2013年上海高考数学文科-含答案

2013年上海高考数学试题（文科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式021
x
x <-的解为 ．
2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．
3．设m ∈R ，(
)
2
2
21i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．
4．若
2011
x =，
111
x y
=，则x y += ．
5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2
2
2
0a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）
． 6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分
别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．设常数a ∈R ．若5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7
x 项的系数为-10，则a = ．
8．方程
9
1331
x x
+=-的实数解为 ． 9．若1
cos cos sin sin 3
x y x y +=，则()cos 22x y -= ．
10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个
不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1
r
= ．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶
数的概率是 （结果用最简分数表示）．
12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π
4
CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 ．
13．设常数0a >，若2
91a x a x +≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c
．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()
i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()2
11f x x x =-≥的反函数为()1
f
x -，则()12f -的值是（ ）
（A
（B
） （C
）1（D
）116．设常数a ∈R ，集合()(){}
|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则
a 的取值范围为（ ）
（A ）(),2-∞
（B ）(],2-∞
（C ）()2,+∞
（D ）[)2,+∞
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在
12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞
=（ ）
A ．0
B ．4
1
C ．2 D
．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及
表面积．
第19题图
B
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3
100(51)x x
+-元．
（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x
+
-； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．
（1）令1ω=，判断函数()()()2
F x f x f x π
=++
的奇偶性并说明理由；
（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．
（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；
（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；
（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如图，已知双曲线1C ：2
212
x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过
点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．
（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2
2
1
2
x y +=
内的点都不是“1C -2C 型点”．
参考答案 一、选择题
1．1(0,)2 【解析】)2
1,0(0)12(∈⇒<-x x x 2．15 【解析】
1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a
3．2m =- 【解析】 20
102)1(22
22
2-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数 4．1 【解析】11
1 2021
12 =-==⇒=-=y x y x x x x ，又
已知
，联立上式解之得
2,1x y ==
5．23π 【解析】π32212- cos 0- 2222
22=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a
6．78 【解析】 788010060
7510040=⋅+⋅=
平均成绩 7．2- 解：2515()(),2(5)71r r r
r a T C x r r r x
-+=--=⇒=，
故1
5102C a a =-⇒=-．
8．3x=log 4
【解析】
4log 43013331313139311393=⇒=⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-x x
x x x x
x x 9．79
- 【解析】 971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x
10
【解析】 3336
tan
=⇒==
r
l
l r π
由题知， 11．5
7
解：7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2
427517C C -=．
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

个个，共有个数中任取个偶数共个奇数和从21273427=C
.6222
4个个数分别为奇数，共有个数之积为奇数=⇒C 75
21611227
2
4=-=-=C C P 个数之积为偶数的概率所以
12
．3 解：不妨设椭圆Γ的标准方程为
222
14x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得
24,23b c ==
． 法二：【解析】 如右图所示。

)
1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,4222
2222
2==⇒+==+=⇒c b c b a b
a C a 代入椭圆标准方程得，把 63
4
2=
⇒c 13．1
[,)5
+∞ 【解析】 考查均值不等式的应用。

5
1
16929)(,022≥⇒+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题知，当
14．5- 【解析】 根据对称性，
的模最大时
互为相反向量，且它们与当向量)()(l k j i c c a a ++
,,,,))((CB c CA c AD a AC a c c a a l k j i l k j i ====++最小。

这时， 5|)|))((2-=+-=++j i l k j i a a c c a a
15．A 【解析】 31)(2,02
=
⇒-==≥x x x f x 由反函数的定义可知，
16．B 解：集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨
-≤⎩或1
1a a a ≤⎧⎨-≤⎩
，解答选项为B ．
法二：代值法，排除法。

当a=1时，A=R ，符合题意；当a=2时，
符合题意。

,)2),[]1,(),,1[R B A A B =⋃∴+∞⋃-∞=+∞=
综上，选B
标准解法如下: )1,(),,1[--∞⊇∴=⋃+∞-=a A R B A a B
，
时符合题意；当当时，当由),[]1,(11,10))(1(+∞⋃-∞∈>=∈=⇒≥--a x a a R x a a x x 11),1[],(1;2111<⇒-≥⇒+∞⋃-∞∈<≤<-≥⇒a a a a x a a a 时当解得.
2综上，≤a
17．A 【解析】 好货则不便宜
便宜则不是好货便宜没好货⇔⇔
宜”的充分条件所以“好货”是“不便选A
18．D 【解析】 1
44144lim 11442
22222=+=+
+⇒=+++∞>-y x n
y x n ny x n 椭圆方程为： 0)4(8404224)(14
42222222
2≥--=∆⇒=-+-⇒=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+
u u u ux x x u x y x u y x 联立22,],22,22[80)4(2222的最大值为所以y x u u u u +-∈⇒≤⇒≥--⇒
选D
19．【解析】 33
1
131⋅=⋅⋅=
-∆-ABC ABC O S V ABC O 的体积三棱锥 中，在，则的中点为中的射影为在面设OQE RT QE OQ E BC Q ABC O ∆=
=3
3
1,,3
2
34)33(
122222=⇒=+⇒+=OE EQ OQ OE ， 333233=+⋅⋅
=+=-∆∆-OE BC
S S S ABC O ABC OBC ABC O 的表面积三棱锥
所以，33,3
3
==
---ABC O ABC O S V ABC O 表面积的体积三棱锥
20．解：（1）每小时生产x 克产品，获利310051x x ⎛
⎫+-
⎪⎝⎭
， 生产a 千克该产品用时间为
a x ，所获利润为2313100511005a x a x x x x ⎛⎫⎛
⎫+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x ⎛
⎫
+
- ⎪⎝
⎭1161900003612x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
所以6x =，最大利润为61
9000045750012
⨯
=元。

