点。
2.从插入位置向上回溯到根节点，检查每个节点的平衡因子。
3.如果平衡因子超过1或小于-1，说明树失去平衡，需要进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的删除操作平衡二叉树的删除操作也需要进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
删除操作的大致过程如下：1.在树中找到待删除节点。
2.如果待删除节点没有子节点，直接删除即可。
3.如果待删除节点有一个子节点，将子节点替换为待删除节点。
4.如果待删除节点有两个子节点，找到待删除节点的后继节点，将后继节点替换为待删除节点，然后删除后继节点。
在删除操作中，需要注意维护平衡二叉树的平衡性，需要根据情况进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的优点平衡二叉树具有以下几个优点：1.高效的查找操作：平衡二叉树的平衡性保证了树的高度较小，因此查找操作的时间复杂度为O(logN)，其中N表示树中节点的数量。
AVL树自平衡的二叉搜索树
AVL树自平衡的二叉搜索树AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它是根据其发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 的姓氏首字母而得名。
AVL树解决了传统二叉搜索树由于插入或删除操作导致树结构不平衡而引发的性能问题。
1. 什么是二叉搜索树？二叉搜索树，又称二叉排序树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构。
在二叉搜索树中，每个节点都包含一个键值，并且节点的左子树中的键值小于节点的键值，右子树中的键值大于节点的键值。
2. 为什么需要自平衡？传统的二叉搜索树在执行插入或删除操作时，可能会导致树结构不平衡，使得树的高度远大于理想情况下的最小高度。
当树的高度增加后，查找、插入、删除等操作的时间复杂度也会增加，进而影响整体性能。
3. AVL树的自平衡特性AVL树通过保持树的平衡性来提高性能。
对于每一个节点，AVL 树通过计算其左右子树的高度差（平衡因子）来判断是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。
当平衡因子超过一定阈值时，进行相应的旋转操作来维持平衡。
4. AVL树的旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。
左旋操作将当前节点的右子树变为新的根节点，而右旋操作则恰恰相反。
通过旋转操作，AVL树可以在保持二叉搜索树性质的同时，实现树的自平衡。
5. AVL树的插入操作在进行插入操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到插入位置，并插入新的节点。
然后，从插入节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
6. AVL树的删除操作在进行删除操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到待删除的节点，并执行删除操作。
然后，从删除节点的父节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
7. AVL树的平衡性保证AVL树的自平衡操作保证了树的高度始终保持在理想情况下的最小高度的常数倍。
通过对平衡因子的检查并执行旋转操作，AVL树能够有效地保持树的平衡性，使得查找、插入、删除等操作能够在较快的时间内完成。
二叉查找树
二叉查找树（BST，Binary Search Tree），又名二叉搜索树或二叉检索树，是一颗满足如下条件的树：1、每个节点包含一个键值2、每个节点有最多两个孩子3、对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质:a、如果y在x的左子树里，则key[y] <= key[x]b、如果y在x的右子树里，则key[y] >= key[x]最优二叉查找树（Optimal BST，Optimal Binary Search Tree）最优二叉查找树是使查找各节点平均代价最低的二叉查找树。
具体来说就是：给定键值序列K = <k1, k2, . . . , kn>，k1 < k2 <.. <kn，其中键值ki,被查找的概率为pi，要求以这些键值构建一颗二叉查找树T，使得查找的期望代价最低（查找代价为检查的节点数）。
下面是对于查找期望代价的解释：对于键值ki, 如果其在构造的二叉查找树里的深度（离开树根的分支数）为depthT(ki)，则搜索该键值的代价= depthT(ki) +1（需要加上深度为0的树根节点）。
由于每个键值被查找的概率分别为pi，i=1,2,3…,n。
所以查找期望代价为：E[T的查找代价] = ∑i=1~n(depthT(ki) +1)*pi时间复杂度1、穷举穷举构造最优二叉查找树，其实就是这样的一个问题：给一个拥有n个数的已排序的节点，可以将其构造成多少种不同的BST（用来找到一个最优的二叉查找树）？设可以构造成T(n)个，那么枚举每一个元素作为根节点的情况，当第一个元素作为根节点时，其余n-1个构成右子树，无左子树，是n-1情况时的子问题，共T(n-1)种；当第二个元素作为根节点时，左子树有1个元素，右子树有n-2个元素，根据乘法原理共有T(1)T(n-2)种情况……依此类推得到：T(n)= (0)T(n-1)+T(1)T(n-2)+T(2)T(n-3)+ ......+T(n-2)T(1)+T(n-1)T(0)；此外，有T(0)=T(1)=1。
数据结构的树应用中的问题
数据结构的树应用中的问题树是一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。
树的应用涉及到许多问题，本文将介绍其中一些常见的问题及其解决方法。
一、二叉搜索树的查找二叉搜索树是一种特殊的树结构，它的每个节点都包含一个值，并且左子树的值小于该节点的值，右子树的值大于该节点的值。
在二叉搜索树中，我们可以通过比较节点的值来快速地进行查找操作。
具体的查找方法可以使用递归或迭代的方式实现，通过不断比较节点的值，直到找到目标节点或者遍历到叶子节点为止。
二、二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树中的所有节点。
常用的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是指先访问根节点，然后按照先左后右的顺序遍历左右子树；中序遍历是指先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树；后序遍历是指先遍历左右子树，最后访问根节点。
这三种遍历方式在不同的问题中有着不同的应用，具体的选择取决于问题的要求。
三、树的高度和深度树的高度和深度是指从根节点到叶子节点的最长路径上的节点数。
计算树的高度可以使用递归的方法，分别计算左子树和右子树的高度，然后取较大值再加上根节点即可。
树的深度可以通过求解根节点到目标节点的路径长度来实现，具体方法可以使用递归或迭代的方式。
四、树的平衡性检查树的平衡性是指树的左右子树的高度差不超过一个固定值。
平衡树的好处是可以提高树的查找效率。
常见的平衡树有AVL树和红黑树。
平衡树的插入和删除操作会涉及到旋转操作，通过旋转可以调整树的结构以保持平衡。
五、树的最小生成树最小生成树是指在一个加权连通图中选择一棵包含所有顶点的树，使得树的总权值最小。
常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，从一个起始点开始，每次选择与当前树相连的最小权值的边，逐步扩展生成树。
Kruskal算法则是一种基于并查集的算法，首先将图中的边按照权值从小到大排序，然后逐步选择权值最小且不会形成环的边加入生成树。
二叉树的自平衡
二叉树的自平衡
自平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树（Binary Search Tree，BST），它在插入或删除节点时能够自动调整树的结构，以保持树的平衡性。
平衡性的维护有助于确保在查找、插入和删除等操作时，树的性能保持在较高水平。
常见的自平衡二叉树包括：
1.A VL树：A VL树是一种最早被发明的自平衡二叉树。
在A VL树中，任意节点的左右子树高度之差（平衡因子）不能超过1。
当进行插入或删除操作后，如果破坏了平衡性，A VL树会通过旋转操作（左旋或右旋）来重新平衡。
2.红黑树：红黑树是一种更为灵活的自平衡二叉树。
在红黑树中，每个节点都被标记为红色或黑色，并通过一些规则确保树的平衡性。
这些规则包括节点颜色的变换和树的旋转。
3.Splay树：Splay树在每次访问一个节点后，将该节点移动到树的根位置，以提高后续对该节点的访问速度。
Splay树不维持固定的平衡条件，但通过频繁的局部调整来实现整体的平衡。
4.Treap（树堆）：Treap是一种随机化的自平衡二叉树，结合了二叉搜索树和堆的性质。
每个节点有一个随机的优先级值，通过调整节点的优先级和执行旋转来保持树的平衡。
这些自平衡二叉树的设计灵感各异，选择适当的树取决于应用的具体要求。
自平衡二叉树的主要优势是保持较低的查找、插入和删除操作的时间复杂度，使其在很多应用中都是一个有用的数据结构。
平衡二叉树用途
平衡二叉树用途平衡二叉树（Balanced Binary Tree），也称为AVL树，是一种特殊的二叉查找树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的设计和应用在计算机科学领域有着广泛的用途。
平衡二叉树用于提高数据的查询效率。
由于平衡二叉树的特殊结构，其查询操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。
相比于普通的二叉查找树，平衡二叉树能够保证树的高度始终在一个较小的范围内，从而提高了查询效率。
在数据库中，平衡二叉树被广泛应用于索引结构，用于快速定位和检索数据。
平衡二叉树用于实现有序集合的操作。
由于平衡二叉树的特性，它能够自动维护节点的有序性。
在集合操作中，平衡二叉树可以快速地进行插入、删除和查找等操作，而且保证有序性的同时，仍然保持较高的效率。
因此，平衡二叉树在实现有序集合的数据结构中发挥着重要的作用。
平衡二叉树还用于实现高效的自平衡数据结构。
由于平衡二叉树的特点，它在插入和删除节点时能够自动地进行树的调整，以保持树的平衡性。
这种自平衡的特性使得平衡二叉树在实际应用中非常有用，例如在红黑树、B树和B+树等数据结构的实现中，都使用到了平衡二叉树的思想。
平衡二叉树还可以用于解决一些特定的计算问题。
例如，通过构造平衡二叉树，可以高效地解决动态规划问题中的最优二叉查找树问题。
同时，平衡二叉树还可以应用于网络路由算法、数据压缩和编码等领域，以提高算法的效率和性能。
平衡二叉树作为一种重要的数据结构，在计算机科学领域有着广泛的用途。
它不仅可以提高数据的查询效率，实现有序集合的操作，还能够实现高效的自平衡数据结构，并解决一些特定的计算问题。
通过合理地利用和应用平衡二叉树，可以提高算法的效率和性能，从而使得计算机系统更加高效和可靠。
二叉排序树