21．法一：解：（1
）()2sin 2sin()2sin 2cos )24
F x x x x x x π
π
=++
=+=+
()F x 是非奇函数非偶函数。

∵()0,()44F F π
π-
==∴()(),()()4444
F F F F ππππ
-≠-≠-
∴函数()()()2
F x f x f x π
=
++是既不是奇函数也不是偶函数。

（2）2ω=时，()2sin 2f x x =，()2sin 2()12sin(2)163
g x x x π
π
=++=++， 其最小正周期T π=
由2sin(2)103x π
+
+=，得1
sin(2)32x π+=-， ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈，即(1),2126
k k x k Z πππ=--⋅-∈
区间[],10a a π+的长度为10个周期，
若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；
若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点； 故当(1),2126
k k a k Z πππ
=
--⋅-∈时，21个，否则20个。

法二：【解析】 （1）)2
sin(2sin 2)2
()()(,sin 2)(1π
π
ω+
+=+
+===x x x f x f x F x x f 时，
是奇函数，
周期x y T x x x sin 22,22),4
sin(22cos 2sin 2===
+=+=πω
π
π
是偶函数。

，即不是奇函数，也不后得图像左移
)4
sin(22)(4
π
π
+
=∴x x f （2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):
ππ
π
=+-
=+-
==T x x f x g x x f 最小正周期,1)6
(2sin 21)6
()(,2sin 2)(.
个零点。

个零点，最少在一个周期内最多有令232
1
)6(2sin 0)(-=-⇒=πx x f 所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个
22．【解析】 （1） 2,0,20.||2)(432111
===⇒=-=⇒=++a a a a a a a f a n n n n 由
（2）||-2|)|-2(||-2,,12212
221
2
23321a a a a a a a a a a a a ==⇒==⇒，且成等比
|]-2|2[)-2(|]||-2|2[|)|-2(11211121a a a a a a -=⇒-=⇒
分情况讨论如何：
21-22[)-2(0-2112
111211≤=⇒=-=≥a a a a a a a ，且）（时，当
2
440482)4(22[)-2(0-212
11211111211=+-⇒=+-⇒-=--=<a a a a a a a a a a ）（时，当2222)2(0482112112
1≥+=⇒=-⇒=+-⇒a a a a a ，且 22111+==a a ，或综上，
（3）d a a a N n a d n n n n +=-=∈∀+||2*,,}{1则：满足题意，的等差数列假设存在公差为
.||2n n a a d +=-⇒讨论如下:
1122,0}{1=⇒=⇒===a a a d a m a n n n n 为常数数列时，即数列当
所以不满足题意。

，不是常数数列时当数列,02020}{>∃⇒=⇒=-<⇒n n n a d d a a 满足题意。

且的等差数列综上，存在1},{11==n n a a a 23．【解析】 （1） )0,3(,3,1,212
122222221-=+====-F b a c b a y x C 可知：方程：由
显然，由双曲线1C 的几何图像性质可知，过相交的任意直线都与曲线11C F .在曲线2C 图像上取点P(0,1),则直线均有交点、与两曲线211C C PF 。

这时直线方程为
033)3(3
3
=--⇒+=
x y x y
所以，C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”.过该焦点的一条直线方程是033=--x y .
（2） 先证明“若直线y=kx 与2C 有公共点，则k ＞1”. 双曲线.2
11x x a b y C ±=±
=的渐近线： ）
（有交点，则与若直线2
1,21-
k 双曲线1=∈=A C kx y . ），（），（有交点，则与若直线∞⋃∞=∈=11--k 曲线2B C kx y .
所以，若直线y = kx 与2C 有公共点，则k ＞1 . （证毕）
不能同时有公共交点、与直线21曲线,C C kx y B A =∴=⋂φ 。

所以原点不是“C 1-C 2型点”；（完） （3）设直线l 过圆2
1
2
2
=
+y x 内一点，则斜率不存在时直线l 与双曲线1C 无交点。

设直线l 方程为：y = kx + m ，显然当k=0时直线l 与双曲线1C 不相交。

经计算，圆2
1
22=+y x 内所有点均在曲线2C 1+=x y 的延长线所围成的区域内，所以 当2
1
±
=±
=a b k 时，直线l 与曲线1C 不相交。

若直线l 与曲线2C 相交， 则12>k ·····① 下面讨论2
1±
≠k 时的情况。

圆心到直线l 的距离
222122
11
||k m k m <-⇒<
+·········②
假设直线l 与曲线1C 相交，联立方程：2)2(21
222222
2=++-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==-m kmx x k x m kx y y x ，
)22)(12(4)4(2
10224)12(222222≥+--=∆⇒±
≠=+++-⇒m k km k m kmx x k ，2212m k +≤⇒·
··············③ 由①②③得：φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+<-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+≤->>m m m m m m m k m k k 2
2
2222
22
221112124122422
2
所以，过圆2
12
2=+y x 内任意一点做任意直线，均不存在与曲线1C 和2C 同时相交。

即圆
2
1
22=+y x 内的点都不是“C 1-C 2型点”.(证毕)。