就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移 动结点，只需修改指针即可完成插入和删 除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)， 因此更有效。二分查找所涉及的有序表是 一个向量，若有插入和删除结点的操作， 则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当 有序表是静态查找表时，宜用向量作为其 存储结构，而采用二分查找实现其查找操 作；若有序表里动态查找表，则应选择二 叉排序树作为其存储结构。
if(q->lchild) //*q的左子树非空，找*q的左子 树的最右节点r. {for(q=q->lchild;q->rchild;q=q->rchild); q->rchild=p->rchild; } if(parent->lchild==p)parent->lchild=p>lchild; else parent->rchild=p->lchild; free(p)； /释放*p占用的空间 } //DelBSTNode
下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的： 45，24，55，12，37，53，60，28，40，70 下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的： 12，24，28，37，40，45，53，55，60，70
在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态 有关： ①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n 个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为 棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺 序查找相同，亦是(n+1)/2。 ②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形 态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树 相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。 ③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。 (3)二叉排序树和二分查找的比较 就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找 差不多。
二叉排序树的构造方法
二叉排序树的构造方法二叉排序树又称二叉查找树，是一种经典的数据结构，它具有快速的插入、删除和查找等操作。
在实际应用中，二叉排序树被广泛地使用，因此了解二叉排序树的构造方法至关重要。
本文将介绍二叉排序树的构造方法，帮助读者深入理解这一数据结构。
一、二叉排序树基本概念二叉排序树是一种二叉树，每个节点包含一个值，并且满足以下性质：1. 左子树上所有节点的值均小于其父节点的值；2. 右子树上所有节点的值均大于其父节点的值；3. 左右子树也分别为二叉排序树。
根据上述性质，可以得出二叉排序树的中序遍历结果为有序序列。
这一特点使得二叉排序树成为一种非常有效的数据结构，用于快速查找和排序。
二、二叉排序树的构造方法在构造二叉排序树时，一般采用递归或循环遍历的方法。
下面将分别介绍这两种构造方法。
1. 递归构造方法递归构造方法是一种常见且直观的构造二叉排序树的方式。
其基本原理为，将新节点插入到当前节点的左子树或右子树上，直至找到合适的位置。
具体流程如下所示：（1）若二叉排序树为空，直接将新节点作为根节点插入；（2）若新节点值小于当前节点值，则递归地将其插入到左子树上；（3）若新节点值大于当前节点值，则递归地将其插入到右子树上。
通过递归构造方法，可以很方便地构造出一棵满足二叉排序树性质的树。
2. 循环构造方法循环构造方法是另一种构造二叉排序树的方式，通过使用迭代的方式，逐步构建二叉排序树。
其基本思路为：（1）从根节点开始，若树为空，则直接将新节点插入为根节点；（2）若树不为空，则利用循环遍历的方式，找到新节点应插入的位置，直至找到合适的叶子节点；（3）将新节点插入到找到的叶子节点的左子树或右子树上。
循环构造方法相对于递归构造方法，更加迭代化，适合于对二叉排序树进行迭代构造和遍历。
三、二叉排序树构造方法的实现在实际编程中，可以通过使用递归或循环的方式，实现二叉排序树的构造。
下面将简要介绍二叉排序树构造方法的实现过程。
1. 递归实现递归实现二叉排序树的构造方法一般通过编写递归函数，不断地将新节点插入到当前节点的左子树或右子树上。
介绍二叉排序树的结构和特点
介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。
二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。
2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。
3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。
二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。
由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。
2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。
对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。
3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。
删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。
4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。
将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。
二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。
(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。
2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。
(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。
二叉排序树查找的递归算法
二叉排序树查找的递归算法介绍二叉排序树（Binary Search Tree），也称二叉查找树、有序二叉树或排序二叉树，是一种常用的数据结构。
它具有以下特点：•每个节点都包含一个键值和对应的数据。
•左子树中的所有节点的键值都小于根节点的键值。
•右子树中的所有节点的键值都大于根节点的键值。
•左右子树也分别是二叉排序树。
二叉排序树支持高效的查找、插入和删除操作，其中查找操作是利用递归实现的。
本文将详细介绍二叉排序树查找的递归算法。
二叉排序树的定义二叉排序树的定义如下：class TreeNode:def __init__(self, key, data):self.key = keyself.data = dataself.left = Noneself.right = Noneclass BinarySearchTree:def __init__(self):self.root = None在二叉排序树中，每个节点都是一个TreeNode对象，包含键值key和对应的数据data。
left和right分别指向左子树和右子树的根节点。
树的根节点由BinarySearchTree对象的root属性表示。
二叉排序树查找的递归算法二叉排序树的查找操作是利用递归实现的，其具体算法如下：1.如果待查找的键值等于当前节点的键值，返回当前节点的数据。
2.如果待查找的键值小于当前节点的键值，递归在左子树中查找。
3.如果待查找的键值大于当前节点的键值，递归在右子树中查找。
4.如果在左子树或右子树中找不到对应的键值，则返回空。
下面是二叉排序树查找的递归算法的代码实现：def search_recursive(node, key):if node is None or node.key == key:return node.dataelif key < node.key:return search_recursive(node.left, key)else:return search_recursive(node.right, key)在上述代码中，node表示当前节点，key表示待查找的键值。
数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf
以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。
常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。
若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。
二叉树
平衡树——特点：所有结点左右子树深度差≤1排序树——特点：所有结点―左小右大字典树——由字符串构成的二叉排序树判定树——特点：分支查找树（例如12个球如何只称3次便分出轻重）带权树——特点：路径带权值（例如长度）最优树——是带权路径长度最短的树，又称Huffman树，用途之一是通信中的压缩编码。
1.1 二叉排序树：或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：（1）若左子树不为空，左子树的所有结点的值均小于根的值；（2）若右子树不为空，右子树的所有结点均大于根的值；（3）它的左右子树也分别为二叉排序树。
例：二叉排序树如图9.7：二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。
中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。
每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。
搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(logn),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态排序方法.2.2 二叉排序树b中查找在二叉排序树b中查找x的过程为：1. 若b是空树，则搜索失败，否则：2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：4. 查找右子树。
[cpp]view plaincopyprint?1.Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){2. //在根指针T所指二叉排序樹中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，3. //则指针p指向该数据元素节点，并返回TRUE，否则指针P指向查找路径上访问的4. //最好一个节点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL5. if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功6. else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功7. else if LT(key,T->data.key)8. return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树继续查找9. else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树继续查找10.}2.3 在二叉排序树插入结点的算法向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：1. 若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：2. 若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：3. 若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：4. 把s所指结点插入到右子树中。
二叉查找树 例题
二叉查找树例题
二叉查找树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，每个节点的键值都大于左子树任意节点的键值，小于右子树任意节点的键值。
这种结构使得在二叉查找树中查找、插入和删除元素的操作都变得相对简单。
以下是一个简单的二叉查找树的例题：
题目：给定一个未排序的整数数组，检查是否存在重复元素。
解题思路：
这道题可以使用二叉查找树解决。
我们可以遍历数组中的每个元素，并将它们插入到二叉查找树中。
如果存在重复元素，则插入操作会失败，我们就可以提前返回结果。
如果不存在重复元素，则插入所有元素后，我们遍历二叉查找树即可验证结果。
具体实现如下：
1. 定义一个二叉查找树节点类，包含键值和左右子节点。
2. 定义一个二叉查找树类，包含根节点和插入、查找、遍历等方法。
3. 遍历给定的未排序整数数组，将每个元素插入到二叉查找树中。
如果插入失败（即该元素已存在于二叉查找树中），则说明存在重复元素，返回true。
4. 如果插入所有元素后都没有返回true，则遍历二叉查找树中的所有节点，检查它们的键值是否在给定的未排序整数数组中出现过。
如果出现过，则说明存在重复元素，返回true；否则返回false。
时间复杂度：O(nlogn)，其中n 是给定数组的长度。
空间复杂度：O(n)，其中n 是给定数组的长度。
二叉树各种计算公式总结
二叉树各种计算公式总结二叉树是一种常见的数据结构，它由一个根节点和最多两个子节点组成。
许多计算问题可以通过对二叉树进行各种操作和遍历来解决。
在本文中，将总结二叉树的各种计算公式。
1.二叉树节点个数：二叉树节点个数的计算公式是N=N1+N2+1，其中N表示二叉树的节点个数，N1表示左子树的节点个数，N2表示右子树的节点个数。
2. 二叉树的高度：二叉树的高度是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数量。
计算二叉树的高度的公式是H = max(H1, H2) + 1，其中H表示二叉树的高度，H1表示左子树的高度，H2表示右子树的高度。
3.二叉树的深度：二叉树的深度是指从根节点到当前节点的路径的长度。
计算二叉树的深度的公式是D=D1+1，其中D表示二叉树的深度，D1表示父节点的深度。
4.二叉查找树：二叉查找树是一种有序二叉树，它要求对于树中的每个节点，左子树的值都小于节点的值，右子树的值都大于节点的值。
在二叉查找树中进行的公式是：-如果目标值等于当前节点的值，则返回当前节点；-如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中继续；-如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中继续。
5.二叉树的遍历：二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的二叉树遍历方式有三种：- 前序遍历：先访问根节点，然后递归地访问左子树，最后递归地访问右子树。
可以表示为：root -> 左子树 -> 右子树。
- 中序遍历：先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后递归地访问右子树。
可以表示为：左子树 -> root -> 右子树。
- 后序遍历：先递归地访问左子树，然后递归地访问右子树，最后访问根节点。
可以表示为：左子树 -> 右子树 -> root。
6.二叉树的最大路径和：二叉树的最大路径和是指二叉树中两个节点之间路径上的节点值的最大和。
可以通过递归地计算每个子树的最大路径和，然后选择最大的子树路径和来得出最终结果。
二叉检索树构造
二叉检索树构造摘要：一、二叉检索树的定义和性质1.二叉检索树的定义2.二叉检索树的性质二、二叉检索树的构造方法1.顺序插入法2.二叉树转化法三、二叉检索树的应用1.查找2.插入3.删除正文：二叉检索树是一种特殊的二叉树，具有以下性质：若左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；左、右子树也分别为二叉检索树。
基于这些性质，二叉检索树可以用来实现高效的查找、插入和删除操作。
一、二叉检索树的定义和性质1.二叉检索树的定义二叉检索树，又称有序二叉树，是一种特殊的二叉树。
每个结点具有以下性质：若左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；左、右子树也分别为二叉检索树。
2.二叉检索树的性质二叉检索树具有以下几个基本性质：（1）若左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值。
（2）若右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（3）左、右子树也分别为二叉检索树。
二、二叉检索树的构造方法1.顺序插入法顺序插入法是构建二叉检索树的最常用方法。
具体步骤如下：（1）将第一个结点插入到空树中，作为根结点。
（2）将后续结点依次插入到树中。
插入过程中，若当前结点的值小于根结点的值，插入到左子树上；若当前结点的值大于根结点的值，插入到右子树上。
（3）重复步骤（2），直到所有结点都插入完毕。
2.二叉树转化法二叉树转化法是一种更高效的构建方法，适用于已经存在一棵二叉树的场合。
具体步骤如下：（1）遍历二叉树，将每个结点的左子结点转化为一个新结点，并将原结点的值赋给新结点。
（2）将新结点插入到原结点的左子树上。
（3）重复步骤（2），直到所有结点都转化完毕。
三、二叉检索树的应用1.查找在二叉检索树中，查找某个结点的过程可以通过遍历树来完成。
具体步骤如下：（1）若要查找的值小于根结点的值，递归地遍历左子树。
最优二叉查找树
最优⼆叉查找树最优⼆叉树也就是哈夫曼树，最优⼆叉树和最优⼆叉查找树是不⼀样的。
我们说⼀下他们的定义最优⼆叉树：给你n个节点，每⼀个节点有⼀个权值wi。
我们设⼀棵树的权值是所有节点的权值乘于每⼀个节点的深度，但是我们可以构造出来许多⼆叉树，我们称构造出来的那个权值最⼩的⼆叉树就是我们找的最优⼆叉树求解最优⼆叉树：(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有⼀个结点)；(2) 在森林中选出两个根结点的权值最⼩的树合并，作为⼀棵新树的左、右⼦树，且新树的根结点权值为其左、右⼦树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加⼊森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩⼀棵树为⽌，该树即为所求得的哈夫曼树。
最优⼆叉查找树：给定n个节点的值key，假设x是⼆叉搜索树中的⼀个结点。
如果L是x的左⼦树的⼀个结点，那么L.key ≤ x.key。
如果R是x的右⼦树的⼀个结点，那么R.key ≥ x.key。
使⽤<key1,key2,key3....keyn>表⽰，且我们设定key1<key2<key3<keyn。
对于n个节点都有⼀个访问概率pi，使⽤<p1,p2,p3....pn>表⽰。
还有未找到访问点概率qi，我们使⽤<q0,q1,q2,q3....qn>表⽰。
例如访问到[-∞,key1)的概率是q0，访问到(key1,key2)的概率是q1，，，，访问到(keyn,∞)的概率是qn。
我们设定[-∞,key1)区间为d0，(key1,key2)区间为d1，，，，(keyn,∞)区间是dn。
所以是不会出现对于i,j(1<=i,j<=n)满⾜keyi==keyj的情况出现我们需要把2*n+1个节点放在⼀个⼆叉树上，其中n个节点是keyi，还有n+1个节点di。
最后形成的⼆叉树中叶节点肯定是di。
且∑n i=1pi+∑n i=0qi=1假定⼀次搜索的代价等于访问的结点数，也就是此次搜索找到的结点在⼆叉搜索树中的深度再加1。
二叉排序树的概念
二叉排序树的概念什么是二叉排序树二叉排序树（Binary Search Tree），也称为二叉查找树、二叉搜索树，是一种特殊的二叉树结构。
它具有以下特点：1.每个节点最多有两个子节点；2.左子节点的值小于等于当前节点的值，右子节点的值大于等于当前节点的值；3.每个子树也都是二叉排序树。
这个特点使得二叉排序树可以用于高效地查找、插入和删除节点，是一种常见且重要的数据结构。
二叉排序树的性质二叉排序树具有以下性质：1.左子树中所有节点的值均小于根节点的值；2.右子树中所有节点的值均大于根节点的值；3.左右子树也都是二叉排序树。
由这些性质可以得出，对于一个二叉排序树，进行中序遍历，会得到一个递增的有序序列。
二叉排序树的操作1. 插入节点要插入一个节点到二叉排序树中，需要遵循以下步骤：1.如果树为空，将根节点设置为要插入的节点；2.如果要插入的节点值小于当前节点的值，且当前节点的左子节点为空，则将要插入的节点作为当前节点的左子节点；3.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值，且当前节点的右子节点为空，则将要插入的节点作为当前节点的右子节点；4.如果要插入的节点值小于当前节点的值，且当前节点的左子节点不为空，则将当前节点的左子节点作为新的当前节点，重复步骤2；5.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值，且当前节点的右子节点不为空，则将当前节点的右子节点作为新的当前节点，重复步骤3。
2. 删除节点要删除二叉排序树中的一个节点，需要遵循以下步骤：1.首先找到要删除的节点，如果节点不存在，则无需删除；2.如果要删除的节点没有子节点，直接删除该节点；3.如果要删除的节点只有一个子节点，将子节点替代要删除的节点；4.如果要删除的节点有两个子节点，需要找到其后继节点或前驱节点来替代它。
通常选择后继节点，即右子树中的最小节点，将后继节点的值替代要删除的节点的值，然后删除后继节点。
3. 查找节点要在二叉排序树中查找一个节点，需要从根节点开始，根据节点的值与目标值的大小关系，递归地搜索左子树或右子树，直到找到目标节点或搜索到空位置为止。
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二叉查找树的操作（包括insert、find和delete等） 的代价正比于操作过程中要访问的结点数。如果所 操作的二叉查找树是完全平衡的，那么访问的代价 将是对数级别的 在最坏的请况下，二叉查找树会退化为一个单链表。 时间复杂度是O(N)。
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如果p的左子树若非空，则左子树上的所有结 点的关键字值均小于p结点的关键字值。 如果p的右子树若非空，则右子树上的所有结 点的关键字值均大于p结点的关键字值。 结点p的左右子树同样是二叉查找树。
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e、g：二叉查找树
122 L
99
250 C 200 300 E M P N
被删结点
P
F F
S C PR C CL Q CL QL SL S QL Q PR
SL
用左子树的最大值代替
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删除的递归实现
如果是空树，返回 如果被删节点小于根节点，递归在左子树上删除 如果被删节点大于根节点，递归在右子树删除 如果被删节点等于根节点
•释放原替身结点的空间。 释放原替身结点的空间。
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删除总结
•PL、PR皆 空， •PL或PR为空
直接删除 。
F
被删结点
P PL
F PR
PR
•PL为空，删除后的情况。 为空，删除后的情况。
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110
105
230 Y 216
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根据二叉树的性质， 根据二叉树的性质，能否用中序遍历对二叉树排序
INORDER-TREE-WALK(x) 1 if x ≠ NIL 2 3 4 then INORDER-TREE-WALK(left[x]) print key[x] INORDER-TREE-WALK(right[x])
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用左子树中的最大值做替身
被删结点
400
122
450
替身
99 110 200
250
500
300
105 316
330
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做法：将替身110的数据字段复制到被删结点的数据字段。 将结点 110 的左 做法： 的数据字段复制到被删结点的数据字段。 儿子作为 99 的右儿子。 的右儿子。
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结论： 结论：
被删结点
400 450 500
•先将替身的数据字段复制
122 250 200 300
替身
到被删结点
•将原替身的另一儿子作为
替身
99 110 105
230 216
它的父亲结点的儿子，究 它的父亲结点的儿子， 竟是作为左儿子还是右儿 子依原替身结点和其父亲 结点的关系而定
注意：新插入的结点总是叶子结点 注意：
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将数的序列：122、99、250、110、300、280 作为二叉查找树的结点的关键字 将数的序列： 值，生成二叉查找树。 生成二叉查找树。
122 250 300 280
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99 110
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二叉查找树的定义 二叉查找树的操作 二叉查找树的性能
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二叉查找树
二叉查找树是二叉树在查找方面的重要应用。二叉 二叉查找树是二叉树在查找方面的重要应用。 查找树或者为空，或者具有如下性质：对任意一个 查找树或者为空，或者具有如下性质： 结点p而言 结点p
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二叉查找树
二叉查找树的定义 二叉查找树的操作 二叉查找树的性能
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二叉查找树的操作
search:查找 查找特定节点在树上是否存在 查找 insert:插入一个节点 delete:删除一个节点
由于树是递归定义的，因此这些操作往往也用递 由于树是递归定义的， 归实现。因为二叉树的平均高度为logN，这些操 归实现。因为二叉树的平均高度为logN， logN 作的时间复杂度也是O(logN) 作的时间复杂度也是O(logN)
平均性能
n 个结点二叉查找树的可能有n种形态，如果这 些形态出现的概率是相等的。设P（n）为查找n 个结点的二叉查找树的平均查找时间，则
∑ P(n) =
[1 + (P(i) + 1) * i + (P(n − i − 1) + 1) * (n − i − 1)] i =0 n
n−1
1 ≤ 2(1 + ) ln n n ≈ 2010-11-12 1.38log n
如果根节点有两个儿子，将右子树的最小值放入根节点， 在右子树上删除最小节点 如果只有左子树，左子树取代根节点，删除原来的根节点 如果只有右子树，右子树取代根节点，删除原来的根节点
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删除的伪码(用右子树的最小值替代)
TREE-DELETE(T, z) 1 if left[z] = NIL or right[z] = NIL 2 3 5 6 8 10 11 12 13 14 if y ≠ z 15 16 then key[z] ← key[y] copy y's satellite data into z then y ← z else y ← TREE-SUCCESSOR(z) then x ← left[y] else x ← right[y] then p[x] ← p[y] then root[T] ← x else if y = left[p[y]] then left[p[y]] ← x else right[p[y]] ← x
105
230
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216
22/37
400 122 99 110 105 316
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450 250 200 300 330 500
被删结点
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若被删结点只有一个唯一的儿子，将此儿子取 代被删结点的位置。即，如被删结点是其父结 点的左孩子，那么将他的儿子作为父结点的左 孩子；如被删结点是其父结点的有孩子，那么 将他的孩子作为父结点的右孩子。 能保持二查查找树的有序性
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删除操作
删除叶结点 删除有一个儿子的结点 删除有两个儿子的结点
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被删结点有两个儿子
删除这个结点会使其他结点从树上脱离。 删除这个结点会使其他结点从树上脱离。
通常的做法：选取“ 替身”取代被删结点。 有资格充当该替身的是谁哪？ 替身的要求：维持二叉查找树的特性不变。因 此，只有在中序周游中紧靠着被删结点的结点 才有资格作为“替身”，即， 左子树中最大 的结点 或 右子树中最小的结点。
4 if left[y] ≠ NIL
7 if x ≠ NIL 9 if p[y] = NIL
17 return y
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二叉查找树
二叉查找树的定义 二叉查找树的操作 二叉查找树的性能
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二叉查找树性能
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Q&A
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3 if k < key[x] 4 5 then return TREE-SEARCH(left[x], k) else return TREE-SEARCH(right[x], k)
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e.g 查找 查找13
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删除叶结点 删除有一个儿子的结点 删除有两个儿子的结点
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删除叶结点
直接删除，更改它的父亲结点的相应指针字段为 直接删除， 空。这不会改变二叉查找树的特性。如：删除数 这不会改变二叉查找树的特性。 据字段为 15、70 的结点。 15、 的结点。
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查找操作
查找某个给定的节点 查找最大关键字和最小关键字 查找前驱和后继
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查找某个给定的节点
TREE-SEARCH (x, k) 1 if x= NIL or k = key[x] 2 then return x
算法的复杂度为0(n)
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二叉查找树性质与最小堆性质有什么区别？ 能否利用最小堆性质性质O(n)时间内，按序输出所有节 点？ 不采用栈结构，但假设可以测试两个指针是否相等，如 何实现非递归的中序树遍历算法？
2010-11-12
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